2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第10章第4讲 直线与圆锥曲线的综合应用（考题帮.数学理） .docx

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1、第四讲直线与圆锥曲线的综合应用题组1圆锥曲线中弦的相关问题1.2015浙江,5,5分理如图10-4-1,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()图10-4-1A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1 C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+12.2015四川,10,5分理设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)

2、C.(2,3)D.(2,4)3.2014新课标全国,10,5分理设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.334 B.938 C.6332 D.944.2013江西,14,5分理抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.5.2015山东,20,13分理平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.()求椭圆

3、C的方程;()设椭圆E:x24a2+y24b2=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求|OQ|OP|的值;(ii)求ABQ面积的最大值.题组2直线与圆锥曲线的综合应用6.2014辽宁,10,5分理已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.12 B.23 C.34 D.437.2014湖南,14,5分平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值

4、范围是.8.2016四川,20,13分理已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.()求椭圆E的方程及点T的坐标;()设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.9.2015全国卷,20,12分理在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.()当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;()y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.

5、A组基础题1.2018中原名校高三第三次质量考评,11已知双曲线x24-y22=1右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,2),则APF周长的最小值为()A.4(1+2)B.4+2C.2(2+6)D.6+322.2018唐山市高三五校联考,10直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)交于A,B两点,M是线段AB的中点,若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为()A.2 B.2 C.3 D.33. 2017郑州市第三次质量预测,10椭圆x25+y24=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当FMN的周长最大时,FMN的面积是()A.55 B.65

6、5 C.855D.4554.2017福建省高三质检,8过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且A,C位于x轴同侧,若|AC|=2|AF|,则|BF|等于()A.2 B.3 C.4 D.55.2018洛阳市尖子生第一次联考,20如图10-4-2,点F是抛物线:x2=2py(p0)的焦点,点A是抛物线上的定点,且AF=(2,0),点B,C是抛物线上的动点,直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.(1)求抛物线的方程;(2)若k2-k1=2,点D是抛物线在点B,C处切线的交点,记BCD的面积为S,证明S为定值.图10-4-26.2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市

7、联考,20已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(1,32),且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点(12,0)作直线l与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围.B组提升题7.2018辽宁五校联考,12一条动直线l与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点,O为坐标原点,若AB=2AG,则(OA-OB)2-4OG2的最大值为()A.24 B.16 C.8 D.-168.2017广州市高三毕业班综合测试,8已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦

8、点,若椭圆C上存在点P使F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(22,1) B.(12,1) C.(0,22) D.(0,12)9.2017合肥市三检,12已知椭圆M:x2a2+y2=1,圆C:x2+y2=6-a2在第一象限有公共点P,设圆C在点P处的切线斜率为k1,椭圆M在点P处的切线斜率为k2,则k1k2的取值范围为()A.(1,6) B.(1,5) C.(3,6) D.(3,5)10.2018湘东五校联考,20已知椭圆C的中心在原点,离心率等于12,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)如图10-4-3,已知P(2,3),Q(2,-3

9、)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ面积的最大值;当A,B运动时,满足APQ=BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由.图10-4-311.2017天星第二次联考,20已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,当直线l的斜率为1时,坐标原点O到直线l的距离为22.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C上是否存在点P,使得当直线l绕F转到某一位置时,有OP=OA+OB成立?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标与直线l的方程;若不存在,请说明理由.答案1.A由题可知抛物线的

10、准线方程为x=-1.如图D 10-4-2所示,过A作AA2y轴于点A2,过B作BB2y轴于点B2,则SBCFSACF=|BC|AC|=|BB2|AA2|=|BF|-1|AF|-1.故选A.图D 10-4-22.D当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,即x=5r,此时0r2,又y024x0,即r2-412,所以0r4,又0r2,所以2r0)得焦点F(0,p2),准线l为y=-p2,所以可求得抛物线的准线与双曲线x23-y23=1的交点 A(-12+p22,-p2),B(12+p22,-p2),所以|AB|=12+p2,若ABF为等边三角形,则|AF|=|AB|=12+p2,p|AF|=s

11、in 3,即p12+p2=32,解得p=6.5.()由题意知2a=4,则a=2.又ca=32,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.()由()知椭圆E的方程为x216+y24=1.(i)设P(x0,y0),|OQ|OP|=,由题意知Q(-x0,-y0).因为x024+y02=1,又(-x0)216+(-y0)24=1,即24(x024+y02)=1,所以=2,即|OQ|OP|=2.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.由0,可得m24+16k2,则有x1+x2=-8km1+4

12、k2,x1x2=4m2-161+4k2,所以|x1-x2|=416k2+4-m21+4k2.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以OAB的面积S=12|m|x1-x2|=216k2+4-m2|m|1+4k2=2(16k2+4-m2)m21+4k2=2(4-m21+4k2)m21+4k2.设m21+4k2=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.由可知0t1.因此S=2(4-t)t=2-t2+4t.故S23,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值23.由(i)知,ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大

13、值为63.6.D因为A(-2,3)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,所以y2=8x,设直线AB的方程为x=k(y-3)-2,将与y2=8x联立,得x=k(y-3)-2,y2=8x,消去x,得y2-8ky+24k+16=0,则=(-8k)2-4(24k+16)=0,即2k2-3k-2=0,解得k=2或k=-12(舍去),将k=2代入解得x=8,y=8,即B(8,8),又F(2,0),所以kBF=8-08-2=43,故选D.7.(-,-1)(1,+)由题意可知机器人的轨迹为一抛物线,其轨迹方程为y2=4x,过点P(-1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),由题意知

14、直线与抛物线无交点,联立直线与抛物线的方程,消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则=(2k2-4)2-4k41,解得k1或k0,解得-322m0,b0)的交点A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1x2,则x12a2-y12b2=1(a0,b0),x22a2-y22b2=1(a0,b0),-得x12-x22a2=y12-y22b2,即(y1-y2)(y1+y2)(x1-x2)(x1+x2)=b2a2,因为l与OM的斜率的乘积等于1,所以b2a2=1,双曲线的离心率e=1+b2a2=2,故选B.3.C设椭圆的右焦点为E,由椭圆的定义知FMN的周长为L=|MN|+|MF|+|NF|=

15、|MN|+(25-|ME|)+(25-|NE|).因为|ME|+|NE|MN|,所以|MN|-|ME|-|NE|0,当直线MN过点E时取等号,所以L=45+|MN|-|ME|-|NE|45,即直线x=a过椭圆的右焦点E时,FMN的周长最大,此时SFMN=12|MN|EF|=122452=855,故选C.4.C设抛物线的准线与x轴交于点D,则由题意,知F(1,0),D(-1,0),分别作AA1,BB1垂直于抛物线的准线,垂足分别为A1,B1,则有|AC|FC|=|AA1|FD|,所以|AA1|=43,故|AF|=43.又|AC|BC|=|AA1|BB1|,即|AC|AC|+|AF|+|BF|=|

16、AF|BF|,亦即2|AF|3|AF|+|BF|=|AF|BF|,解得|BF|=4,故选C.5.(1)设A(x0,y0),由题意知F(0,p2),所以AF=(-x0,p2-y0)=(2,0),所以x0=-2,y0=p2,代入x2=2py(p0),得4=p2,解得p=2,所以抛物线的方程是x2=4y.(2)过D作y轴的平行线交BC于点E,设B(x1,x124),C(x2,x224),由(1)知A(-2,1),所以k2-k1=x224-1x2+2-x124-1x1+2=x2-x14,又k2-k1=2,所以x2-x1=8.由x2=4y,得y=x2,因为B,C为抛物线的切点,所以直线BD:y=x12x

17、-x124,直线CD:y=x22x-x224,联立,解得xD=x1+x22,yD=x1x24.而kBC=x224-x124x2-x1=x2+x14,所以直线BC的方程为y-x124=x1+x24(x-x1),由于xE=xD,所以将xD代入直线BC的方程,得yE=x12+x228,所以S=12|DE|(x2-x1)=12(yE-yD)(x2-x1)=12(x2-x1)28(x2-x1)=32.故S为定值.6.(1)椭圆C过点(1,32),1a2+94b2=1.椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点,a=2c.a2=b2+c2,b2=34a2.由得a2=4,b2=3,椭圆C的方程为x24+y23

18、=1.(2)依题意,直线l过点(12,0)且斜率不为零,故可设其方程为x=my+12.由x=my+12,x24+y23=1,消去x,整理得4(3m2+4)y2+12my-45=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0),则y1+y2=-3m3m2+4,y0=y1+y22=-3m2(3m2+4),x0=my0+12=23m2+4,k=y0x0-2=m4m2+4.当m=0时,k=0;当m0时,k=14m+4m,|4m+4m|=4|m|+4|m|8,01|4m+4m|18,0|k|18,-18k18且k0.综合可知,直线MA的斜率k的取值范围是-18,18.B组提升题7.B由AB=2

19、AG,知G是线段AB的中点,OG=12(OA+OB),(OA-OB)2-4OG2=(OA-OB)2-(OA+OB)2=-4OAOB.由A,B是动直线l与抛物线C:x2=4y的交点,不妨设A(x1,x124),B(x2,x224),-4OAOB=-4(x1x2+x12x2216)=-4(x1x24+2)2-4=16-4(x1x24+2)216,即(OA-OB)2-4OG2的最大值为16,故选B.8.A解法一设P(x0,y0),由题易知|x0|a,因为F1PF2为钝角,所以PF1PF2x02+y02有解,即c2(x02+y02)min,又y02=b2-b2a2x02,x02b2,又b2=a2-c2

20、,所以e2=c2a212,解得e22,又0e1,故椭圆C的离心率的取值范围是(22,1),选A.解法二椭圆上存在点P使F1PF2为钝角以原点O为圆心,以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点bc.如图D 10-4-4,由bc,得a2-c2c2,即a222,又0e6-a2,6-a21,解得3a2b0),则b=23.由ca=12,a2=c2+b2,得a=4,椭圆C的方程为x216+y212=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).设直线AB的方程为y=12x+t,代入x216+y212=1,得x2+tx+t2-12=0,由0,解得-4t0),直线l:x-y-c=0,由坐标原点O到直线l的距离为

21、22,得|0-0-c|2=22,解得c=1.又e=ca=33,所以a=3,b=2.所以椭圆C的方程为x23+y22=1.(2)椭圆C上存在点P,使得当直线l绕F转到某一位置时,有OP=OA+OB成立.由(1)知椭圆C的方程为2x2+3y2=6,设A(x1,y1),B(x2,y2).(i)当直线l不垂直x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1),椭圆C上的点P满足OP=OA+OB的充要条件是点P的坐标为(x1+x2,y1+y2),且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6,又点A,B在椭圆C上,故2x12+3y12=6,2

22、x22+3y22=6,故2x1x2+3y1y2+3=0,将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,化简整理得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,于是x1+x2=6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2,故y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4k22+3k2,将其代入化简得k2=2,此时x1+x2=32,于是y1+y2=k(x1+x2-2)=-k2,即P(32,-k2).因此,当k=-2时,P(32,22),直线l的方程为2x+y-2=0;当k=2时,P(32,-22),直线l的方程为2x-y-2=0.(ii)当直线l垂直于x轴时,由OA+OB=(2,0)知,椭圆C上不存在点P使OP=OA+OB成立.综上,椭圆C上存在点P(32,22),使OP=OA+OB成立,此时直线l的方程为2xy-2=0.