2022年最新人教版初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案 .pdf

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1、精品文档精品文档二次函数一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（ abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2abc， ， 是常数， a是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 2yaxc 的性质：上加下减。3. 2ya xh的性质：左加右减。a的符号开口方向顶

2、点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随 x的增大而增大；0 x时，y随x 的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随 x的增大而减小；0 x时，y随x 的增大而增大；0 x时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随 x的增大而增大；0 x时，y随x 的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时，y随 x的增大而减小；0 x时，y随x 的增大而增大；0 x时，y有最大值 c a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y随x 的增大而减小；xh时，y

3、有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档4. 2ya xhk 的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k

4、0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”四、二次函数2yaxhk与2ya xbxc的比较从解析式上看，2ya xhk 与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，六、二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，

5、y随 x 的增大而减小；当2bxa时，y随 x 的增大而增大；a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y随x 的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档当2bxa时，y有最小值244acba2. 当0a时，抛物线开口向

6、下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x 的增大而增大；当2bxa时，y随 x 的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a，b， c 为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk （ a，h，k为常数，0a） ；3. 两根式（交点式） ：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示

7、二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a 当0a时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴（同左异右b 为 0 对称轴为y 轴）3. 常数项 c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结

8、起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc 当函数值0y时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数： 当240bac时，图象与 x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根 . 当0时，图象与x 轴只有一个交点； 当0时，图象与x 轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc 的图象

9、与y轴一定相交，交点坐标为(0 ，)c ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247yxx的顶点坐标是 ( )A.(2, 11) B.（ 2，7） C.（2，11） D. （2， 3）2. 把抛物线22yx向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. 22(1)yx B. 22(1)yx C. 221yx D. 221yx3. 函数2ykxk和(0)kyk

10、x在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 4. 已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示, 则下列结论 : a,b 同号 ; 当1x和3x时, 函数值相等 ;40ab当2y时, x的值只能取0. 其中正确的个数是 ( ) A.1 个 B.2个 C. 3个 D. 4个5. 已知二次函数2(0)yaxbxc a的顶点坐标（ -1 ，-3.2 ）及部分图象 ( 如图 ),由图象可知关于x的一元二次方程20axbxc的两个根分别是121.3xx和（） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点(,)ac bc在（）A第一象限B第二象限

11、C第三象限 D 第四象限7. 方程222xxx的正根的个数为（）A.0 个 B.1个 C.2个. 3 个8. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档A. 22yxx B. 22yxxC. 22yxx或22yxx D. 22yxx或22yxx二、填空题9二次函数23yxbx的对称轴是2x，则b_。10已知抛

12、物线y=-2 （x+3 ）2 +5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_. 11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当x0 时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） 。12抛物线22(2)6yx的顶点为 C，已知直线3ykx过点 C ，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13. 二次函数2241yxx的图象是由22yxbxc的图象向左平移1 个单位 , 再向下平移2个单位得到的 , 则 b= ,c= 。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是40 米，在线段AB上离中心M处 5 米的地方，桥的高度是

13、(取 3.14). 三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是30 x, 图象经过 (1,-6),且与y轴的交点为 (0,52). (1) 求这个二次函数的解析式; (2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0? (3) 当 x 在什么范围内变化时, 这个函数的函数值y随 x 的增大而增大? 16. 某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t （秒）符合关系式2012hv tgt（0t 2） ，其中重力加速度g 以 10 米/ 秒2计算这种爆竹点燃后以v0=20 米/ 秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15 米？（2）在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒

14、这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 第 15 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档17. 如图，抛物线2yxbxc经过直线3yx与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点 P为抛物线上的一个动点，求使APCS：ACDS5 ：4 的点 P的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费

15、提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润， 准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10 元时， 月销售量就会增加 7. 5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）（1）当每吨售价是240 元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由名师资料总

16、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系： y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0 x30). （1） 当 x 在什么范围内时， 学生的接受能力逐步增强？当x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱？（2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？2、如图 ,已知A

17、BC 是一等腰三角形铁板余料 ,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm. 若在ABC上截出一矩形零件DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上. 问矩形 DEFG 的最大面积是多少 ? FEBGDCA3、如图 ,ABC 中,B=90 ,AB=6cm,BC=12cm.点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以每秒名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档1cm 的速度移

18、动 ;点 Q 从点 B 开始,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm的速度移动 .如果 P,Q 同时出发 ,问经过几秒钟 PBQ 的面积最大 ?最大面积是多少 ? BQCPA4、如图，一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈 .已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式; (2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少 . 4 m(0,3.5)3.05 mx yO5、如图，要建一个长

19、方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m. (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数 )道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较 (1)(2)的结果，你能得到什么结论？x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档6、某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天

20、的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系： m=1402x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式 ; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？二次函数对应练习试题参考答案一，选择题、1A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 二、填空题、 9 4b 10 x-3 11 如224,24yxyx等（答案不唯一）121 13-8 7 1415 三、解答题15(1) 设抛物线的解析式为2bxcyax, 由题意可得解得15,3,22abc所以215322yxx(2)1x或-5 (2)3x1

21、6 （1）由已知得，211520102tt，解得123,1tt当3t时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1 秒离地 15 米 （2）由题意得，2520htt25(2)20t，可知顶点的横坐标2t，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内， 爆竹在上升17 （1） 直线3yx与坐标轴的交点A （3，0） ，B（0， 3） 则9303bcc解得23bc所以此抛物线解析式为223yxx（2）抛物线的顶点D （1， 4） ，与x轴的另一个交点C（ 1，0）. 设 P2( ,23)a aa，则32652baabcc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

22、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档211(423) :(44)5: 422aa. 化简得2235aa当223aa0 时，2235aa得4,2aaP（4，5）或 P（ 2，5）当223aa0 时，2235aa即2220aa，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（ 2，5） 18 （1）5 .71024026045=60（吨） （ 2）260(100)(457.5)10 xyx，化简得：23315240004yxx （3）24000315432

23、xxy23(210)90754x红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210 元（4）我认为，小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额)5.71026045(xxW23(160)192004x来说，当 x 为 160 元时，月销售额 W最大当 x为 210 元时，月销售额W不是最大小静说的不对方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为17325 元； 而当 x 为 200 元时，月销售额为18000 元 1732518000， 当月利润最大时，月销售额W不是最大小静说的不对二次函数应用题训练参考答案1、 （1）0 x13，13x3

24、0； （2）59； （3）13. 2、过 A 作 AM BC 于 M,交 DG 于 N,则 AM=222012=16cm. 设 DE=xcm,S 矩形=ycm2,则由ADGABC, 故ANDGAMBC,即161624xDG,故DG=32(16-x). y=DGDE=32(16-x)x=-32(x2-16x)=-32(x-8)2+96, 从而当 x=8 时,y 有最大值 96.即矩形DEFG 的最大面积是 96cm2. 3、设第 t 秒时,PBQ的面积为 ycm2.则AP=tcm,PB=(6-t)cm; 又BQ=2t.y=12PBBQ=12(6-t)2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)

25、2+9, 当 t=3 时,y 有最大值 9. 故第 3秒钟时 PBQ 的面积最大 ,最大值是 9cm2. 4、解： (1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c. 由图知图象过以下点： (0，3.5)，(1.5，3.05). .5 .3,0,2 .0,5.15 .105. 3, 5 . 3,022cbacbacab得抛物线的表达式为y=0.2x2+3.5. (2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05) m, h+2.05=0.2(2.5)2+3.5, h=0.2(m). 5、解： (1)依题意得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

26、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档鸡场面积 y=.350312xxy=31x2+350 x=31(x250 x) =31(x25)2+3625, 当 x=25 时，y最大=3625, 即鸡场的长度为 25 m 时，其面积最大为3625m2. (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为nx50m. y=nx50 x=n1x2+n50 x=n1(x250 x) =n1(x25)2+n625, 当 x=25 时，y最大=n625, 即鸡场的长度为25 m时，鸡场面积为n625m2. 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m. 6、解： (1)y=2x2+180 x2800. (2)y=2x2+180 x2800 =2(x290 x)2800 =2(x45)2+1250. 当 x=45 时，y最大=1250. 每件商品售价定为45 元最合适， 此销售利润最大，为1250元. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -