2022年点、直线、圆与圆位置关系—知识讲解 .pdf

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1、点、直线、圆与圆的位置关系知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2. 理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3. 了解两个圆相离( 外离、内含 ) ，两个圆相切 ( 外切、内切 ) ，两圆相交，圆心距等概念理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有 相 同 的 性 质 和 判 定 方 法 ；

2、 设 O的 半 径 为r ， 点P到 圆 心 的 距 离 为d ， 则 有2三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 . 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释：（ 1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（ 2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系1直线和圆的三种位置关系：(1) 相 交 ： 直 线 与 圆 有 两 个 公 共 点 时 ， 叫 做 直 线 和 圆 相 交 这 时 直 线 叫 做

3、圆 的 割 线 (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离2直线与圆的位置关系的判定和性质直 线 与 圆 的 位 置 关 系 能 否 像 点 与 圆 的 位 置 关 系 一 样 通 过 一 些 条 件 来 进 行 分 析 判 断 呢 ？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点( 圆心 )的位置关系下面图(1) 中直线与圆心的距离小于半径；图(2) 中直线与圆心的距离等于半径；图(3) 中直线与圆心的距离大于半径如果O的半径为r，圆心O到直线的

4、距离为d，那么精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 3切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释：切线长

5、是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称. 切线是直线，而非线段. 4切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 5三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 6三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一

6、半，即(S 为三角形的面积，P为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心 ( 三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心 ( 三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1) 到三角形三边距离相等； (2)OA、 OB 、OC分别平分 BAC 、 ABC 、 ACB ；(3) 内心在三角形内部. 要点四、圆和圆的位置关系1圆与圆的五种位置关系的定义两 圆 外 离 ： 两 个 圆 没 有 公 共 点 ， 且 每 个 圆 上 的 点 都 在 另 一

7、个 圆 的 外 部 时 ， 叫 做 这 两 个 圆 外 离 . 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两 圆 内 含 ： 两 个 圆 没 有 公 共 点 ， 且 一 个 圆 上 的 点 都 在 另 一 个 圆 的

8、 内 部 时 ， 叫 做 这 两 个 圆 内 含 . 2两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设 O1的 半径 为r1， O2半 径 为r2，两 圆 心O1O2的 距离 为d ，则 ：两圆外离dr1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2dr1+r2(r1r2) 两圆内切d=r1-r2(r1r2) 两圆内含dr1-r2(r1r2) 要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相 离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具 有 内 切 或 内

9、含 关 系 的 两 个 圆 的 半 径 不 可 能 相 等 ， 否 则 两 圆 重 合 . 【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1. 已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P 到圆心的距离：(1)4 cm ；(2)5 cm ；(3)6 cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由. 【答案与解读】（ 1）当 d=4 cm 时， d r ，点 P在圆内；（2）当 d=5 cm 时， d=r，点P在圆上；（3）当 d=6 cm 时， d r ，点 P在圆外 . 【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.举一反三：【变式】 点 A在以 O为圆心， 3 为半径的O内，则点A到圆

10、心 O的距离 d 的范围是 _. 【答案】 0d 3. 类型二、直线与圆的位置关系2在 RtABC中， C=90 ， AC=3厘 M ， BC=4厘 M ，以 C 为圆心， r 为半径的圆与AB 有怎样的位置关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页系？为什么？ (1)r=2厘 M ； (2)r=2.4厘 M ； (3)r=3厘 M【答案与解读】过 C点作 CD AB于 D，在 Rt ABC中， C=90 ， AC=3 ，BC=4，得 AB=5 ， AB CD=AC BC，ACBC34CD=2.4AB5(cm)，（1）当

11、r =2cm 时 CDr ，圆 C与 AB相离；（2）当 r=2.4cm 时， CD=r，圆 C与 AB相切；(3 ）当 r=3cm 时， CD r ，圆 C与 AB相交【总结升华】欲判定 C 与直线AB的关系，只需先求出圆心C 到直线AB 的距离 CD的长，然后再与r 比较即可举一反三：【变式】 如图， P 点是 AOB的平分线OC上一点， PE OA于 E，以 P 为圆心， PE为半径作 P . 求证： P 与OB相切。【答案】 作 PFOB于 F，则可证明 OEP OFP ，所以 PF=PE ，即 F 在圆 P上，故 P与 OB相切。3如图所示，在RtABC中， B90， A的平分线交B

12、C于 D，以 D为圆心， DB长为半径作D求证： AC是 D的切线【答案与解读】过 D作 DF AC于 F B90， DB AB 又 AD平分 BAC ， DF BD 半径 AC 与 D相切精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可可简记为：作垂直，证半径类型三、圆与圆的位置关系4( 1) 已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( ) A外切 B内切 C相交 D相离( 2) 已

13、知 O1与 O2相切， O1的半径为3cm， O2的半径为2cm，则 O1O2的长是 ( )A1cm B5cm C1cm 或 5cm D 0. 5cm 或 2. 5cm 【答案】 （1） C ； （2）C.【解读】 ( 1) 由于圆心距d7cm，R+r5+38(cm)，R- r5-32(cm) R- rdR+r，故这两圆的位置关系是相交( 2) 两圆相切包括外切和内切，当O1与 O2外切时， dO1O2R+r3+25(cm)；当 O1与 O2内切时， dO1O2R- r 3- 21(cm)【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：两圆外离dR+r；两圆外切dR+r；两圆相交R- rd

14、R+r；两圆内切dR- r；两圆内含dR- r点、直线、圆与圆的位置关系巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 已知：如图，PA ，PB分别与 O相切于 A，B点， C为 O上一点， ACB=65 ，则 APB等于 ( )A 65B50C45 D402如图， AB是 O的直径，直线EC切 O于 B点，若 DBC= ，则 ( )A A= B A=90 C ABD= D2190oABD第 1 题图第 2 题图3设O的半径为3，点 O 到直线l的距离为d，若直线l与O至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( ) A.d=3 B. d3 C. d3 D.d3 4在 RtABC中， C=90 ， A

15、B=10 ， AC=6 ，以 C为圆心作C和 AB相切，则C的半径长为 ( ) A.8 B.4 C.9.6 D.4.8 5已知O1和O2的半径分别为1 和 5，圆心距为3，则两圆的位置关系是( ) A. 相交 B. 内切 C. 外切 D.内含6已知： A，B，C，D，E 五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )A5 个圆B8 个圆C10 个圆D 12 个圆二、填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页7锐角三角形的外心在三角形的_部，钝角三角形的外心在三角形的_部，直角三角形的外心

16、在_8若 ABC中， C=90， AC=10cm ，BC=24cm ，则它的外接圆的直径为_9若 ABC内接于 O ，BC=12cm ， O点到 BC的距离为8cm，则 O的周长为 _10如图所示，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，C 为切点，若两圆的半径分别为3cm 和5cm，则 AB的长为 _cm11. 如图所示，已知直线AB是 O 的切线， A 为切点， OB交 O 于点 C，点 D 在 O 上，且 OBA 40，则ADC _第 10 题图第 11题图第 12 题图12如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1 m 的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是

17、 _. 三、解答题13. 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，以AB为直径的 O经过点 D，E 是 O上一点，且 AED 45，试判断 CD与 O的关系，并说明理由14 AB 是 O的直径， BC切 O于 B，AC交 O于 D点，过 D作 O的切线 DE交 BC于 E.求证： CE=BE. 15如图所示，AB是 O的直径， P为 AB延长线上任意一点，C为半圆AB的中点， PD切 O于点 D，连 CD交AB于点 E，求证： PD PE 【答案与解读】一、选择题1. 【答案】 B；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页

18、【解读】连结OA 、OB ，则 AOB=130 ， PAO= PBO=90 ，所以 P=50. 2. 【答案】 A；【解读】 AB是 O的直径，ADB=90 ， A+ABD=90 ，又 直线 EC切 O于 B点， +ABD=90 ， A=，故选 A. 3. 【答案】 C；【解读】直线l 可能和圆相交或相切. 4. 【答案】 D；【解读】作CD AB于 D，则 CD为C 的半径， BC=22ACAB=22610=8，由面积相等，得AB CD=AC BC.CD=1086=4.8. 5. 【答案】 D；【解读】内切、外切分别对应d=Rr ， d=Rr ，它们起着分界作用. 在O1和O2相对运动时依次

19、产生外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，圆心距逐渐变小，而相内切和外切起着分界作用，所以先计算 dr 和 dr ，因为圆心距d=3R r ，所以“内含”.6. 【答案】 C. 【解读】过其中的三点作圆，最多能作出10 个，即分别过点ABC 、ABD 、ABE 、 ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BDE 、CDE的圆 . 二、填空题7【答案】 内，外，它的斜边中点处8【答案】 26cm9【答案】 20cm 10【答案】 8. 【解读】因为AB切小 O于 C，连 OA 、 OC ，如图，由切线的性质知OC AB，又由垂径定理得AC BC，在 RtAOC中， AO 5，OC

20、3 AB 2AC 8(cm) 11【答案】 25. 【解读】 OA AB ， OBA 40， BOA 50， ADC 12BOA 25. 12【答案】 (1+23) m. 【解读】由于三个圆两两外切，所以圆心距等于半径之和，所以三个圆心为顶点的三角形是边长为 1 m 的等边三角形，最高点到地面距离是等边三角形的高加上一个直径. 等边三角形的高是22131 -=22（ ），故最高点到地面的距离是(1 23) m. 三、解答题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页13. 【答案与解读】CD与 O相切理由：如图，连OD 则 A

21、OD 2AED 245 90四边形 ABCD 是平行四边形， AB DC CDO AOD 90， OD CD ， CD 与 O相切14. 【答案与解读】证法1:连结DB. AB是直径, ADB=90 .BDC=90.BC、DE 是切线，BE=ED. EBD= EDB.EBD+ C=90，且EDB+EDC=90，EBD+C=EDB+EDC.C = . BE=EC. 证法 2：连结OD 、OE. DE 切 O 于 D，ODDE.ODE=90.同理B=90 .OB=OD，且OE=OE ， ODEOBE. BOE= EOD.BOE= A. OE AC.O是AB中点，E是BC中点. BE=EC. 15. 【答案与解读】连 OC 、OD ， C 是半圆 ACB的中点， BOC 90，又 PD切 O于 D， PDO 90 PDE 90- ODE ， PED CEO 90- C， OC OD ， C ODE PDE PED ， PE PD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页