2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：2.2　函数的单调性与最值 .docx

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1、2.2函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图

2、象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增函数，0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两

3、个减函数的和仍是减函数(4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)0，得函数的定义域为(1，)令t2x23x1，则y，t2x23x122，t2x23x1的单调递增区间为(1，)又y在(1，)上是减函数，函数y的单调递减区间为(1，)(2)函数yx22|x|3的单调递减区间是_答案1,0，1，)解析由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24，二次函数的图象如图由图象可知，函数yx22|x|3的单调递减区间为1,0

4、，1，)命题点2解析式含参数的函数的单调性典例 判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上的单调性解函数f(x)ax2(1a0，x0)，若f(x)在上的值域为，则a_.答案解析由反比例函数的性质知函数f(x)(a0，x0)在上单调递增，所以即解得a.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值(5)换元法：对比

5、较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值题型三函数单调性的应用命题点1比较大小典例 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，因为aff，且2ac.命题点2解函数不等式典例 已知函数f(x)为(0，)上的增函数，若f(a2a)f(a3)，则实数a的取值范围为_答案(3，1)(3，)解析由已知可得解得3a3，所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)命题点3求参数范围典例 (1)(2018郑州模拟)函数y

6、在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3(2)已知f(x)是(，)上的减函数，则a的取值范围是()A(0,1) B.C. D.答案(1)C(2)C解析(1)y1，由题意知得a3.a的取值范围是a3.(2)由f(x)是减函数，得a，a的取值范围是.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小(2)解不等式利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域(3)利用单调性求参数依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函

7、数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值跟踪训练 (1)如果函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范围是_答案解析对任意x1x2，都有0.所以yf(x)在(，)上是增函数所以解得a2.故实数a的取值范围是.(2)(2017珠海模拟)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上单调递增，且f0，则不等式f()0的解集为_答案解析由题意知，ff0，f(x)在(，0)上也单调递增f()f或f()f，或0，解得0x或1x3.原不等式的解集为.1函数yx26x10在区间(2,4)上是()A递减函数 B递增函数C先递减再递增 D先递增再递减答案C解析作出函数yx26x10的图象

8、(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的2(2017河南中原名校第一次质检)函数y的单调递增区间为()A. B.C. D.答案A解析由x2x60，得2x3，故函数的定义域为(2,3)，令tx2x6，则y，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数tx2x6在(2,3)上的单调递减区间利用二次函数的性质可得tx2x6在定义域(2，3)上的单调递减区间为，故选A.3下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()Ay Bycos xCyln(x1) Dy2x答案D解析y与yln(x1)在区间(1,1)上为增函数；ycos x在区间(1,1)上不是单调函数；y2xx在(

9、1,1)上为减函数4已知函数ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数，则实数a的取值范围是()A(0,1 B1,2C1，) D2，)答案C解析要使ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数，则a0且a10，即a1.5(2017天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数若af，bf，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcba Dca1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为1a2.11已知函数f(x)，x0,2，求函数的最大值和最小值解设x1，x2是区间0,2上的任意两个实数，且x1x2，且f(x1)f(x2).由0x10，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2

10、)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在区间0,2上是增函数因此，函数f(x)在区间0,2的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)2，最大值是f(2).12函数f(x)4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值解f(x)422a2，当0，即a0时，函数f(x)在0,2上是增函数f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1.a0，a1.当02，即0af(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析二次函数y1x24x3的对称轴是x2，该函数在(，0上单调递减，x24x33，同样可知函数y2x22x3在(0，)上单调递减，x22x3

11、f(2ax)得到xa2ax，即2xa，2xa在a，a1上恒成立，2(a1)a，a2，实数a的取值范围是(，2)15函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数，设函数f(x)在0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：f(0)0；ff(x)；f(1x)1f(x)则ff_.答案解析由，令x0，可得f(1)1.由，令x1，可得ff(1).令x，可得ff.由结合f，可知f，令x，可得ff，因为0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2，任取1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)，1x11，2x1x210.又x1x20，f(x1)0恒成立，则即等价于a大于函数(x)(x22x)在1，)上的最大值(x)(x1)21在1，)上单调递减，当x1时，(x)取得最大值(1)3.a3，故实数a的取值范围是(3，)