2022年概率的定义及其确定方法 .pdf

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1、1 1.2 概率的定义及其确定方法本节包括概率的公理化定义、 排列与组合公式、 确定概率的频率方法、 古典方法、几何方法及主观方法。 主要介绍概率的定义， 在排列、组合公式的基础上，利用频率方法、古典方法、几何方法及主观方法计算事件的概率。概率是对随机事件发生可能性大小的数值度量。1. 随机事件的发生是带有偶然性的， 但随机事件的发生的可能性是有大小之分的；2. 随机事件的发生的可能性是可以度量的，犹如长度和面积一样；3. 在日常生活中往往用百分比来表示。这里也是如此在概率论的发展史上， 曾经有过概率的古典定义、 概率的几何定义、 概率的频率（统计）定义和概率的主观定义。1933 年，前苏联数

2、学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公里化定义。一、概率的公理化定义1. 定义 设为一样本空间，F为上的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件AF，定义在F上的一个实值函数 P（A）满足：（1）非负性公理：()0;P A（2）正则性公理：()1;P A（3）可列可加性公理：若12,nA AA两两互不相容，有11()();nnnnPAP A则称 P（A）为事件 A的概率，称三元素(,)PF为概率空间。1. 并没有告诉我们应如何确定概率。但概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义都是在一定的场合下确定概率的方法。由于计算概率要用到排列与组合的公式。2. 概率是关于事件的

3、函数。二、排列与组合公式1.两大计数原理（1）乘法原理：如果某件事需要经过k步才能完成， 做完第一步有1m 种方法，做完第二步有2m 种方法，做完第k步有km 种方法，那么完成这件事共有12nmmm 种方法。如某班共有 45 位同学，他们生日完全不相同的情况有365364363321种。（2）加法原理：如果某件事可由k类不同的办法之一去完成，在第一类办法中有1m 种完成方法，在第二类办法中有2m 种方法，在第k类办法中有km名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共

4、9 页 - - - - - - - - - 2 种方法，那么完成这件事共有12nmmm 种方法。2.排列、组合的定义及计算公式（1）排列：从 n 个不同的元素中任取出r 个，排成一列，称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有 n(n-1) (n-2) (n-r+1) 个， 记为rnP ， 若 r=n，则称为全排列，全排列共有n! 个，记为 Pn=n!。 （与顺序有关）!()!rnnPrnnr（2）重复排列：重复排列从 n 个不同的元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r 个所得的排列称为重复排列，此种排列共有rnnnn个，(r 可以大于 n)。如某班共有 45 位同学，他们生日共有45

5、365种可能的情况。这就是重复排列。rn（3）组合：组合从 n 个不同的元素中任取r(r n)个元素组成一组（不考虑其顺序）称为一个组合，按乘法原理，此种组合的总数为Crn=!)1()1(rrnnn=!)!(!rrnn=! rPrn并规定 0！=1，C10n, 这里rnC 还是二项展开式中的系数，即()nab=nrrnrrnbaC0。若在上式中令1ab，可得组合恒等式：nnnnnnnnCCCCC2.1210（4）重复组合：重复组合从n 个不同的元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r个所得的组合称为重复组合。此种重复组合数为!)2)(1(rnrnrnCrn。这几种排列组合及其计算公式

6、将在古典概率的计算中经常使用，要注意在使用中识别有序（排列）与无序（组合），重复与不重复。三、确定概率的频率方法频率方法在大量的重复试验中用频率去获取概率的近似值的一种方法。1. 定义 在 n 次独立重复试验中， 记()n A为事件A出现的次数，又称()n A为事件A的频数，称()()nn AAfAn事件发生的次数重复试验的次数为事件A出现的频率。频率是具有概率的公理化体系（1） ， （2） ， （3）性质，人们把大量重复试验中某个事件发生的频率，当作它发生的概率。（验证）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

7、整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3 2. 基本思想在与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行的条件下，记事件 A 的频率为( )nfA ，随着 n 的增加，( )nfA 会稳定在一常数附近，这个频率的稳定值就是所求事件A的概率。3.说明频率稳定性的例子例 投硬币 n 次，正、反面出现的概率分别为1/2; 等。例如：在统计学中把频率当作概率的估计值，在实际中频率当作概率近似使用。在足球比赛中， 罚点球是一个扣人心弦的场面，若记 A= “罚点球射中球门”，曾有人对 1930 年至 1988 年世界各地 53274场重大足球比赛作了统计，

8、 在判罚的15382 个点球中，有 11172 个射中，频率为0.7263，这就是射中率( )P A的估计值。频率具有稳定性的。少数几次试验，即当n 很小时，( )nfA 的波动较大，但当 n很大时，( )nfA 就稳定在一个值p 上，这个值已与 n无关，它就是事件A 发生的概率了。（1）如历史上数学家 De Morgan，Puff ，Pearson， Feller等做了掷硬币，观察出现正面的次数，得到了出现正面的频率的稳定值，即出现正面的概率为0.5 。试验者试验次数正面次数正面频率狄 摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069菲勒10000 4979 0.4979 K

9、 皮尔逊1200060190.5016K 皮尔逊24000120120.5005（2）英语字母使用的频率，为设计打字键盘提供了可靠的理论依据。（3） 频率的稳定性在人口的统计方面表现较为明显， （男、 女婴出生的比率）。概率的统计定义： 在相同的条件下，重复进行n 次试验，当试验次数n 很大时，事件 A 发生的频率稳定地在一个常数p 附近摆动。通常，n 越大，摆动幅度越小，则称 p 为事件 A 的概率，记为： P（A）=p四、确定概率的古典方法1.基本思想（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如n 个；（2）每个样本点（基本事件）发生的可能性相等；（3）若事件 A含有 k 个样本点，则 A

10、的概率为Ak().nP A事件所含样本点个数中所含样本点个数这种概率的计算方法曾是概率发展初期的主要计算方法，所以称为古典概率。又称为等可能概型。在计算古典概型时，主要是计算基本事件总数n 和 A所含的基本事件数k. 。另外，古典概率也满足概率的三条公理。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4 （1）k0 ，故 P(A)0 。（2）A=时，k=n,P(A)=1. (3)对于两个互不相容的事件1A ，2A 分别含有1k

11、 和2k 个基本结果，从而12AA 含有1k +2k 个基本结果， P(A1)=nk1,P(2A )=nk2,从而P(12AA )=nkk21=P(1A )+P(A2)。例： （扑克游戏）一副标准的扑克由52 张组成，它有两种颜色，四种花色和13 种牌型，假如 52 张牌的大小，厚度和外行完全一样，那么52 张牌中任一张被抽到的可能性是相同的，我们计算以下事件的概率：（1）事件 A=“抽出一张牌为红牌”（0.5）（2）事件 B=“抽出一张牌不是红心” （0.75）（3）事件 C =“抽出两张牌都是红心” （0.05882）（4）事件 D= “抽出两张不同颜色的牌” （0.5098）（5）事件

12、E=“抽出 5 张恰好是同花顺”（0.00001539）（6）事件 F=“抽出两张同花色的牌” （0.2353）（7）事件 G= “抽出 13张同花色的牌”（6.2991012）在扑克牌的游戏中会有很多有趣的随机事件，如彩票的6+1玩法。例 2. （抽样模型）一批产品共有N个，其中 M个不合格品， N-M个合格品，从中抽取 n 个，求事件mA =“取出的 n 个产品中有 m个不合格品”的概率。分析略。解 略。若 N=9,M=3,n=4 时，可以计算0()P A，1()P A ，2()P A，3()P A。（放回抽样与不放回抽样） 抽样有两种方式： 不放回抽样与放回抽样。 前者是每次取一个不放回

13、，再取第二个，这相当于n 个同时取出，不计次序，计算概率时用组合；后者指抽取一个，放回，再取第二个，这时要讲究次序。现对上例讨论按放回抽样方式抽取，恰有m个不合格品的概率是多少？基本事件总数为Nn个，Bm所含有的基本事件数为mnmmnMNMC)(个，其中mnmMNM)(只是其中之一。故P(Bm)= mnmmnMNMC)(/ Nn。若 N=10,M=2,n=4,则P(B0)=0.4096,P(B1)=0.4096,P(B2)=0.1536,P(B3)=0.0256,P(B4)=0.0016。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

14、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 例（彩票模型）在 35 选 7 的彩票中，即从 01，02，35中不重复的开出7个基本号码和一个特殊号码。求各等奖中奖的概率（附：中奖规则）中奖级别中奖规则一等奖7 个基本号码全中二等奖中 6 个基本号码及特殊号码三等奖中 6 个基本号码四等奖中 5 个基本号码及特殊号码五等奖中 5 个基本号码六等奖中 4 个基本号码及特殊号码七等奖中 4 个基本号码或中 3 个基本号码及特殊号码补充例题：将 n个可辨的球（如颜色不同，进行编号等）随机地放入N个盒子，假如每个盒子中能放的球不限，每

15、个球放入每一个盒子是等可能的，试求以下概率：（1）A=“恰有()n nN个盒子中各有一球”， （2）B=“指定的()n nN个盒子各有一球”， （3）C=“某个指定的盒子中恰有k 个球” 。(1) !()nNnC nP AN生日问题：事件 A= “ n个人的生日都不相同”， 一年 365 天当成 365 个盒子，n个人可以看作可辨的球，n个人生日互不相同的概率为：365!()365nnCnP A=365364（ 365-n+1）/365n. 121111365365365n下表给出了对应于 n的具体的概率值：n10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 P 0.8831

16、0.7471 0.5886 0.4313 0.2937 0.1856 0.1088 0.0590 0.0296 0.0137 0.0059 电梯问题：一幢 17 层高楼，有 n个人从第一层走进电梯，试求这n个人在不同的楼层走出电梯（记为nB ）的概率是多少？ 17层楼可以看作 16 个盒子， n个人，于是概率为16!16 15(161)1616nnrC nnp。下表给出了一些具体值r 2 4 6 8 10 12 P 0.9375 0.6665 0.3437 0.1208 0.02643 0.03097265(2) 指定的 n个盒子各有一球概率为：!( )nnP BN。名师资料总结 - - -精

17、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 （3）某个指定的盒子中恰有k 个球的概率为：(1)()knknnCNP CN。恰有 k个人的生日在元旦的概率问题。如果换成别的背景，就是别的应用问题。习题 1.2 （P27） ：4.;7;10;11；13; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - -

18、 - - - - 7 五、确定概率的几何方法1.基本思想（1）如果一个随机现象的样本空间充满某个区间，其度量可用S 表示；（2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的：（3）若事件 A为中的某个子区域，其度量为AS ，则事件 A的概率为P(A)=ASS。举例说明2. 例（会面问题）甲、乙两人约定在下午6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者等候另一个人20 分钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。分析略。例： ( 等待问题 ) 某码头只能容纳一只船 , 现预知某日将独立来到两只船, 且在24小时内各时刻来到的可能性都相等, 如果它们需要停靠的时间分别为3小时与4 小时, 试求有一只需要在

19、江中等待的概率. 蒲丰投针问题平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率. 解： 以 x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角 .易知样本空间满足：0 xd/2; 0 . 形成 x-平面上的一个矩形，其面积为：S= d /2. A = “ 针与平行线相交 ” 的充要条件是 : xl sin (/2). 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法求解得：0sin(/ 2)2( )(/ 2)AldSlP ASdd由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的概率为: 2l/ d . 而实际去做N 次试验，得n 次针与平行线相交，则

20、频率为: n/ N. 用频率代替概率得： 2lN/( dn). 历史上有一些实验数据 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8 试验者年份针长投针次数n相交次数k的试验值Wolf 1850 0.8 5000 2532 3.1596 Smith 1855 0.6 3204 1219 3.1554 De.Morgan 1860 1 600 383 3.137 Fox 1884 0.75 1030 489 3.1595

21、Lazzerini 1901 0.83 3408 1801 3.1415929 Reina 1925 0.54 2520 859 3.1795 这个思路已被人们发展成为统计学的一个分支随机试验法或称为蒙特卡洛（Monte Carlo）方法，其中随机试验可借助计算机大量重复，以致结果更接近真值。目前，蒙特卡洛方法广泛地应用于市场预测、证券投资、金融与保险行业，在计算机高度普及的今天，有着广阔的应用前景。例：在长度为 a 的线段内任取两点将其分为三段，求他们可以构成一个三角形的概率。例：把半径为 r 的圆形钱币任意抛于边长为a 的正方形木板上 , 求钱币不与正方形各边相交的概率 . 例：从 (0,

22、1) 中随机地取两个数 , 求下列事件的概率 : (1). 两数之和小于 1.2; (2).两数之积小于.41例：随机地向半圆220 xaxy( a 为正常数 ) 内掷一点 , 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4的概率为多少 ? aXlY名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 例：在圆周上任取三个点CBA,. 求三角形ABC为锐角三角形的概率。六、确定概率的主观方法

23、1.定义统计学界有一个贝叶斯学派(Bayes17021761)，他们在研究这些随机现象后认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性给出的个人信念，这就是主观概率。2. 例：气象预报中，“明天下雨的概率为90% ” ；一个教师认为 , “甲能考取大学的可能性为95% ” 。一个企业家认为：“一项新产品在未来市场上占有率为0.8 ” 。一位投资者认为：“购买某种股票能获得高利益的概率为0.6 ” 。一位脑外科的医生认为： “对一位病人做手术，成功的概率为0.9 ” 。主观概率的确定除了根据自己的经验外，还可以利用别人的经验和历史资料，在对比中形成主观概率。有历史数据要尽量使用，帮助形成初步概念，然后作些对比，修正，再形成主观概率。以上几种概率的计算方法， 着重强调古典概型概率的计算。 至于高的统计定义，是说明概率的本质与意义， 而主观概率是强调概率在决策中的灵活运用，但要有依据。习题 1.2 （P27）20;24;26;27;28;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -