（整理版）例谈充要条件的证明问题.doc

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1、例谈充要条件的证明问题 充要条件是本章的一个重要内容，也是高考及其他考试的一个热点。证明是“为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性。以下两例，供参考。 例1 数列的前项和为，是不等于0和1的常数，求证数列为等比数列的充要条件是。 分析：证明充分性就是证明条件能推出结论，证明必要性那么是证明结论能推出条件。 证明：1先证充分性。 ，。，又，。 故数列是公比为的等比数列。 2再证必要性 数列为等比数列，。，。 综上所述，数列为等比数列的充要条件是。 评注：证明充要条件，首先要找到条件和结论，如此题“证明数列为等比数列的充要条件是说的很明白，条件是，结论是数列为等比数列。充分性和必要性要逐一证

2、明，并有必要的文字说明。例2 ，求证：的充要条件是。分析：此题中是大前提，证明充要条件，即证明既是充分条件又是必要条件，必须证明必要性与充分性都成立。证明：先证必要性：，即，必要性成立。再证充分性： ，即，。又，且，从而，即，充分性也成立。故时，的充要条件是。 评注：证明充要条件时，要分清充分性是证明怎样的一个式子成立，必要性又是证明怎样的一个式子成立。例3 方程，求使方程有两个大于1的根的充要条件。 分析：求充要条件，那么推理的各步应是可逆的，是有实根的充要条件。 解析：设方程的两根为、，使、都大于1的充要条件是 ，即。 由韦达定理得，解得。 故所求的充要条件为。 评注：“，但反过来，“，例如取，有，且，但没有保证两个根都大于1，仅是两根都大于1的必要条件，而不是充分条件。