2019届高考数学大一轮复习讲义：第十二章　推理与证明、算法、复数 第4讲　复数.4 .doc

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1、12.4复数最新考纲考情考向分析1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示及其几何意义4.能进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档.1复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫作复数，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b

2、为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b0(3)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(5)模：向量的模叫作复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)2复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系3复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.题

3、组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有解()(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()题组二教材改编2设复数z满足i，则|z|等于()A1 B.C.D2答案A解析1zi(1z)，z(1i)i1，zi，|z|i|1.3在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是()A12i B12iC34i D34i答案D解析13i(2i)34i.4若复数z

4、(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1 B0C1 D1或1答案A解析z为纯虚数，x1.题组三易错自纠5设a，bR且b0，若复数(abi)3是实数，则()Ab23a2Ba23b2Cb29a2Da29b2答案A解析(abi)3a33a2bi3ab2i2(bi)3a33ab2(3a2bb3)i.(abi)3是实数，3a2bb30，3a2b2.6设i是虚数单位，若zcos isin ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案B解析zcos isin 对应的点的坐标为(cos ，sin )，且点(cos ，sin )位于第二象限，为第二象限

5、角，故选B.7i2 011i2 012i2 013i2 014i2 015i2 016i2 017_.答案1解析原式i3i4i1i2i3i4i1.题型一复数的概念1(2017全国)设有下列四个命题：p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为()Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4答案B解析设zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于p1，若R，即R，则b0，故zabiaR，所以p1为真命题；对于p2，若z2R，即(abi)2

6、a22abib2R，则ab0.当a0，b0时，zabibiR，所以p2为假命题；对于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为a1b2a2b10D/a1a2，b1b2，所以p3为假命题；对于p4，若zR，即abiR，则b0，故abiaR，所以p4为真命题故选B.2(2017武邑中学期末)设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a等于()A2 B.CD2答案B解析是纯虚数，2a10且a20，a，故选B.3(2017河南六市联考)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实

7、部和虚部互为相反数，则b_.答案解析由，得22bb4，得b.4已知复数z满足z24，若z的虚部大于0，则z_.答案2i解析设zabi(a，bR，b0)，则z2a2b22abi4，因此a0，b24，b2，又b0，b2，z2i.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算典例 (1)(2018长春质检)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z

8、12i，则z1z2等于()A5 B5 C4i D4i答案A解析z12i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(2,1)，即z22i，z1z2(2i)(2i)i245.(2)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a等于()A1 B0 C1 D2答案B解析因为a为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，得4a0且a244，解得a0，故选B.(3)(2017江苏)已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_答案解析方法一z(1i)(12i)12ii213i，|z|.方法二|z|1i|12i|.命题点2复数

9、的除法运算典例 (1)(2017全国)等于()A12i B12i C2i D2i答案D解析2i.(2)(2016全国)若z12i，则等于()A1 B1 Ci Di答案C解析z12i，z5，i.(3)_.答案1解析1.命题点3复数的综合运算典例 (1)(2017全国)设复数z满足(1i)z2i，则|z|等于()A.B.C.D2答案C解析方法一由(1i)z2i，得z1i，|z|.故选C.方法二2i(1i)2，由(1i)z2i(1i)2，得z1i，|z|.故选C.(2)(2016山东)若复数z满足2z32i，其中i为虚数单位，则z等于()A12i B12iC12i D12i答案B解析设zabi(a，

10、bR)，则abi，2(abi)(abi)32i，整理得3abi32i，解得z12i，故选B.(3)(2016全国)若z43i，则等于()A1 B1C.i D.i答案D解析z43i，|z|5，i.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答(4)复数的运算与复数几何意

11、义的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答(5)复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的跟踪训练 (1)等于()A1i B1iC1i D1i答案D解析方法一1i.故选D.方法二2(1i)i2(1i)(1i)(2)已知1i(i为虚数单位)，则复数z等于()A1i B1iC1i D1i答案D解析由1i，知z1i，故选D.(3)2 017_.答案i解析2 0171 008ii1 008(1i)i.题型三复数的几何意义典例 (1)(2017北京)若复数(1i)(ai)在复平面内对

12、应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)答案B解析(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i，又复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，解得a1.故选B.(2)ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的()A内心B垂心C重心D外心答案D解析由几何意义知，复数z对应的点到ABC三个顶点的距离都相等，z对应的点是ABC的外心(3)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求：，所表示的复数；对角线所表示的复数；B点对应的复数解，所表示的复数为

13、32i.，所表示的复数为32i.，所表示的复数为(32i)(24i)52i.，所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可跟踪训练已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由题意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知解得2

14、a6，实数a的取值范围是(2,6)1(2016全国)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|等于()A1 B. C. D2答案B解析由(1i)x1yi，得xxi1yi，由复数相等得解得所以|xyi|，故选B.2(2018太原模拟)复数对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案D解析复数i，其对应的点为，在第四象限，故选D.3(2017山东)已知aR，i是虚数单位若zai，z4，则a等于()A1或1 B.或CD.答案A解析z4，|z|24，即|z|2.zai，|z|2，a1.故选A.4若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A3，

15、2 B3,2C3，3 D1,4答案A解析(1i)(23i)32iabi，a3，b2，故选A.5(2017河北省三市联考)若复数za在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是()A4 B3 C1 D2答案A解析因为za(3a)ai在复平面上对应的点在第二象限，所以解得a3，故选A.6(2018枣庄模拟)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则12B若z12，则1z2C若|z1|z2|，则z11z22D若|z1|z2|，则zz答案D解析A中，|z1z2|0，则z1z2，故12，成立B中，z12，则1z2成立C中，|z1|z2|，则|z1|2|z2|2，即z11z22，

16、C正确D不一定成立，如z11i，z22，则|z1|2|z2|，但z22i，z4，zz.7(2017天津)已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_答案2解析aR，i为实数，0，a2.8(2017浙江)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.答案52解析(abi)2a2b22abi.由(abi)234i.得解得a24，b21.所以a2b25，ab2.9已知集合M1，m,3(m25m6)i，N1,3，若MN3，则实数m的值为_答案3或6解析MN3，3M且1M，m1,3(m25m6)i3或m3，m25m60且m1或m3，解得m6或m3，经检验符合题意10若复数z1

17、ai(i是虚数单位)的模不大于2，则实数a的取值范围是_答案，解析由复数z1ai(i是虚数单位)的模不大于2，得1a24，即a23，可得a，11若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.答案3解析(3b)(3b)ii.解得ab3.12已知复数zxyi(x，yR)，且|z2|，则的最大值为_答案解析|z2|，(x2)2y23.由图可知max.13(2016天津)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_答案2解析因为(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba,1b0，得a2，b1，所以2.14(2017山东实验中学诊断)在复平面内，复数对应的点到直线y

18、x1的距离是_答案解析因为1i，所以复数对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线yx1的距离为.15已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C.若(，R)，则的值是_答案1解析由条件得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根据，得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，解得1.16(2018广州质检)已知复数zbi(bR)，是实数，i是虚数单位(1)求复数z；(2)若复数(mz)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围解(1)因为zbi(bR)，所以i.又因为是实数，所以0，所以b2，即z2i.(2)因为z2i，mR，所以(mz)2(m2i)2m24mi4

19、i2(m24)4mi，又因为复数(mz)2所表示的点在第一象限，所以解得m2，即m(，2)17若1bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|abi|_.答案解析a，bR，且1bi，则a(1bi)(1i)(1b)(1b)i，|abi|2i|.18设复数abi(a，bR)的模为，则(abi)(abi)_.答案3解析复数abi(a，bR)的模为，则a2b23，则(abi)(abi)a2(bi)2a2b2i2a2b23.19设f(n)nn(nN)，则集合f(n)中元素的个数为_答案3解析f(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合f(n)中共有3个元素20(2018济南调研)若虚数z同时满足下列两个条件：z是实数；z3的实部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由解这样的虚数存在，z12i或z2i.设zabi(a，bR且b0)，zabiabii.z是实数，b0.又b0，a2b25.又z3(a3)bi的实部与虚部互为相反数，a3b0.由解得或故存在虚数z，z12i或z2i.