2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：3.3.1 函数的单调性与导数 .docx

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1、3.3.1函数的单调性与导数学习目标1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识点一函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0的什么条件？答案必要不充分条件.知识点二利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区

2、间.题型一利用导数判断函数的单调性例1证明：函数f(x)在区间上单调递减.证明f(x)，又x，则cos x0，xcos xsin x0，f(x)0(或0)，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f(x)0(或0).跟踪训练1证明：函数f(x)在区间(0，e)上是增函数.证明f(x)，f(x).又0xe，ln x0，故f(x)在区间(0，e)上是增函数.题型二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)2x33x236x1；(2) f(x)sin xx(0x0，解得x2；由f(x)0解得3x2.故f(x)的增区间是(，3)，(2

3、，)；减区间是(3,2).(2)f(x)cos x1.因为0x0，即20，解得x.又x0，x.令f(x)0，即20，解得x或0x0，0x0时，解x2t得x或x；由f(x)0解得x.函数f(x)的增区间是(，)和(，)，减区间是(，).反思与感悟求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f(x)；(3)解f(x)0和f(x)0的区间为增区间，定义域内满足f(x)0，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立.a(2x3)min.x2，)时，y2x3是单调递增的，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范围是(，16.反

4、思与感悟已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.跟踪训练3若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数.求实数m的取值范围.解f(x)3x22xm.因为f(x)是R上的单调函数，所以f(x)0恒成立或f(x)0恒成立.因为二次项系数30，所以只能有f(x)0恒成立.因此412m0，故m.当m时，使f(x)0的点只有一个x，也符合题意.故实数m的取值范围是.构造法的应用例4已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时

5、，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，当a4时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(x)ln x3，f(1)2，f(1)0，曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当x(1，)时，f(x)0等价于ln x0，设g(x)ln x，则g(x)，g(1)0.()当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)单调递增，因此g(x)0；()当a2时，令g(x)0得，x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故当x(1，x2)时，g(x)

6、0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)0，函数在(0,6)上单调递增.2.f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析由导函数的图象可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.3.若函数f(x)x3ax2x6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )A.1，) B.a1C.(，1 D.(0,1)答案A解析f(x)3x22ax1，又f(x)在(0,1)内单调递减，不等式3x22ax10在(0,1)内恒成立，f(0)0，且f(1)0，a1.4.函数yx24xa的增区间为_，减区间为_.答案(2，)(，2)解析y2x4，令y0，得x2；令y0，得x0和f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.