2022年时间序列分析-建模与预测汇编 .pdf

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1、建立随机线性模型的标准手法时间序列分析在工程技术中有重要的作用，常用于做预报、控制等。为建立其随机线性模型，首先，我们应明白什么是时间序列：时间序列是随机序列，即参数离散的随机过程。由于工程中遇到的随机序列的参数经常为时间，故称随机序列为随机时间序列，简称时间序列。可以说，时间序列是随时间改变而随机变化的序列。平稳时间序列是平稳序列，它满足期望为零，且任意两个时刻的相关函数与时间t 无关，仅与两个时刻的时间差相关。本文主要介绍平稳时间序列的随机线性模型的建立。为建立平稳时间序列的随机线性模型；我们应掌握以下基本知识：一基本知识1）两个重要参数及其性质A：自相关函数k=rk/r0 自相关函数刻划

2、了任意两个时刻之间的关系。B: 偏相关函数 kk偏相关函数刻划了平稳序列任意一个长k1 的片段在中间量固定的条件下，两端的线性密切程度。与他们相关的性质有：拖尾性和截尾性。拖尾性：指它们随 k 无限增长以负指数的速度趋向于0， 其图像像拖一条尾巴。截尾性：指它们在kp 或 kq 后，其值变为零，其图像像截断了的尾巴一样。2）平稳时间序列的线性随机模型的三种重要形式 at 为白噪声。这三种形式可以描述如下： A ：AR（p）自回归模型t- 1t-1- 2t-2- , - pt-p=atAR （p）模型有p2 参数刻画 ; B: MA(q) 滑动平均模型t = at 1at-12at-2 - ,-

3、 qat-q名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 哈尔滨工业大学课程设计（论文）2 MA(q)模型有 q2 参数刻画 ; C: ARMA(p,q) 混和模型t- 1t-1- 2t-2- , - pt-p= at1at-12at-2 - ,- qat-qARMA(p,q)混和模型有pq3 参数刻画；其实，我们可以把AR(p)和 MA(q)模型看成APMA(p,q)的两种特例。3）三种形式和两个重要参数的关系三种 mode

4、l 和两个重要参数的关系有如下表的关系：model function AR(p) MA(q) ARMA(p,q) k 拖尾 k=q处截尾拖尾kk k=q 处截尾拖尾拖尾依据上表，我们可以跟据k和kk判别模型类别。二建模掌握上述基本知识后，下面我们来看看具体如何建立平稳时间序列的随机线性模型。此过程可以分为五步，具体如下：1 对一个时间序列作n 次测量得到一个样本Z1，Z2，,Zn, 一般取 n50；2 数据预处理：作 t= ZtZ (Z=11niiZn为样本数据的算术平均值) ，得到 n 个数据： 1, 2，, , n；3计算样本自协方差函数kr， 样本自相关函数k， 偏相关函数kk数值，k=

5、0,1,2, ,k ；一般取kp 时， 样本偏相关函数不为零，而偏相关函数kk=0，这就给判断带来一定的困难。我们可以采用一下方法解决： 当 kp 时，平均 20 个样本偏相关函数中至多有一个使|kk| 2/n,则认为 kk截尾在 k=p 处，其理论依据为：定理：对于具有AR （ p） 自回归模型的正态平稳时间序列t， 当 n 很大时，样本偏相关函数在kp 时近似服从正态分布N(0,1/n).(摘自安鸿志时间序列分析及其应用)。2）若 kk拖尾， k在 k=p 处截尾，那么线性模型为MA(q)滑动平均模型。kk拖尾可以根据样本偏相关函数的点图判断，只要|kk|愈变愈小（ k 增大时）。但是，用

6、样本自相关函数判断自相关函数k在 k=q 处截尾可采用如下方法：当kq 时，若平均20 个样本自相关函数中至多有一个使|k| 2/n, 其理论依据如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 哈尔滨工业大学课程设计（论文）4 定理： 对于具有 MA(q)滑动平均模型的正态平稳时间序列t, 当 n很大时，样本自相关函数在kq 时服从正态分布N(0,(1+212qll)/n) 。 ( 摘自 安鸿志 时间序列分析及其应用) 。

7、3) 若样本自相关函数和样本偏相关函数都是拖尾的，则线性模型可以看成混和模型（或者，样本自相关函数和样本偏相关函数都不为截尾的，又被负指数型的数列所控制） 。其具体的判别方法和上述一样。识别 p,q 办法可以从低阶到高阶逐个取（p,q ）为（ 1，1）,(1,2),(2,1),等值尝试，即先认定（p,q ）为某值（如（ 1，2） ）再进行下一步的参数估计，并且定出估计模型来，然后经过一定方法（自相关函数检验法，周期图检验法）检验这个估计模型是否被接受，即与原序列符合的好不好；若不被接受， 就调整（p,q ）尝试值，再重新作参数估计和检验，直到被接受为止。此法虽然繁琐但是很为实用。对平稳时间随机

8、线性模型的三种形式都适用，只是对于自回归模型q=0, 对于滑动平均模型p=0。另外，混和模型在实际应用中阶数(p,q) 一般少用MA或ARMA 模型；除此之外，尚有其他定阶的手法。5参数估计：计算参数估计值，下面具体介绍用粗估计：矩估计方法进行参数估计，具体如下：1）AR （p）模型参数估计：AR （p）模型有 p+2 个参数： p，1,2, ,p,2a。p 在确定其阶数时已经确定了， 所以此时只要确定1,2, ,p,2a。利用 yule-walker方程， 利用Toeplitz矩阵求逆和作矩阵乘法的方法算样本偏相关函数kk， 计算量是很大的，可以采用递推公式计算，计算量要小一些。在计算样本偏

9、相关函数时，同时也计算了自回归模型的参数值，因此AR （p）模型的参数值不必作专门的计算，只要在样本偏相关函数计算的记录中取出样本参数值即可。此时1,2, ,p, 都已名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 哈尔滨工业大学课程设计（论文）5 经确定了，那如何确定2a。事实上，经过推理我们可以得到：2a01pjjj因而，只需用相应的样本计算值带入上式即可得出2a。此时， AR （p）模型的参数估计完成。2）MA(q)滑动平

10、均模型参数估计：对： k = 0, r0 =2a(1+21+,+2q) 0kq, rk=0 上述式子两边对rk，2a，k取估计值可得q+1 个方程，其中样本协方差函数rk数值已算出，而未知数1,2，, ,q,2a, 共 q+1 个，此方程组是非线性方程组，要求1,2，, ,q,2a，即可解这个非线性方程组。另外也可采用近似解法（略）。3）ARMA(p,q)混和模型参数估计对于满足一个条件：1111.ttptpttptqaaa采用先计算12,， ., p，在计算1,2，, ,q,2a的方法，具体如下：A：先算：12,，., p可利用 Toeplitz 矩阵和作矩阵乘法的方法求出12,，., p。

11、B：在算：1,2，, ,q,2a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 哈尔滨工业大学课程设计（论文）6 令212qlln11.tttptp于是混和模型化为：11.tttptqaaa这是关于t的 MA （q）模型， 由上所述， 可用t的样本协方差函数估计1,2，, ,q,2a的值，为此应先推导t的自协方差函数和t的自协方差函数的关系, , 具体的方法见教材。事实上， 模型参数的估计方法还可采用精确估计方法，模型的精确估计

12、方法主要有以下几种：1）. 最小二乘估计（LSE ） ：AR(p),MA(q),ARMA(p,q)模型参数均可采用LSE估计方法。2) 最小均方差估计（LMS ）: AR(p),MA(q),ARMA(p,q)模型参数均可采用LMS估计方法。3) 精估计的数值解法和其他近似解法：对 MA(q),ARMA(p,q) 模型均不能得到参数估计的明显表达式，只可用数值解法求极值问题的数值方法。4) 极大似然估计（MLE ）及估计的优效性质：对于正态平稳过程t对于 ARMA （p，q）模型序列可采用极大似然估计方法讨论参数估计问题，另外，还可讨论一下这种方法所得的估计的优良性质，这是很具有实际意义和理论价值的。至此，模型建立完毕，由上面的描述，我们可以看出前三步为准备工作，后两步是确定模型的实质性步骤，最后，我们获得关于t的线性模型。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -