2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第二讲 四 弦切角的性质 .doc

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1、四弦切角的性质对应学生用书P28弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角(2)图形语言叙述：如图，AB与O切于A点，则BACD.说明弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数对应学生用书P29弦切角定理例1(2010新课标全国卷)如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.思路点拨利用弦切角定理证明(1)因为，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB.故，

2、即BC2BECD.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角1如图，AB为O的直径，直线EF切O于C，若BAC56，则ECA_.解析：连接BC，AB为O的直径，ACB90.B90BAC905634.又EF与O相切于点C，由弦切角定理，有ECAB34.答案：342.如图，AB是O的弦，CD是经过O上的点M的切线，求证：(1)如果ABCD，那么AMMB；(2)如果AMBM，那么ABCD.证明：(1)CD切O于M点，DMBA，CMAB.ABCD，CMAA.AB，故AMMB.(2)AMBM

3、，AB.CD切O于M点，CMAB，CMAA.ABCD.3如图，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，AC平分DAB.(1)求证：ADCD；(2)若AD2，AC，求AB的长解：(1)证明：如图，连接BC.直线CD与O相切于点C，DCAB.AC平分DAB，DACCAB.ADCACB.AB为O的直径，ACB90.ADC90，即ADCD.(2)DCAB，DACCAB，ADCACB.，AC2ADAB.AD2，AC，AB.运用弦切角定理证明比例式或乘积式例2如图，PA，PB是O的切线，点C在上，CDAB，CEPA，CFPB，垂足分别为D，E，F.求证：CD2CECF.思路点拨证明连接CA、CB.PA

4、、PB是O的切线，CAPCBA，CBPCAB.又CDAB，CEPA，CFPB，RtCAERtCBD，RtCBFRtCAD，即CD2CECF.证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件4如图，已知MN是O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E.求证：AC2AEAB.证明：连接BC.ACEABCAC2ABAE.5如图，AD是ABC的角平分线，经过点A、D的O和BC切于D，且AB、AC与O相交于点E、F，连接DF，EF.(1)求证：EFBC；(2)求证：DF2AFBE.证明：(1)O切BC于D，CADCDF.AD是

5、ABC的角平分线，BADCAD.又BADEFD，EFDCDF.EFBC.(2)连接DE，O切BC于D，BADBDE.由(1)可得BDEFAD，又O内接四边形AEDF，BEDDFA.BEDDFA.又BADCAD，DEDF.DF2AFBE.对应学生用书P30一、选择题1P在O外，PM切O于C，PAB交O于A、B，则()AMCBBBPACPCPCAB DPACBCA解析：由弦切角定理知PCAB.答案：C2如图，ABC内接于O，EC切O于点C.若BOC76，则BCE等于()A14B38C52 D76解析：EC为O的切线，BCEBACBOC38.答案：B3如图，AB是O的直径，EF切O于C，ADEF于D

6、，AD2，AB6，则AC的长为()A2 B3C2 D4解析：连接BC，则ACB90，又ADEF，ADC90，即ADCACB，又ACDABC，ABCACD，AC2ADAB12，即AC2.答案：C4如图，AB是O直径，P在AB的延长线上，PD切O于C点，连接AC，若ACPC，PB1，则O的半径为()A1 B2C3 D4解析：连接BC.ACPC，AP.BCPA，BCPP.BCBP1.由BCPCAP得PC2PBPA，即AC2PBPA.而AC2AB2BC2，设O半径为r，则4r2121(12r)，解得r1.答案：A二、填空题5.如图，已知AB与O相切于点M，且，且，为圆周长，则AMC_，BMC_，MDC

7、_，MOC_.解析：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半答案：4513545906如图，AB是O的直径，PB，PE分别切O于B，C，若ACE40，则P_.解析：连接BC，AB是O的直径，ACB90.又ACE40，PCBPBC50.P80.答案：807.如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PBOB2，PC切圆O于C点，CDAB于D点，则CD_.解析：连接OC，PC切O于C点，OCPC.PBOB2，OC2.PC2.OCPCOPCD，CD.答案：三、解答题8.如图所示，O1与O2交于 A、B两点，过O1上一点P作直线PA、PB分别交O2于点C和点D，EF切O1于点P.求证：

8、EFCD.证明：如图，连接AB，EF是O切线，FPAPBA.又在O2中，ABCD为O内接四边形，CABP.FPAC.EFCD.9.如图所示，ABC内接于O，ABAC，直线XY切O于点C，弦BDXY，AC、BD相交于E.(1)求证：ABEACD；(2)若AB6 cm，BC4 cm，求AE的长解：(1)证明：因为XY是O的切线，所以12.因为BDXY，所以13，所以23.因为34，所以24.因为ABDACD，又因为ABAC，所以ABEACD.(2)因为32，ABCACB，所以BCEACB，ACCEBC2.因为ABAC6 cm，BC4 cm，所以6(6AE)16.所以AE cm.10.如图，ABC内接于圆O，AD平分BAC交圆O于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E.(1)求证：EBDCBD；(2)求证：ABBEAEDC.证明：(1)BE为圆O的切线，EBDBAD，又AD平分BAC，BADCAD，EBDCAD，又CBDCAD，EBDCBD.(2)在EBD和EAB中，EE，EBDEAB，EBDEAB，ABBEAEBD，又AD平分BAC, BDDC，故ABBEAEDC.