2022年用均值不等式求最值的方法和技巧完美.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式a2b222 ababa2b2a、bR,当且仅当 a = b 时,“ =” 号成立；2abababab2R,当且仅当 a = b 时,“ =” 号成立；a、b2a3b33 c3 abcabca33 bc3 a、b、cR,当且仅当 a = b = c 时, “ =”3号成立；abc33abcabcabc3a、b、cR , 当且仅当 a = b = c 时,“ =”3号成立 . 注： 留意运用均值不等式求最值时的条件：一“ 正”、二“ 定” 、三“ 等” ； 熟识一个重要的不等

2、式链：121aba2ba22b2；ab的方法和技巧二、用均值不等式求最值的常见1、求几个正数和的最小值；3、用均值不等式求最值等号不成立；例 3、如 x、yR ,求f x4 0x1 的最小值；x 故当x1时,f x4在 0,1上有最小值 5 x4、条件最值问题；例 4、已知正数 x、y 满意8 x11,求x2y 的最小值；y解法一 ：（利用均值不等式）x2yy81 yx2 10x16y102x16y18, 当且仅当811即xyxyxyxx16yx12,3时“=” 号成立,故此函数最小值是18；yx解法二 ：（消元法）名师归纳总结 由8 x811得yxx8,由y0xx80 又x0x8就；当第 1

3、 页,共 6 页yx2 xx8 161610 182xx216x816102 x8x2yxx8x88x8x8且仅当x16即x12,此时y3时“ =” 号成立,故此函数最小值是18；x8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载评析： 此类问题是同学求解易错得一类题目,解法一同学普遍有这样一种错误的求解方法：x2y81x2 28 1x2y8；缘由就是等号成立的条件xyx y不一样；5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题；例 5、已知正数 x、 满意xyxy3,试求 xy 、 xy 的范畴；解法一 ：由 x 0, y 0,就 xy x y

4、3 xy 3 x y 2 xy ,即 xy 22 xy 3 0 解得xy 1 舍 或 xy 3,当且仅当 x y 且 xy x y 3 即 x y 3 时取“ =” 号,故 xy 的取值范畴是 9, ；又 x y 3 xy x y 2 x y 24 x y 12 0 x y 2 舍 或 x y 6,当且2仅当 x y 且 xy x y 3 即 x y 3 时取“=” 号,故 x y的取值范畴是 6, 解法二 ：由 x 0, y 0,xy x y 3 x 1 y x 3 知 x 1,就 y x 3,由 y 0 x 30 x 1,就：x 1 x 12 2xy x x 3 x 3 x x 1 5 x

5、 1 4 x 1 45 2 x 1 45 9,当x 1 x 1 x 1 x 1 x 1且仅当 x 1 4 x 0 即 x 3,并求得 y 3 时取“ =” 号,故 xy的取值范畴是 9, ；x 1x y x x 3x x 1 4x 41 x 1 42 2 x 1 42 6,当x 1 x 1 x 1 x 1 x 1且仅当 x 1 4 x 0 即 x 3,并求得 y 3 时取“ =” 号,故 xy的取值范畴是 9, ；x 1三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、 添、减项（配常数项）例 1 求函数y3x2216.x 的最小值 . 分析：3 x2216x 是二项“ 和” 的形式,但其“ 积” 的形式

6、不为定值1名师归纳总结 而2xx 可与x222相约,即其积为定积1,因此可以先添、减项6,即第 2 页,共 6 页y3262166,再用均值不等式 . x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：x 22 0, y 3 x 2 1622 x3 x 22 162 62 x2 162 3 x 2 2 62 x8 3 62 16 2 4 33 x 2 x 2当且仅当 2 x ,即 3 时, 等号成立 . 所以y的最小值是8 3 6 . 评注 为了制造条件利用均值不等式,添项是常用的一种变形技巧 ;为了保证式子的值不变,添项后肯定要再减去同一项

7、. 2、 配系数（乘、除项）例 2 已知 x 0, y 0,且满意3 x 2 y 12,求lg x lg y 的最大值 . 分析 lg x lg y lg xy , xy是二项“ 积” 的形式,但不知其“ 和” 的形式x y 是否定值,而已知是 3x与2y的和为定值 12,故应先配系数,即3 x 2 y将xy变形为 6,再用均值不等式 . 解：x 0, y 03 x 2 ylg x lg y lg xy lg62 21 3 x 2 y 1 12lg lg6 2 6 2lg 6当且仅当3x2y ,即x2,y3时,等号成立 . 所以lgxlgy 的最大值是lg 6. 评注 此题是已知和为定值,要求

8、积的最大值,可逆用均值不等式,即利用aba2b2来解决 . 3、 裂项名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 已知x1,求函数学习必备5欢迎下载2的最小值 . yxxx1分析 在分子的各因式中分别凑出x1,借助于裂项解决问题 . 解：x10 ,x1x41x11x1x4152 x1x4159当且仅当x1x41,即x1时,取等号 . 所以y min9. 4、 取倒数例 4 已知0x1,求函数yx2 1x12 x 的最小值 . 2分析 分母是x与12 x 的积,可通过配系数,使它们的和为定值；也可通过配系数, 使它们的和

9、为1x 这是解此题时真正需要的. 于是通过取倒数即可解决问题. 解 由0x1,得1x0,12x0. 21x1 2 13 x1 2xy1x 23 1x1x13 x12 x211x21x312取倒数,得当且仅当3 x1 2xx1时,取等号 . 1x1x ,即5故y的最小值是12. 5、 平方名师归纳总结 例 5 已知x0,y0且2x2y28求x62y 的最大值 . 第 4 页,共 6 页3分析 条件式中的x与y都是平方式, 而所求式中的x 是一次式,y 是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2y 平方,就解平方式但带根号 . 初看好像无从下手

10、,但如把所求式x6题思路豁然开朗,即可利用均值不等式来解决. 解：x62y22x2622 y3 2 x21y2332x 21y223 92232当且仅当2x21y2,即x3,y42时,等号成立 . 362y ,先配系22故x62y 的最大值是93. 2评注 此题也可将x纳入根号内,即将所求式化为x数,再运用均值不等式的变式. 6、 换元（整体思想）x 2y例 6 求函数 2 x 5 的最大值 . 解：令 x 2 t t , x 0 , t 2 就 2 ,ty 2 t 0 2 t 1当 t 0 时,y 0;当 t 0 时,y 1 1 22 t 1t 2 2 t 1t 4当且仅当 2 = 1,即

11、t 2 时,取等号 .t 2所以 x 3 时 取最大值为 , 2.2 47、 逆用条件例 7 已知191x0,y0, 就xy 的最小值是（16） . xy8、 巧组合名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 8 如a b c0且a ab学习必备欢迎下载, 求2abc 的最小值 . cbc42 3分析 初看,这是一个三元式的最值问题,无法利用ab2ab +b 来解决. 换个思路,可考虑将2abc 重新组合,变成abac ,而ab ac 等于定值 42 3 ,于是就可以利用均值不等式了. 解：由a b c0,知2 abcabac2 ab ac 2a2abacbc2 42 32 32,当且仅当bc,即bc31a 时,等号成立.故2 abc 的最小值为2 32.9、 消元名师归纳总结 y2y2第 6 页,共 6 页例 9、设x y z为正实数,x2y3z0,就xz 的最小值是 . 分析 此题也是三元式的最值问题. 由题意得yx3z,就可对xz 进2. 行消元,用x z表示,即变为二元式,然后可利用均值不等式解决问题解：由x z0 ,x3z可得22 y=x29z2xzxz 6xzxz63 ,xz4xz4当且仅当x3 , 即xy zy时,取 “=” .3故y2的最小值为3.xz- - - - - - -