2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第8章第4讲 直线、平面垂直的判定及性质（考题帮.数学理） .docx

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1、第四讲直线、平面垂直的判定及性质题组直线、平面垂直的判定与性质1.2017全国卷,10,5分在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC2.2013新课标全国,4,5分理已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且l B.且lC.与相交,且交线垂直于l D.与相交,且交线平行于l3.2017北京,18,14分如图8-4-1,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.图8-4-1()求证:PABD;()求证

2、:平面BDE平面PAC;()当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.4.2017全国卷,19,12分理如图8-4-2,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.图8-4-2(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.5.2016全国卷,19,12分理 如图8-4-3,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=54,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置,OD=10.图8-4-3(

3、)证明:DH平面ABCD;()求二面角B-DA-C的正弦值.6.2015湖北,20,13分数学文化题九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图8-4-4所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.()证明:DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;()记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求V1V2的值.图8-4-47.2013全国卷,18,12分理 如图8-4-5,三棱柱A

4、BC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.图8-4-5()证明:ABA1C;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.A组基础题1.2018南昌市高三调考,10 如图8-4-6,四棱锥P-ABCD中,PAB与PBC是正三角形,平面PAB平面PBC,ACBD,则下列结论不一定成立的是图8-4-6()A.PBACB.PD平面ABCDC.ACPDD.平面PBD平面ABCD2.2018南宁市摸底联考,16如图8-4-7,在正方形ABCD中,AC为对角线,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方

5、形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.下列说法错误的是(将符合题意的序号填到横线上).图8-4-7AGEFH所在平面;AHEFH所在平面;HFAEF所在平面;HGAEF所在平面.3.2018惠州市一调,19如图8-4-8,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABC=60,AA1=AC=2,A1B=A1D=22,点E在A1D上.图8-4-8(1)证明:AA1平面ABCD;(2)当A1EED为何值时,A1B平面EAC,并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离.4.2018辽宁五校联考,19如图8-4-9所示,等腰梯形ABCD的底角A等于60,直角梯形ADEF所

6、在的平面垂直于平面ABCD,EDA=90,且ED=AD=2AB=2AF.图8-4-9(1)证明:平面ABE平面EBD;(2)若三棱锥A-BDE的外接球的体积为823,求三棱锥A-BEF的体积.B组提升题5.2017甘肃二诊,19如图8-4-10,在RtABC中,ABBC,点D,E分别在AB,AC上,AD=2DB,AC=3EC,沿DE将ADE翻折起来,使得点A到P的位置,满足PB=3DB.图8-4-10(1)证明:DB平面PBC;(2)若PB=BC=3,PC=6,求二面角D-PE-C的正弦值.6.2017长春第四次质量监测,19如图8-4-11,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为

7、菱形,AA1平面ABCD,E为B1D的中点.图8-4-11(1)证明:平面ACE平面ABCD;(2)若二面角D-AE-C为60,AA1=AB=1,求三棱锥C-ADE的体积.7.2017南昌市三模,19如图8-4-12,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,平面PAB平面ABCD,PB=PC,ABC=45,点E是线段PA上靠近点A的三等分点.图8-4-12(1)求证:ABPC;(2)若PAB是边长为2的等边三角形,求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.答案1.C由正方体的性质,得A1B1BC1,B1CBC1,所以BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,所以A1EBC1,故选C.

8、2.D由于m,n为异面直线,m平面,n平面,则平面与平面必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足lm,ln,则交线平行于l,故选D.3.()因为PAAB,PABC,且ABBC=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.()因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC.由()知,PABD,且PAAC=A,AC平面PAC,PA平面PAC,所以BD平面PAC.又BD平面BDE,所以平面BDE平面PAC.()因为PA平面BDE,PA平面PAC,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.因为D为AC的中点,所以DE=12PA=1,BD=D

9、C=2.由()知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V=16BDDCDE=13.4.(1)由题意可得ABDCBD,从而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB为二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.(2)由题意及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向,|OA|为单位长,建立如图D 8

10、-4-5所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0), B(0,3,0),C(-1,0,0), D(0,0,1).图D 8-4-5由题意知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,即E为DB的中点,得E(0,32,12).故AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=(-1,32,12).设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,则nAD=0,nAE=0,即-x+z=0,-x+32y+12z=0.可取n=(1,33,1).设m是平面AEC的法向量,则mAC=0,mAE=0.同理可取m=(0,-1,3).则cos=n

11、m|n|m|=77.由图可知,二面角D-AE-C为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为77.5.()由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故ACEF.因此EFHD,从而EFDH.由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4.由EFAC得OHDO=AEAD=14.所以OH=1,DH=DH=3.于是DH2+OH2=32+12=10=DO2,故DHOH.又DHEF,而OHEF=H,所以DH平面ABCD.()如图D 8-4-6,以H为坐标原点,HF的方向为x轴正方向,HD的方向为y轴正方向,HD的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.图D 8-4-6则H

12、(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),AB=(3,-4,0),AC=(6,0,0),AD=(3,1,3).设m=(x1,y1,z1)是平面ABD的法向量,则mAB=0,mAD=0,即3x1-4y1=0,3x1+y1+3z1=0,所以可取m=(4,3,-5).设n=(x2,y2,z2)是平面ACD的法向量,则nAC=0,nAD=0,即6x2=0,3x2+y2+3z2=0,所以可取n=(0,-3,1).于是cos=mn|m|n|=-145010=-7525,sin=29525.因此二面角B-DA-C的正弦值是29525.6.()因为PD底面

13、ABCD,所以PDBC.由底面ABCD为长方形,可知BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD.因为DE平面PCD,所以BCDE.因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC.而PCBC=C,所以DE平面PBC.由BC平面PCD,DE平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是BCD,BCE,DEC,DEB.()由已知,知PD是阳马P-ABCD的高,所以V1=13S长方形ABCDPD=13BCCDPD;由()知,DE是鳖臑D-BCE的高,BCCE,所以V2=13SBCEDE=16BCCEDE.在RtPDC中,因为PD=CD,点E是P

14、C的中点,所以DE=CE=22CD,于是V1V2=13BCCDPD16BCCEDE=2CDPDCEDE=4.7.()取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1=O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.()由()知OCAB,OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B,交线为AB,所以OC平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直.以O为坐标原点,OA的方向为x轴的正方向,|OA|为单位长,建立如图D 8-4-7所示的空间直角坐标系O-xyz.图D 8-

15、4-7由题意知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0).则BC=(1,0,3),BB1=AA1=(-1,3,0),A1C=(0,-3,3).设n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,则nBC=0,nBB1=0.即x+3z=0,-x+3y=0,可取n=(3,1,-1).故cos=nA1C|n|A1C|=-105.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105.A组基础题1.B如图D 8-4-8,对于选项A,取PB的中点O,连接AO,CO.在四棱锥P-ABCD中,PAB与PBC是正三角形,平面PAB平面PBC,AOPB,COPB,AOCO=O,PB平面A

16、OC,AC平面AOC,PBAC,故选项A正确;对于选项B,设AC与BD交于点M,易知M为AC的中点,若PD平面ABCD,则PDBD,由已知条件知点D满足ACBD且位于BM的延长线上,点D的位置不确定,PD与BD不一定垂直,PD平面ABCD不一定成立,故选项B不正确;对于选项C,ACPB,ACBD,PBBD=B,AC平面PBD,PD平面PBD,ACPD,故选项C正确;对于选项D,AC平面PBD,AC平面ABCD,平面PBD平面ABCD,故选项D正确.选B.图D 8-4-82.根据折叠前ABBE,ADDF可得折叠后AHHE,AHHF,可得AH平面EFH,即正确;过点A只有一条直线与平面EFH垂直,

17、不正确;AGEF,AHEF,EF平面HAG,平面HAG平面AEF,过H作直线垂直于平面AEF,该直线一定在平面HAG内,不正确;HG不垂直AG,HG平面AEF不正确,不正确,综上,说法错误的是.3.(1)因为四边形ABCD是菱形,ABC=60,所以AB=AD=AC=2,在AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1AB,同理AA1AD,又ABAD=A,所以AA1平面ABCD.(2) 当A1EED=1时,A1B平面EAC.证明如下:如图D 8-4-9,连接BD交AC于点O,图D 8-4-9当A1EED=1,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OEA1B,又A1B平面EAC,所以A1B平面E

18、AC.直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离,因为E为A1D的中点,所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离,VD-EAC=VE-ACD ,设AD的中点为F,连接EF,则EFAA1,且EF=1,所以EF平面ACD,又ACD为边长为2的等边三角形,所以可求得SACD=3,所以VE-ACD=1313=33.又AE=2,AC=2,CE=EF2+CF2=2,所以SEAC=72,所以13SEACd=33(d表示点D到平面EAC的距离),解得d=2217,所以直线A1B与平面EAC之间的距离为2217. 4.(1)平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD

19、,EDAD,ED平面ADEF,ED平面ABCD,AB平面ABCD,ABED,设AD=2a,则AB=a,又BAD=60,ABBD.又BDED=D,BD平面EBD,ED平面EBD,AB平面EBD,又AB平面ABE,平面ABE平面EBD.(2)由(1)得ADDE,ABBE,三棱锥A-BDE的外接球的球心为线段AE的中点.43(AE2)3=823,解得AE=22,则AD=ED=2,AB=AF=1,VA-BEF=VB-AEF=13121232=36.B组提升题5.(1)在RtABC中, 设AB=3,AD=2DB,PB=3DB,PD=AD=2,DB=1,PB=3,PD2=DB2+PB2,DBPB.在RtA

20、BC中, ABBC,PBBC=B,PB平面PBC,BC平面PBC,DB平面PBC.(2)PB=BC=3,PC=6,PBBC.由(1)知,DB平面PBC, 以B为坐标原点, 建立如图D 8-4-10所示的平面直角坐标系B-xyz, 图D 8-4-10则P(0,0,3),D(1,0,0),C(0,3,0),E(1,233,0),DP=(-1,0,3),DE=(0,233,0).设m=(x,y,z)是平面PDE的法向量,则mDP=0,mDE=0.即-x+3z=0,233y=0,可取m=(3,0,1).同理,可知平面PEC的一个法向量n=(3,3,3).则|cos |=|mn|m|n|=217.设二面

21、角D-PE-C的平面角为,由图可知为钝角,即cos =-217,sin =277,即二面角D-PE-C的正弦值为277.6.(1)连接BD,设AC与BD的交点为F,连接EF,因为E为B1D的中点,F为BD的中点,所以EFBB1,所以EF平面ABCD,因为EF平面ACE,所以平面ACE平面ABCD.(2)由于四边形ABCD为菱形,所以以F为坐标原点,以FC,FD,FE的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),设FA=a(a0),FD=b(b0),有a2+b2=1,A(-a,0,0),C(a,0,0),D(0,b,0),E(0,0,12),则AE=(a,0,12),AD=(

22、a,b,0),设平面ADE的法向量为n1=(x,y,z),则n1AE=ax+12z=0,n1AD=ax+by=0,令x=b,则y=-a,z=-2ab,所以n1=(b,-a,-2ab)为平面ADE的一个法向量,易知平面ACE的一个法向量为n2=(0,1,0),由题意知cos 60=|cos|=|n1n2|n1|n2|=12,联立可解得a=b=22,所以菱形ABCD为正方形,所以三棱锥C-ADE的体积V=1312ADCDEF=112.7.(1)作POAB于点O,连接OC,平面PAB平面ABCD,且平面PAB平面ABCD=AB,PO平面ABCD. PB=PC,POBPOC,OB=OC,又ABC=45

23、,OCAB.由及POCO=O,PO平面POC,OC平面POC,得AB平面POC,PC平面POC,ABPC.(2)PAB是边长为2的等边三角形,PO=3,OA=OB=OC=1,建立如图D 8-4-11所示的空间直角坐标系,则P(0,0,3),B(1,0,0),C(0,1,0),A(-1,0,0),图D 8-4-11PB=(1,0,-3),BC=(-1,1,0),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则nPB=x-3z=0,nBC=-x+y=0,令x=3,则n=(3,3,1)为平面PBC的一个法向量.AP=(1,0,3),AE=13AP=(13,0,33),CB=DA=(1,-1,0),DE=DA+AE=(43,-1,33),设DE与平面PBC所成的角为,则sin =|cos|=|nDE|n|DE|=|433-3+33|169+1+393+3+1=37,直线DE与平面PBC所成角的正弦值为37.