2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2教学案： 第三章 3.1数系的扩充和复数的概念 .doc

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1、第1课时数系的扩充和复数的概念核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P50P51的内容，回答下列问题(1)方程x210在实数范围内有解吗？提示：没有(2)为了解决x210这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的新数？提示：引入了新数i，使ii1.(3)把实数a与引入的新数i相加，把实数b与i相乘，各得到什么结果？提示：分别得到ai，bi.(4)把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到什么结果？提示：得到abi.2归纳总结，核心必记(1)复数的概念及代数表示定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i21.全体复数所成的集合C叫做复数集表示：复

2、数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部(2)复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，规定abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.(3)复数的分类复数abi(a，bR)集合表示：问题思考(1)复数mni的实部、虚部一定是m、n吗？提示：不一定只有当mR，nR时，m， n才是该复数的实部、虚部(2)对于复数zabi(a，bR)，它的虚部是b还是bi?提示：虚部为b.(3)复数zabi在什么情况下表示实数？提示：b0.(4)复数集C与实数集R之间有什么关系？提示：RC.(5)我

3、们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？提示：它的实部和虚部都是0.(6)a0是zabi为纯虚数的充要条件吗？提示：不是因为当a0且b0时，zabi才是纯虚数，所以a0是复数zabi为纯虚数的必要不充分条件(7)z132i，z2i，z30.5i，则z1，z2，z3的实部和虚部各是什么？能否说z1z2?提示：z1的实部为3，虚部为2；z2的实部为，虚部为；z3的实部为0，虚部为0.5.因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z1z2.(8)若(a2)bi0，则a，b应满足什么条件？提示：要使(a2)bi0成立，则(a2)bi应为实数，且a20，即故课前反思通过以上预习，必须掌握的几个

4、知识点(1)复数的定义是什么？；(2)复数的代数形式是什么？什么是复数的实部和虚部？；(3)复数相等的充要条件是什么？；(4)复数的分类是什么？复数zabi(a，bR)是实数、虚数、纯虚数的条件是什么？.讲一讲1给出下列三个命题：(1)若zC，则z20；(2)2i1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D3尝试解答对(1)，当zR时，z20成立，否则不成立，如zi，z21z2，则a的值为()A0 B1 C D.解析：选A由z1z2，得即解得a0.5若log2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，则实数m_.解析：因为log2(m23m3)ilog2(m

5、2)为纯虚数，所以所以m4.答案：46若log2(x23x2)ilog2(x22x1)1，则实数x的值(或取值范围)是_解析：由题意知解得x2.答案：27已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值解：设(x0，y0)是方程组的实数解，则由已知及复数相等的充要条件得由得代入得8已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，若MPP，求实数m的值解：MPP，MP，即(m22m)(m2m2)i1或(m22m)(m2m2)i4i.由(m22m)(m2m2)i1，得解得m1；由(m22m)(m2m2)i4i，得解得m2.综上可知m1或m2.第2课时复数的几何意义核心必知1预习教材，问题导入

6、根据以下提纲，预习教材P52P53的内容，回答下列问题(1)根据复数相等的定义，复数zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)之间有什么对应关系？提示：一一对应关系(2)有序实数对(a，b)与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？提示：一一对应关系(3)通过以上2个问题，你认为复数集与平面直角坐标系中的点集之间有什么对应关系？提示：一一对应关系2归纳总结，核心必记(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义复数zabi(a，bR)一一对应复平面内的点Z(a，b)；复数za

7、bi(a，bR)一一对应平面向量.(3)复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|或|abi|，且|z|.问题思考(1)复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?提示：复平面的虚轴的单位长度是1，而不是i.(2)原点是实轴与虚轴的公共点吗？提示：是(3)若复数(a1)(a1)i(aR)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？提示：a满足即1a1.(4)若复数z的实部为1，虚部为2，则|z|为何值？提示：|a|.课前反思(1)复平面的定义是什么？什么是实轴、虚轴？；(2)复数的几何意义是什么？；(3)复数模的定义是什么？.思考如何判断复数zabi(a，bR

8、)在复平面内所对应的点的位置？名师指津：复数zabi(a，bR)与复平面内的点(a，b)对应，根据a，b的符号判断点(a，b)所在象限或坐标轴即可讲一讲1实数x取什么值时，复平面内表示复数zx2x6(x22x15)i的点Z(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线xy30上尝试解答因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即3x2时，点Z位于第三象限(2)当实数x满足即2x0，得m5，此时z在复平面内对应的点位于x轴上方(2)由m25m6m22m15，得m3，此时z在复平面内对应的点位于直线yx上 思考与复数zabi(a，bR)对应的平面向量是什么？名师指津

9、：与复数zabi(a，bR)对应的平面向量(a， b)讲一讲2(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数是()A55i B55iC55i D55i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2i，12i.求向量，对应的复数；若ABCD为平行四边形，求D对应的复数尝试解答(1)向量，对应的复数分别为23i，32i，根据复数的几何意义，可得向量(2，3)，(3,2)由向量减法的坐标运算可得向量(23，32)(5，5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是55i.(2)设O为坐标原点，由复数的几何意义知：(1,0)，(2,1)

10、，(1,2)，所以(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以，对应的复数分别为1i，22i，3i.因为ABCD为平行四边形，所以(3,1)，(1,0)(3,1)(2,1)所以D对应的复数为2i.答案(1)B(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化练一练2在复平面内，O是原点，若向量对应的复数z的实部为3，且|3，如果点A关于原点的对称点为点B

11、，求向量对应的复数解：根据题意设复数z3bi(bR)，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得(3，b)，已知|3，即3，解得b0，故z3，点A的坐标为(3,0)因此，点A关于原点的对称点为B(3,0)，所以向量对应的复数为z3.思考复数zabi(a，bR)的模是什么？其模的几何意义是什么？名师指津：复数zabi的模|z|，其几何意义是点(a，b)到坐标原点的距离讲一讲3已知复数z1i，z2i.(1)求|z1|及|z2|并比较大小；(2)设zC，满足条件|z|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？尝试解答(1)|z1|i|2，|z2|1，所以|z1|z2|.(2)法一：设zxyi(x，yR)

12、，则点Z的坐标为(x，y)由|z|z1|2得 2，即x2y24.所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆法二：由|z|z1|2知|OZ|2(O为坐标原点)，所以Z到原点的距离为2.所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小(2)根据复数模的计算公式|abi|可把复数模的问题转化为实数问题解决(3)根据复数模的定义|z|OZ|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决练一练3已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围解：因为z3ai(aR)，所以|z|，由已知得32a242，所以a27，所以a(，)课堂归纳感悟提升1本节课的重

13、点是复数的几何意义及复数模的计算，难点是复数几何意义的应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)复数与复平面内点的对应关系，见讲1；(2)复数与平面向量的对应关系，见讲2；(3)复数模的计算及应用，见讲3.课下能力提升(八)学业水平达标练题组1复数与复平面内点的对应关系1在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82iC24i D4i解析：选C复数65i对应A点坐标为(6,5)，23i对应B点坐标为(2,3)由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，所以点C对应的复数为24i，故选C.2在复平面内，复数zsin 2icos 2对应的点位

14、于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D20，cos 23.答案：(3，)4设zlog2(1m)ilog(3m)(mR)(1)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围；(2)若z在复平面内对应的点在直线xy10上，求m的值解：(1)由已知，得即解得1m0，且3m0，m1.题组2复数与平面向量的对应关系5向量对应的复数为z132i，对应的复数z21i，则|为()A. B. C2 D.解析：选A因为向量对应的复数为z132i，对应的复数为z21i，所以(3,2)，(1，1)，则(2,1)，所以|.6向量(，1)按逆时针方向旋转60所对应的复数为()Ai B2iC1i

15、D1i解析：选B向量(，1)，设其方向与x轴正方向夹角为，tan ，则30，按逆时针旋转60后与x轴正方向夹角为90，又| |2，故旋转后对应的复数为2i，故选B.7在复平面内，O是原点，已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别是A，B，C，若xy (x，yR)，求xy的值解：由已知，得(1,2)，(1，1)，(3，2)，所以xyx(1,2)y(1，1)(xy,2xy)由xy，可得解得所以xy5.题组3复数模的计算及应用8已知复数z3i，则复数的模|z|是()A5 B8 C6 D.解析：选D|z|.9已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是_解析：|z|

16、，而0a2，1a215，1|z|.答案：(1，)10已知复数z满足z|z|28i，求复数z.解：设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得，abi28i，解得z158i.能力提升综合练1若m2，则复数z(2m2)(3m7)i在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Dm0,3m70.复数z(2m2)(3m7)i在复平面上对应的点位于第四象限2复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，则实数a的取值范围是()A(1,1) B(1，)C(0，) D(，1)(1，)解析：选A|z1|，|z2|，1a1.3已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是，则z

17、为()A2i B2iC.2i D.2i解析：选A设zxyi(x，yR)，则x，由|z|3，得()2y29，即y24，y2.复数z对应的点在第二象限，y2.z2i.4已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的轨迹为()A一个圆 B线段C两点 D两个圆解析：选A|z|22|z|30，(|z|3)(|z|1)0，|z|3，表示一个圆，故选A.5复数z1cos isin (2)的模的取值范围为_解析：|z|，2，1cos 1.022cos 4.|z|(0,2)答案：(0,2)6已知z|z|1i，则复数z_.解析：法一：设zxyi(x，yR)，由题意，得xyi1i，即(x)yi1i.根据复数相

18、等的充要条件，得解得zi.法二：由已知可得z(|z|1)i，等式两边取模，得|z|.两边平方，得|z|2|z|22|z|11|z|1.把|z|1代入原方程，可得zi.答案：i7在复平面内画出复数z1i，z21，z3i对应的向量，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(1,0)，则向量如图所示|z1|1，|z2|1|1，|z3|1，如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上8已知复数z2cos (1sin )i(R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线解：设复数z与复平面内的点(x，y)相对应，则由复数的几何意义可知由sin2cos21可得(x2)2(y1)21.所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆