2022年特殊的平行四边形与圆专题+答案 .pdf

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1、1如图，在 ABC 中， ACBC，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，将 ADE 绕点 E 旋转 180 得 CFE ，则四边形ADCF 一定是 ( A ) A矩形B菱形C正方形D以上都不对2如图，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点 (不与 A，B 重合)， 连接 PD， 将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转90 得线段 PE，连接 BE，则 CBE 等于45. 3如图，点 E 是正方形 ABCD 内一点， 连接 AE，BE，CE ，将 ABE 绕点 B 顺时针旋转90 到 CBE 的位置若 AE 1，BE2，CE3，则 BEC 1354如图，将矩形ABCD 绕点 A 顺时针旋

2、转到矩形AB CD的位置，旋转角为(090)若 1 110 ，则 20. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页DCBAO5.如图 8,A、B、C、D 四个点在同一个圆上,四边形 ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有 ( C) A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对6.如图 ,AOB=100 ,则 A+ B 等于 ( C ) A.100 B.80 C.50D.407.如图 ,A、B、C 三点都在 O 上,点 D 是 AB 延长线上一点 ,AOC=140 , CBD 的度数是 ( C ) A.40 B

3、.50 C.70D.110 8.如图 ,AB为半圆O 的直径 ,弦 AD 、BC 相交于点P,若CD=3,AB=4, 求 tanBPD 的值 . DCBPAO连接 BD,则 AB 是直径 , ADB=90 . C=A,D=B, PCD PAB,PDCDPBAB. DCBAOCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页在 Rt PBD 中,cosBPD=PDCDPBAB=34, 设 PD=3x,PB=4x, 则 BD=2222(4 )(3 )7PBPDxxx, tanBPD=7733BDxPDx. 一、特殊的平行四边形

4、动点问题1.如图，在 Rt ABC 中， ACB 90 ，过点 C 的直线 MNAB，D 为 AB 上一动点， 过点 D 作 DEBC，交直线 MN于点 E，垂足为点F，连接 CD ，BE. (1)求证： CEAD ；(2)当 D 运动到 AB 的中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页(3)若 D 运动到 AB 的中点，则 A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？说明你的理由解： (1)证明： DEBC， DFB 90 . ACB 90 ， ACB

5、DFB ， ACDE.MN AB ，即 CEAD ，四边形 ADEC 是平行四边形，CEAD (2)四边形 BECD 是菱形，理由：D 为 AB 的中点， ADBD.CEAD ，BDCE.BD CE，四边形BECD是平行四边形DE BC，四边形BECD 是菱形(3)当 A45 时，四边形 BECD 是正方形， 理由： ACB90 ，A45 ， ABC A 45 .四边形BECD 是菱形， DBE 2ABC 90 ， 菱形 BECD 是正方形故当 A45 时，四边形BECD 是正方形2在矩形 ABCD 中， AB 4 cm，BC8 cm，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD，BC 于点 E，F

6、，垂足为 O. (1)如图，连接AF ，CE. 试说明四边形AFCE为菱形，并求 AF 的长(2)如图，动点P，Q 分别从 A，C 两点同时出发，沿AFB和 CDE各 边 匀 速 运 动 一 周 ， 即 点P自精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页AFBA 停止，点Q 自 CDEC 停止在运动过程中，已知点P 的速度为 5 cm/s，点 Q 的速度为 4 cm/s，运动时间为 t s，当以 A，C，P，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值(第 3 题) 解： (1)四边形 ABCD 是矩形，AD BC ，

7、CAD ACB ， AEF CFE. EF 垂直平分 AC ，垂足为点O， OA OC， AOE COF. OEOF ，四边形 AFCE 为平行四边形又 EFAC ，?AFCE 为菱形设 AFCFx cm，则 BF(8x)cm，在 RtABF 中， AB 4 cm，由勾股定理得42(8x)2x2，解得 x5，AF 5 cm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页(2)显然，当P 点在 AF 上， Q 点在 CD 上时， A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理： P 点在 AB 上， Q 点在 DE 或 CE 上时，

8、也不可能构成平行四边形因此只有当P 点在 BF 上， Q 点在 ED 上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，则以A ，P，C，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PCQA.点 P 的速度为 5 cm/s，点 Q 的速度为 4 cm/s，运动时间为t s，PC5t cm，QA (124t)cm. 5t124t，解得 t43. 以 A ，P，C，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t433. ABC是等腰直角三角形，BAC 90 ，P，Q 分别是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页AB ，AC 上的动点，

9、且满足BPAQ ，D 是 BC 的中点，连接 AD，PD，PQ，DQ. (1)求证： PDQ 是等腰直角三角形；(2)当点 P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形？请说明理由4. 如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点 O，AC 20 cm，BD12 cm，两动点 E，F 同时以 2 cm/s的速度分别从点A，C 出发在线段AC 上相对运动，点E 到点 C，点 F 到点 A 时停止运动(1)求证：当点 E，F 在运动过程中不与点O 重合时， 以点 B，E，D，F 为顶点的四边形为平行四边形；(2)当点 E， F 的运动时间t 为何值时，四边形 BEDF 为矩形？解：

10、 (1)证明：连接DE ，EB，BF ，FD. 两动点 E，F 同时以 2 cm/s 的速度分别从点A，C 出发在线段 AC 上相对运动，AECF. 平行四边形ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页ODOB，OA OC(平行四边形的对角线互相平分)，OA AE OCCF 或 AE OA CFOC， 即 OE OF，四边形BEDF为平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形 )，即以点 B，E，D，F 为顶点的四边形是平行四边形(2)当点 E 在 OA 上，点 F 在

11、 OC 上， EFBD12 cm 时，四边形 BEDF 为矩形运动时间为t，AECF2t，EF204t12，t2；当点 E 在 OC 上，点 F 在 OA 上时，EFBD 12 cm，EF4t2012，t8. 因此，当点 E， F 的运动时间t 为 2 s 或 8 s时，四边形 BEDF为矩形二、圆相关的证明与求值问题1. 如图 ,AB 是 O 的直径 , 且 AB=6,C 是 O上一点 ,D 是 BC ?的中点， 过点 D作 O的切线， 与 AB 、AC的延长线分别交于点 E. F，连接 AD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8

12、 页，共 20 页(1) 求证： AFEF；(2) 填空：当 BE=_时，点 C是 AF的中点；当 BE=_时，四边形OBDC 是菱形 . 2. 如图，在 ABD中，AB=AD ，以 AB为直径的 F 交 BD于点C，交 AD于点 E，CG AD于点 G ，连接 FE，FC. (1) 求证： GC是 F 的切线；(2) 填空：若 BAD=45 ,AB=22，则 CDG 的面积为 _. 当 GCD 的度数为 _时，四边形EFCD是菱形 . 3. 已知：如图 ,AB 为 O的直径 , 点 P是 O上不与 A,B 重合的一个动点 , 延长 PA到 C,使 AC=AP, 点 D为 O上一点 , 且满足

13、 AD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页PB ，射线 CD交 PB延长线于点E. (1) 求证： PAB ACD ；(2) 填空：若 AB=6 ，则四边形ABED 的最大面积为 _；若射线 CD与 O的另一个交点为F， 则当 PAB的度数为 _时，以 O ，A，D，F 为顶点的四边形为菱形. 4.如图，在Rt ABC中，90C，点D 是 AC的中点，且90ACDB,过点,A D作Oe，使圆心O在AB上，Oe与AB交于点E（1）求证：直线BD与Oe相切；（2）若:4:5,6ADAEBC,求Oe的直径精选学习资料 -

14、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页5.如图，在 ABC 中， C=90 ， ACB 的平分线交AB 于点 O，以 O 为圆心的 O 与 AC 相切于点D（1）求证： O 与 BC 相切；（2）当 AC=3 ，BC=6 时，求 O 的半径 .6. 如图， AB 是 O 的直径， AM ，BN 分别切 O 于点 A ，B，CD 交 AM ，BN 于点 D，C，DO 平分ADC （1）求证： CD 是 O 的切线；（2）若 AD=4 ，BC=9 ，求 O 的半径 R7. 如图，在等腰ABC中， AB=AC ，以 AB为直径作 O交边精选

15、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页BC于点 D，过点 D作 DE AC交 AC于点 E，延长 ED交 AB的延长线于点F. （1）求证： DE是 O的切线；（2）若 AB=8 ，AE=6，求 BF的长 . 8. 如图， AB是O 的直径，点C 、D在O 上， A=2BCD ，点 E在 AB的延长线上， AED= ABC（1）求证： DE与O 相切；（2）若 BF=2 ，DF=，求O 的半径解： （1）证明：连接OD ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12

16、页，共 20 页AB是O 的直径， ACB=90 ， A+ ABC=90 ，BOD=2 BCD ，A=2BCD ， BOD= A，AED= ABC ， BOD+ AED=90 ， ODE=90 ，即OD DE ，DE与O 相切；（2）解：连接BD ，过 D作 DH BF 于 H，DE与O 相切， BDE= BCD ，AED= ABC ， AFC= DBF ，AFC= DFB ， ACF 与FDB都是等腰三角形，FH=BH= BF=1，则 FH=1 ，HD=3，在 RtODH中，+=，即+=，OD=5 ，O的半径是59. 已知，如图， AB 为O 的直径， PD 切O 于点 C，与 AB的延长线

17、交于点D，DE PO 交 PO延长线于点E，连接 PA，且EDB= EPA （1）求证： PA是O 的切线；（2）若 PA=6 ，DA=8 ，求O 的半径（ 1） 证 明 ： EDB= EPA， DE PO， EDO= APO，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页DEO=90 又 POA= DOE ， APO EDO ， PAO= DEO=90 又OA是半径， PA 是O 的切线；（2）在RtPAD 中，若PA=6 ，DA=8 ，根据勾股定理得：PD=10，PD与 PA都为圆的切线， PC=PA=6 ，DC=PD

18、-PC=10-6=4 ，在 RtCDO中，设 OC=r，则有 DO=8-r，根据勾股定理得： （8-r ）2=r2+42，解得： r=3 ，则圆的半径为310. 如图， AB是O 的直径，点C、D为半圆 O的三等分点，过点 C作 CE AD ，交 AD的延长线于点E（1）求证： CE是O 的切线；（2）判断四边形AOCD 是否为菱形？并说明理由（1）连接 AC ，点 CD是半圆 O的三等分点，=，DAC= CAB ， OA=OC，CAB= OCA ， DAC= OCA ，AE OC （内错角相等，两直线平行）， OCE= E，CE AD ， OCE=90 ， OC CE ，CE是O 的切线；（

19、2）四边形 AOCD 为菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页理由是：=， DCA= CAB ，CD OA ，又AE OC ，四边形AOCD 是平行四边形，OA=OC，平行四边形AOCD 是菱形11. 如图，已知直线 PA交O 于 A、 B 两点，AE是O 的直径，点 C是O 上一点，且AC平分 PAE ，过 C作 CD PA ，垂足为 D. （1）求证： CD为O 的切线；（2）若 DC+DA=6 ，O 的直径为 10，求弦 AB的长。（1）证明：连接OC ，OA=OC， OCA= OAC ，AC平分 PAE

20、，DAC= CAO ，DAC= OCA ，PB OC ，CD PA ，CD OC ，CO为O 半径， CD 为O 的切线；（2）解：过 O作 OF AB ，垂足为F，OCD= CDA= OFD=90 ， 四 边 形DCOF 为 矩 形 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页OC=FD ， OF=CD DC+DA=6，设 AD=x ，则 OF=CD=6-x ，O 的直径为 10，DF=OC=5，AF=5 -x ，在 RtAOF中，由勾股定理得+=即+=25，化简得 -11x+18=0 ，解得 =2，=9CD=6 -x

21、 大于 0，故 x=9 舍去， x=2，从而 AD=2 ，AF=5-2=3，OF AB ，由垂径定理知，F 为 AB的中点， AB=2AF=6 12.AB 为O 直径， BC为O 切线，切点为B，CO平行于弦AD ，作直线 DC 求证： DC为O 切线；若 AD?OC=8，求O半径 r 试题解析：证明：连接OD OA=OD， A= ADO AD OC ， A= BOC ，ADO= COD ， BOC= COD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页在 OBC与ODC中，OBC ODC （ SAS ） ， OBC= O

22、DC ，又BC是O 的切线， OBC=90 ， ODC=90 ， DC是O 的切线；连接 BD 在 ADB与ODC中，ADB ODC ，AD ： OD=AB ： OC ， AD?OC=OD?AB=r?2r=2r2，即 2r2=8，故 r=213、如图， ABC 内接于 O ， AB为直径， E为 AB延长线上的点，作 OD BC交 EC的延长线于点D，连接 AD （1）求证： AD=CD ；（2）若 DE是O 的切线， CD=3 ，CE=2 ，求 tanE 和 cosABC的值（1）证明： AB 为直径，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

23、第 17 页，共 20 页ACB=90 ， BC AC ，OD BC ，OD AC ，OD平分 AC ，即 OD垂直平分AC ，AD=CD ；（2）连结 OC ，如图，设O的半径为 r ，BC OD ，=，即= ，解得 BE= r，DE为切线， OC DE ， OCD= OCE=90 ，在OAD和OCD中，OAD OCD ， OAD=90 ，在 RtADE 中， AD=AC=3 ， DE=DC+CE=5，AE=4，tanE= ，OD BC ， ABC= AOD ，在RtAOD中，OD=，cosAOD=，cosABC=答： tanE= ，cosABC= 精选学习资料 - - - - - - -

24、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页14.如图，在 ABC 中， BAC=90 ，AB=AC ，AB 是 O的直径， O 交 BC 于点 D，DEAC 于点 E，BE 交 O于点 F，连接 AF ，AF 的延长线交DE 于点 P（1）求证： DE 是 O 的切线；（2）求 tanABE 的值；（3）若 OA=2 ，求线段AP 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页15.如图 ,AB 、CD 为 O 的直径 ,弦 AECD，连接 BE 交 CD于点 F，过点 E 作直线 EP 与 CD 的延长线交于点P，使PED= C. (1)求证： PE 是 O 的切线；(2)求证： ED 平分 BEP；(3)若 O 的半径为5，CF=2EF ，求 PD 的长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页