2022年用Mathematica求偏导数与多元函数的极值.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 10 用 Mathematica 求偏导数与多元函数的极值10.1 用 Mathematica 作三维函数图在多元函数微积分中,作图可以使得问题更为直观,易于懂得；这里第一给大家介绍“ 用 Mathematica作三维函数图” ；1 常用的三维绘图函数Plot3Dfx,y,x,a,b,y,c,d,可选项 : 作fx,y的图形；ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,a,bv,c,d: Showf1,f2,f3, : 将多个图形组合重新显示；2 常用的可选项 Plot3D 函数有很多可选项可以用来修饰三维图形的外观；的外

2、观,以便于观看；表 10-1 常用的可选项作三维参数方程的图形；可以借助于可选项转变图形可选项默认值说明Axes True 是否绘制坐标轴Axeslable None 坐标轴的名称； zlabel 为 z 轴的 label,即 z 轴的标注, labelxlabel,ylabel,zlabel分别为 x 轴,y 轴 , z 轴的标注AspectRatio 1 作图高、宽比例,可以说明为任意值Boxed True 绘制外框；定义False 就不绘制外框Displayfunction $Displayfunction 显示图形模式,定义Identity 不显示图形PlotRange Automat

3、ic z 方向的绘图范畴Shading True 表面不上色或留白ViewPoint 1.3,-2.4,2 观测点 眼睛观测的位置 挑选合适的观测点在也有助于观看图形,下面是典型的ViewPoint 值：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 表 10-2 典型的 ViewPoint 值ViewPoint 值x2y2观测点的位置1.3,-2.4,2 默认观测点0,-2,0 从前方看0,0,2 从上往下看0,-2,2 从前方上面往下看0,-2,-2 从前方下面往上看-2,-2,0 从左前方看2,-2,0 从右前方看例 10

4、.1 画出函数zsin图形,并使图形表面不上色；解In1:= Plot3DSinSqrtx2+y2,x,0,2Pi,y,0,2Pi 10.506-0.5-1 4 02 246 0Out1= -SurfaceGraphics- 名师归纳总结 In2:= Show%,Shading-False第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10.5046-0.5-102 246 0Out2= -SurfaceGraphics- 例 10.2 画出函数 z sin x cos y 图形,并使调整图形观测点观看图形是否对称；解 In1:= Plot3

5、DSinx*y,x,0,2Pi,y,0,2Pi,AxesLabel-“x” , “ y”, “ z” 10.5 z06-0.5-12x46024y0Out1= -SurfaceGraphics- 名师归纳总结 In2:= Show%,ViewPoint- 1,-1,2 第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 61z0.5 0-0.56-1420024yxOut2= -SurfaceGraphics- 例 10.3 画一单位双曲面；解 第一,写出单位双曲面的参数方程x=Coshu*Cosv y=Coshu*Sinv z=uIn1:= P

6、arametricPlot3DCoshu*Cosv,Coshu*Sinv,u,u,0,Pi, v,-Pi,Pi,AxesLabel- “x” , “ y”, “ z” 2 1z02-1-2-2x02-20yOut1= -Graphics3D- 名师归纳总结 例 10.4 画出函数x2y2z21图形；第 4 页,共 13 页4316- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 In1:= ParametricPlot3D2Sinu*Cosv,3Sinu*Sinv,4Cosu,u,0,Pi, v,-Pi,Pi,AxesLabel-x, y, z y2-2-1x12

7、00-242z0-2-4Out1= -Graphics3D- In2=: Show%,ViewVertical-1,0,0 21x 0-1-220-220-2-4yz4Out2=-Graphics3D- 例 10.5 画出由 x 2y 0 与 x 1 2y 2 1 所围的立体图形；解 In1:= a1=Plot3Dx+2y,x,0,2,y,0,2,DisplayFunction-Identity; a2=ParametricPlot3D1+Cosu,Sinu,v,u,0,2Pi,v,0,3.5, DisplayFunction-Identity; a3=Plot3D0,x,-1,2,y,-1,

8、2,DisplayFunction-Identity; Showa1,a2,a3,AxesLabel-x, y,AspectRatio-Automatic, PlotRange-0,4,DisplayFunction-$DisplayFunction 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4z30x12-101y2210-1Out1= -Graphics3D- 9.2 用 Mathematica 求偏导数与多元函数的极值函数Dtxn,x实际上给出了 偏导数 ,在这个表达式中,假设n 个不是 x 的函数,在Mathema

9、tica 中,它有一个函数Dt ,它代表的是全微分,在这个函数中,所以的变量都有联系；在 Mathematica 的说明中,Df,x代表了f ,而 xDtf,x就代表了df ；可以认 dx为 Dt 表示了“ 全微分” ；例如：1. 下面给出了一个全微分,其中n 是 x 的函数,Dtf,x就代表了df ；dxIn :1Dtxn ,x f,x代表了 dx；Out1xnnDtn,xlogx x2. 下面是一个全微分；其中DtIn 2:Dtxn x Out2 xnnDtx Dtnlogx注：在 Mathematica 中,仍是有些微分函数用于直接运算的,如下表所示：表 10-3 部分的微分函数名师归纳

10、总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数及其表达式 函数功能说明Df,x或Dtf,x ,1x,2关于 x 的偏微分D f x , 1, 2, x L关于x ,1 x2等的混合偏微分D f 轾臌 ,x n或Dtf,x,n关于 x 的 n 阶偏微分Dtf函数的全微分Dtf,x关于变量 x 的全微分例 10.6 求以下函数对 x 的偏导数1. ulnxx2y2；2. uarctgx 1y；xy3. usin ey x；4. u=xz；y解 In1:= DLogx+Sqrtx2+y2 ,x; Simplify% * 通常 Mathe

11、matica 不自动化简微分结果,要借助于 Simplify 函数 * Out1=x21y2名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - In2: = DArcTanhx+y/1-x*y,x; Simplify% Out2= 1y21y214xyy2x2In3: = DESiny/x,x; Simplify% Out3= eSinyyCosyxxx2In4: = Dx/yz,x; Simplify% Out4= xzz3sinx,求z ,yzx y,1 1,2z ,2x6z ；3 yyxx3sinyy例 10.7 设zx3yC

12、learz,x,y; 解In1:= Out1= zx,y:=x3*Siny+y3Sinx; /* 定义二元函数 .*/Dzx,y,yx3Cos y3y2Sin x名师归纳总结 In2:=Dzx,y,y/.x-1,y-1 2v,求/* 给函数的变量赋值 .*/ 第 8 页,共 13 页Out2= Cos 13Sin 1z ,uz ,v2z ；2In3:= Dzx,y,x,2Out3= y3Sin x6xSin yIn4:= Dzx,y,x,3,y,3Out4= 6 Cos x6Cos y例 10.8设zx2lny ,xu,y3 uyv解In1:= xu_,v_:=u/v; - - - - - -

13、 -精选学习资料 - - - - - - - - - yu_,v_:=3u-2v; zx_,y_:=xu,v2*Logyu,v; Dzx,y,u; Simplify%Out1= u 3 u2 v2Log 3 u2 v g u v 具有二3 uv2In2:= Dzx,y,v;Simplify%Out2= 2 u23 uv2 vLog 3 u2 vv 3In3:= Dzx,y,v,2;Simplify%Out3= 2 u2 6 u5 vv3 3 u2 v 2Log 3 u2 v 3 u2 v2v4例 10.9 设zf2xygx,xy,其中函数f t 二阶可导,阶连续的偏导数,求z ,x2z ,22

14、z；xxy解In1:= Df2x-y+gx,x*y,xOut1= 2f2xyyg0,1 x,xyg01, x,xyIn2:= Df2x-y+gx,x*y,x,2 Out2=g0,2其中4f2xyyg,11x ,xy y yg0,2x ,xyg,11x ,xy g2,0x,xy,In3:= Df2x-y+gx,x*y,x,y xyg0,2x,xyxg 1,1x ,xy 2f2xyg01, x,xy Out3= g ,10u ,v 为g,g01,u,v 为g,g 11, u ,v 为gv,g2,0 u,v 为guvuu2u ,v 为g；v2名师归纳总结 例 10.10 已知函数zxyxFy,证明x

15、zyzzxy；第 9 页,共 13 页xxy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解In1:= z=x*y+x*Fy/x; Dz,x*x+y*Dz,y-z-x*y; Simplify% Out1= 0 例 10.11 求由以下方程所确定的隐函数和导数或偏导数：解1lnx2y2arctgy, 求dx ；dyx2xucosv,yusinv,求u ,xu ,yv ,xv ；yuuIn1:= eq1=LogSqrtx2+yx2= = ArcTanhyx/x; Deq1,x; Solve%,y x; Simplify% Out1= yx x3x2y xxy x2y

16、x 3x x3x2y x xy x2y x 3In2:= Dx=ux*Cosvx/ux,y=ux*Sinvx/ux,x; SimplifySolve%, u x,vx ux Cos v x,vxSin v xCos v xv Out2= uxuxu x uxIn3:= Dx=uy*Cosvy/uy,y=uy*Sinvy/uy,y; SimplifySolve%, u y,vy uy Sin v x ,vyCos v ySin vyv yOut3= u yu xuyuy例 10.12 求以下极值问题：名师归纳总结 1函数fx,yx33xy15x12y. 第 10 页,共 13 页- - - -

17、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2求函数fx,yx2y21216y,在x2y225上的最大最小值 . 解 1 In1:= Clearx,y,z,a,b,c,d,t; fx_,y_:=x3+3*x*y2-15x-12y; a=Dfx,y,x,2; b=Dfx,y,x,y; c=Dfx,y,y,2; d=a*c-b2; t=SloveDfx,y= =0,x,Dfx,y= =0,y,x,y; l=Lengthtl Fori=1,i0&a10&a10,Print“ fmin= ” ,z, d1= =0,Print “ No Sure ”,z, d1= =0,PrintNo

18、Out1= x-2,y-1 fmax=28 x-1,y-2 No x-1,y-2 No x-2,y-1 fmin=-28 2 先求f x y 在圆域内x2y225的最大最小值 : 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - In2:= fx_,y_:=x2+y2-12x+16y; t=SolveDfx,y= =0,x,Dfx,y= =0,y,x,y Out2= In3:= x-6,y-8 * 驻点 *x2+y2-25/.t1 Out3= 75 该驻点在圆外,圆内无驻点,故不取极值；下面考虑圆x2y225上的最值；这是在约束

19、条x2y225下的条件极值 ,用 Lagrange乘数法求解；In4:= Clearx,y,F,t; Fx_,y_,t_:=fx,y+tx2+y2-25; s=SolveDfx,y,t=0,Dfx,y,t=0,y,DFx,y,t= =0,t,x,y,t Out4= t-3,x-3,y-4,t-1,x-3,y-4 In5:= Fx,y/.s1 Out5= 25 In6:= Fx,y/.s2 Out6= -75 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 10.11 求以下函数的偏导数；1 zyx21y22 zexyz3

20、 uzx4 uxyxxz2 求以下函数的偏导数或导数；1 设zarctgxy,yex,求dz ；dxz ；v2 设zxln xy,求3z,3zx2yxy23 设z2 xlny ,xu,y3 u2 v ,求z ,uv4 设ufx,y,求u ,zu ,yu ；xyz5 设zfxy,xy ,x,求zx,zxx,zxy；y3 求以下方程所确定的隐函数的导数；名师归纳总结 1 x2y3x2y340,求dy ；dx第 13 页,共 13 页2 exy2zez0,求z ,xz ；y3 zfxyz ,xyz ,求z ,xx ,yz ；y4 x2y2z2a2,x2y2ax,求dy ,dxdz ；dx4 求函数fx ,yx25y26x10y6的极值；5 求函数zx2y2,在x,y |x2y24范畴内的最大最小值；- - - - - - -