2022年正弦定理与余弦定理的证明 .pdf

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1、第 1 页 共 5 页一、正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理（1） 当ABC是锐角三角形时， 设边 AB上的高是 CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sinCD aB,sinCDbA 。由此，得sinsinabAB，同理可得sinsincbCB，故有sinsinabABsincC. 从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当ABC 是钝角三角形时，过点C作 AB边上的高，交 AB的延长线于点 D，根据锐角三角函数的定义， 有sinsinCD aCBD aABC，sinCDbA。由此，得sinsinabAABC，同理可得sinsincbCABC故有sinsinabAABCsin

2、cC. 由(1)(2)可知，在ABC 中，sinsinabABsincC成立. 从 而 得 到 ： 在 一 个三 角 形 中 ， 各 边和 它 所 对 角 的正 弦 的 比 值 相 等 ， 即sinsinabABsincC. 2.利用三角形面积证明正弦定理已知 ABC, 设 BC a, CAb,AB c,作 ADBC,垂足为则 RtADB中,ABADBsinSABC=BacADasin2121同理,可证 SABC=AbcCabsin21sin21 SABC=BacAbcCabsin21sin21sin21在等式两端同除以ABC,可得bBaAcCsinsinsin即CcBbAasinsinsin

3、. 3.向量法证明正弦定理(1)ABC 为锐角三角形 ,过点 A 作单位向量 j 垂直于AC,则 j 与AB的夹角为90 -A,j 与CB的夹角为 90 -C由向量的加法原则可得ABCBAC为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量a b D A B C A B C D b a D C B A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 5 页j 的数量积运算 ,得到ABjCBAC

4、j)(由分配律可得ABjCBjACB |j|ACCos90 +|j|CBCos(90 -C)=|j|ABCos(90 -Aj asinC=cCcAasinsinA 另外,过点 C 作与CB垂直的单位向量 j,则 j 与 AC 的夹角为 90 +C,j 与AB的夹角为 90 +B,可得BbCcsinsin(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为 j 与AC的夹角为 90 -C,j 与AB的夹角为 90 -BCcBbAasinsinsin(2)ABC 为钝角三角形 ,不妨设 A90 ,过点 A 作与AC垂直的单位向量j,则 j与AB的夹角为 A-90 ,j 与CB的夹角为 90

5、-C由ABCBAC,得 jACjCB=jABj即 a Cos(90 -C)=c Cos(A-asinC=cCcAasinsin另外,过点 C 作与CB垂直的单位向量 j,则 j 与AC的夹角为 90 +C,j 与AB夹角为B.同理, 可得CcBbsinsin.CcBbsimAasinsin4.外接圆证明正弦定理在ABC中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作ABC的外接圆 ,O为圆心 ,连结 BO并延长交圆于 B ,设 BB =2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到BAB =90 ，C =B ，sinC=sinB =RcBC2sinsinRCc2sin同理,可得R

6、BbRAa2sin,2sinRCcBbAa2sinsinsin这就是说 ,对于任意的三角形 ,我们得到等式A C C B A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 5 页CcBbAasinsinsin法一(平面几何 )：在ABC 中，已知,ACb BCaC及，求 c。过 A 作sinsinADBCDADACCBCC于，是，coscos ,CDACbc在 RtABD中，2222222( sin )(cos

7、 )2cosABADBDbcabcababc，法二（平面向量）：222() ()22| |AB ABACBCACBCACAC BCBCACACBC222cos(180)2cosBBCbabBa ，即：2222coscababc法三（解析几何）：把顶点 C 置于原点， CA 落在 x 轴的正半轴上，由于ABC 的 AC=b ，CB=a ，AB=c ，则 A，B，C 点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC ，asinC) ，C(0，0)|AB|2=(acosC b)2+(asinC 0)2=a2cos2C 2abcosC+b2+a2sin2C =a2+b22abcosC ，即 c2=a2+b2

8、2abcosC . 法五（用相交弦定理证明余弦定理）:如图，在三角形ABC 中， A=，AB=a ，BC=b ，AC=c 。现在以 B 为圆心，以长边AB 为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C 点在圆内。 BC 的延长线交圆B 于点 D 和E 这样以来， DC=a-b，CE=a+b ，AC=c。因为 AG=2acos，所以CG=2acos -c 。根据相交弦定理有：DC CE=AC CG ，带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acos-c) 化简以后就得b2=a2+c2+2accos。也就是我们的余弦定理。如图，在 ABC 中，AB4 cm，AC3 cm，角平分线AD2 cm

9、，求此三角形面积. 分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式SABC12AB AC sinA，需求出A C B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 5 页sinA，而 ABC 面积可以转化为SADCS ADB，而SADC12AC ADsinA2，SADB12AB AD sinA2，因此通过SABCSADCS ADB建立关于含有sinA，sinA2的方程，而sinA2sinA2cosA2，sin

10、2A2cos2A21，故 sinA 可求，从而三角形面积可求. 解：在 ABC 中，S ABCS ADBSADC，12AB ACsinA12 AC AD sinA212 AB ADsinA212 4 3sinA12 3 2sinA2，6sinA7sinA212sinA2cosA27sinA2sinA20 ， cosA2712，又 0A ， 0A22sinA21cos2A29512，sinA2sinA2cosA27 9572，SABC12 4 3sinA7 9512（cm2）. 在ABC 中， AB5，AC3，D 为 BC 中点，且 AD4，求 BC 边长 . 解：设 BC 边为 x，则由 D

11、为 BC 中点，可得BDDCx2，在ADB 中， cosADBAD2BD2AB22AD BD42（x2）2522 4x2在ADC 中， cosADCAD2DC2AC22AD DC42（x2）2322 4x2又 ADB ADC180cosADB cos（180 ADC） cosADC. 42（x2）2522 4x242（x2）2322 4x2解得， x2 所以， BC 边长为 2. 2.在ABC 中，已知角B45 ，D 是 BC 边上一点， AD5，AC7，DC3，求 AB. 解：在 ADC 中，cosCAC2DC2AD22AC DC7232522 7 31114，名师资料总结 - - -精品资

12、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 5 页又 0C180 ， sinC5314在ABC 中，ACsinBABsinCABsinCsinBAC5 3142 75 62. 3.在ABC 中，已知 cosA35，sinB513，求 cosC 的值 . 解： cosA3522cos45 ，0A45 A90 ， sinA45sinB51312sin30 ，0B0 B30 或 150 B180若 B150 ，则 BA180 与题意不符 . 0 B30 cosB1213cos（AB）cosA cosBsinA sinB351213455131665又 C180 （ AB）. cosCcos180 （ AB） cos（AB）1665. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -