2018版高中数学苏教版必修三学案:疑难规律方法:第三章 概 率 .docx
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1、1概率加法公式应用点拨概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式,根据它可以计算一些复杂事件的概率概率的加法公式可推广为若事件A1,A2,An彼此互斥(两两互斥),则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An),即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和用此公式时,同学们首先要判断事件是否互斥,如果事件不互斥,就不能用此公式下面举例说明概率加法公式的应用一、计算互斥事件和的概率例1 由经验得知,某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表:排队人数012345人以上概率0.100.160.300.300.100.04求:(1)至多2人排队的概率;(2)至少2人排队的概率解(1
2、)记“没有人排队”为事件A,“1人排队”为事件B,“2人排队”为事件C,则A,B,C彼此互斥P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.100.160.300.56.(2)记“至少2人排队”为事件D,“少于2人排队”为事件AB,那么事件D与事件AB是对立事件,则P(D)P()1P(A)P(B)1(0.100.16)0.74.点评应用概率加法公式求概率的前提有两个:一是所求事件是几个事件的和,二是这几个事件彼此互斥在应用概率加法公式前,一定要弄清各事件之间的关系,把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件的和,再应用公式求解所求概率二、求解“至少”与“至多”型问题例2 甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试,
3、已知恰有1人过关(事件A)的概率为0.198,恰有2人过关(事件B)的概率为0.380,恰有3人过关(事件C)的概率为0.302,4人都过关(事件D)的概率为0.084.求:(1)至少有2人过关的概率P1;(2)至多有3人过关的概率P2.分析“至少有2人过关”即事件BCD,“至多有3人过关”即事件A、B、C与事件“4人均未过关”的和事件,其对立事件为D.(注意“4人均未过关”这种可能情况)解由条件知,事件A、B、C、D彼此互斥(1)P1P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.766.(2)P2P()1P(D)10.0840.916.点评处理“至多”、“至少”型问题,既可以分情况讨论,也可以从反
4、面考虑,即借助对立事件的概率间接求解当事件包含的情况较多时,常利用P(A)1P()求P(A)三、列方程求解概率问题例3 某班级同学的血型分别为A型、B型、AB型、O型,从中任取一名同学,其血型为AB型的概率为0.09,为A型或O型的概率为0.61,为B型或O型的概率为0.60,试求任取一人,血型为A型、B型、O型的概率各是多少?分析设出所求事件的概率,将题中涉及到的事件用所求事件表示出来,借助这些事件的概率及公式,列方程求解即可解记“任取一人,血型为A型”、“任取一人,血型为B型”、“任取一人,血型为AB型”、“任取一人,血型为O型”分别为事件E,F,G,H,显然事件E、F、G、H两两互斥故解
5、得所以任取一人,血型为A型、B型、O型的概率分别为0.31、0.30、0.30.点评本题很好地应用了全体事件的和为必然事件这一点挖掘题目中的隐含条件并合理利用是解决某些问题的关键,同学们应注重这种能力的培养2概率误区追源同学们对概率一词虽不陌生,但求解概率问题时总会一不小心就误入歧途,下文例析几类典型错误,为同学们敲响警钟一、对频率与概率的含义及关系理解不清致误例1 下列说法中正确的有_抛一枚质地均匀的硬币10次,结果7次正面向上,若事件A表示“正面向上”,则P(A);某人将一枚硬币连续抛掷两次,两次都正面向上,则正面向上的频率是1;利用均匀的号签抽签决定甲乙二人谁当班长时,先抽的人当班长的概
6、率大;已知某批水杯的次品率为2%,则该批水杯中每100个便会有2个次品;做10 000次随机试验,某事件发生的频率可作为该事件发生的概率错解剖析中,P(A)表示事件A发生的概率,应为.而为事件A发生的频率,二者不相等;中,无论先抽还是后抽,抽到当班长的概率相同;中,概率代表某事件在一次试验中发生的可能性,不能由其判断做一次试验一定发生或不发生某种结果;中,概率值是在大量试验的基础上,由多个频率的变化规律得到的,仅凭10 000次随机试验中某事件发生的频率得不出该事件发生的概率正解点评频率与随机试验的次数有关,具有随机性做相同次数的随机试验,某事件发生的频率不一定相同概率与随机试验的次数无关,具
7、有不变性,反映了事件发生的可能性大小二、互斥事件、对立事件概念理解不透致误例2 (1)对于随机事件A,B,若有P(AB)P(A)P(B)0.7,则事件A,B的关系为_(2)某人面试时,答了3道试题若此人各道试题回答正确与否具有随机性,则他至少答对1道题的对立事件是_错解(1)因为P(AB)P(A)P(B)0.71,所以事件A、B互斥(2)该次面试,此人至多答对1道题剖析(1)互斥是同一试验下不可能同时发生的两事件间的关系若事件A,B互斥,则P(AB)P(A)P(B)1.但这里的事件A,B不一定是同一试验下的两个事件(2)对一些关键判断词的否定词不能准确理解应用,误认为将“至少”改为“至多”即可
8、得其对立事件正解(1)不确定可能互斥,也可能毫无关系(2)此人答对题的个数可以是0、1、2、3.“至少答对1道题”,即答对1道、2道或3道,所以“他至少答对1道题”的对立事件是“他1道题也没答对”点评若同一试验随机事件A,B互斥,则P(AB)P(A)P(B)1,反之不一定成立在写某事件的对立事件时,应准确把握常见判断词及其否定,如都是不都是;全不全;至少有n种至多有n1种;大于小于或等于三、错用加法公式(不互斥时)致误例3 几个人玩掷骰子游戏,某人先随机向上抛掷一颗骰子,骰子落下后各点向上的概率都是,事件A表示“朝上的点数是不等于6的偶数”,事件B表示“朝上的点数不少于4”,求P(AB)错解因
9、为P(A),P(B),所以P(AB)P(A)P(B).剖析错解的原因在于忽视了概率加法公式应用的前提条件由于当朝上一面的数为4时,事件A、B同时发生,所以事件“朝上一面的数是不等于6的偶数”与“朝上一面的数不少于4”不互斥,故不能应用公式P(AB)P(A)P(B)求解正解记“朝上一面的数为i(i1,2,3,4,5,6)”为事件Ci,则六个事件彼此互斥,且AC2C4,BC4C5C6,所以ABC2C4C5C6,所以P(AB)P(C2C4C5C6).点评求解随机事件的概率时,要注意分清哪些事件互斥,哪些不互斥应用互斥事件的概率加法公式时,要先判断两个或多个事件是否彼此互斥,只有事件彼此互斥时才可用公
10、式求解.3概率中的几个易混概念辨析概率问题中有许多概念看似相似,实则不同,非常容易混淆,本文就概率中的几组易混概念进行对比分析,以提高同学们的辨别能力和解题能力1随机事件、必然事件与不可能事件随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;而必然事件是指在一定条件下一定发生的事件,其概率为1;不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件,其概率为0.但需要注意,从概率学角度看,概率为1的事件可以是必然事件,也可以是随机事件;同样,概率为0的事件可以是不可能事件也可能是随机事件2频率和概率频率和概率是学习的重点,也是学习的难点频率是指在多次重复试验的基础上此事件发生的次数与试验总次数的比值,它
11、随着试验次数的改变而变化,它不是常数,但它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增大,这种摆动幅度越来越小而上述中的常数是事件发生的概率,它不随着试验次数的改变而变化,频率只能作为概率的一个近似值(有时频率与概率相等,如必然事件)例1判断下列命题的真假(1)掷100次硬币,出现正面的频率是0.4,则在试验中出现正面向上的次数为40次;(2)某产品的次品率为3%,则任取该产品100件,其中必有3件次品解(1)真;(2)假3互斥事件与对立事件互斥事件、对立事件的共同点是都涉及两个事件之间的关系如果事件A与事件B不可能同时发生,那么称事件A与B为互斥事件,它包含两层含义:在同一
12、次试验中,A、B都未发生;A、B恰有一个发生在同一试验中,不能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事件注:互斥事件是对立事件的前提;两个事件中必有一个发生;对立事件的概率和等于1,即P(A)P()1.因此,两事件对立,必定互斥,但互斥不一定对立从集合角度考虑:两个事件A与B互斥,是指由A,B所含的结果所组成的集合的交集是.一般情形:如果事件A1,A2,An中任何两个都是互斥事件,那么我们称A1,A2,An彼此互斥各事件包含的结果组成的集合A1,A2,An有A1A2An;对于事件A,B所包含的结果组成的集合A,B若满足“AB(为所有可能事件组成的集合)且AB”,则事件A与B为对立事件,也即A
13、B,BA.利用上述集合观点,很容易判断两个事件是否为互斥事件或对立事件4“放回”与“不放回”例2从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件,连续取两次(1)若每次取出后不放回,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;(2)若每次取出后放回,求取出的两件产品中恰有一次次品的概率解(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果为(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),其中小括号中左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品用A表示“取出的两件产品中,恰好有一件次品”这一事件,则事件A由(a1,b
14、1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)4个事件组成,因而P(A);(2)有放回地取出两件,其一切可能的结果为(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1),且B表示“恰有一件次品”这一事件,则事件B由(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)4个事件组成,因而P(B).4点击古典概型中的列举法古典概型是概率部分的一个重要内容,涉及到古典概型概率求解的问题一般难度不大,但极易出错,下面介绍三种列举方法供同学们学习时参考一、直接列举法例1 袋中有除颜色外大小均相同的红、
15、白、黄、黑4个小球(1)从中任取一球,求取出白球的概率;(2)从中任取两球,求取出的是红球和白球的概率分析求古典概型的概率,应先列举出总的基本事件数、所求事件包含的基本事件数,然后利用公式求概率解(1)设A表示事件“取出白球”在“从中任取一球”的试验中,等可能出现的结果有取出红球,取出白球,取出黄球,取出黑球,共4种,所以P(A).(2)设B表示事件“取出的两个球是红球和白球”,在“从中任取两球”这个试验中等可能出现的结果有6种:(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)所以P(B).点评若事件发生的总数不是很多时,常用直接列举法,就是依次将各基本事件列举出来二、表
16、格列举法例2 用正方体做一颗骰子,在6个面上分别标上1,2,3,4,5,6,现将这颗骰子先后抛掷两次,试问:(1)“点数之和为奇数”与“点数之和为偶数”的概率是否一样大?(2)“点数之和为6”与“点数之和为8”的概率是否一样大?(3)从问题(2)中你能发现什么样的一般规律?分析两次点数之和的事件数比较多,可利用表格列举法来处理,分别用第一行和第一列的数表示先后掷出的点数,交叉处表示它们的和,由此可计算出所求事件的概率解如表格:第一行、第一列中的数表示出现的点数,行与列交叉处的数表示点数之和:1234561234567234567834567894567891056789101167891011
17、12(1)由表知:基本事件有36个,记“点数之和为奇数”为事件A,“点数之和为偶数”为事件B,事件A含基本事件18个,事件B含基本事件18个,所以P(A)P(B),即事件A、B的概率一样大(2)记“点数之和为6”为事件C,记“点数之和为8”为事件D,事件C含有5个基本事件,分别为(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)事件D含有5个基本事件,分别为(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)所以P(C)P(D),即事件C、D的概率一样大(3)从上面的(2)中及表格中可发现“点数之和为x”与“点数之和为14x”的概率一样大点评涉及到两次结果的问题,一般可采用表格列
18、举法来列举基本事件,这样可保证列举时不重不漏三、树形图列举法例3 用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,每个矩形只涂1种颜色求:(1)3个矩形颜色都相同的概率;(2)3个矩形颜色都不同的概率解由树形图(用R,Y,G分别代表三种不同的颜色)可知,本题的基本事件共有27个因为对3个矩形涂色时,选用颜色是随机的,所以这27个基本事件是等可能的(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A.由树形图知,事件A包含的基本事件有133(个),故P(A).(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B.由树形图可知,事件B包含的基本事件有236(个),故P(B).点评当题中的基本事件较多、较为复杂时,可结合树形图进行分
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