2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.2 .docx

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1、2.2.2平面与平面平行的判定学习目标1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理.2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题知识点平面与平面平行的判定定理思考1三角板的一条边所在平面与平面平行，这个三角板所在平面与平面平行吗？答案不一定思考2三角板的两条边所在直线分别与平面平行，这个三角板所在平面与平面平行吗？答案平行思考3如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？答案无数条不平行梳理面面平行的判定定理表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行类型一面面平行的判定定理例1下

2、列四个命题：(1)若平面内的两条直线分别与平面平行，则平面与平面平行；(2)若平面内有无数条直线分别与平面平行，则平面与平面平行；(3)平行于同一直线的两个平面平行；(4)两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行其中正确的个数是_答案0反思与感悟在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行跟踪训练1设直线l, m, 平面，下列条件能得出的有()l，m，且l，m；l，m，且lm，l，m；l，m，且lm； lmP, l，m，且l， m.A1个 B2个C3个 D0个答案A解析错误，因为l, m不一定相交；错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面

3、，这两个平面可能相交；错误，两个平面可能相交；正确类型二平面与平面平行的证明例2如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD.证明如图，连接B1C.由已知得A1DB1C，且MNB1C，MNA1D.又MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD.连接B1D1，同理可证PN平面A1BD.又MN平面MNP，PN平面MNP，且MNPNN，平面MNP平面A1BD.引申探究若本例条件不变，求证：平面CB1D1平面A1BD.证明因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1为平行四边形，所以BDB1D1.又

4、BD平面CB1D1，B1D1平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，同理A1D平面CB1D1.又BDA1DD，所以平面CB1D1平面A1BD.反思与感悟判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线(3)转化为线线平行：平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则.(4)利用平行平面的传递性：若，则.跟踪训练2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B

5、1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是A1B1C1的中位线，所以GHB1C1.又因为B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EFBC.因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因为A1GEB，A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB.因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.类型三线线平行与面面平行的综合应用例3如图

6、，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB.E，G分别是BC，SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，EG平面BDD1B1.(2)连接SD.F，G分别是DC，SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1.又EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.反思感悟解决线线平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常见的平行关

7、系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的(2)所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理跟踪训练3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为BC，CC1，C1D1，A1A的中点求证：(1)BFHD1；(2)EG平面BB1D1D；(3)平面BDF平面HB1D1.证明(1)如图，取BB1的中点M，连接C1M，HM，易知HMC1D1是平行四边形，HD1MC1，又由已知可得MC1BF，BFHD1.(2)取BD的中点O，连接OE，D1O，则OE綊DC.又D1G綊DC，OE綊D1G，四边形OEGD1是平行四边形，GED

8、1O.又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.(3)由(1)知HD1BF，又BDB1D1，B1D1，HD1平面HB1D1，BF，BD平面BDF，且B1D1HD1D1，BDBFB，平面BDF平面HB1D1.例4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，QBPA.又AP平面APO，QB平面APO，QB平面APO.P，O分别为D

9、D1，DB的中点，D1BPO.同理可得D1B平面PAO，又D1BQBB，平面D1BQ平面PAO.反思感悟对于探索性问题，一是可直接运用题中的条件，结合所学过的知识探求；二是可先猜想，然后证明猜想的正确性跟踪训练4在底面是平行四边形的四棱锥PABCD中，点E在PD上，且PEED21，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM平面AEC？并证明你的结论解当F是棱PC的中点时，平面BFM平面AEC.M是PE的中点，FMCE.FM平面AEC，CE平面AEC，FM平面AEC.由EMPEED，得E为MD的中点，连接BM，BD，如图所示，设BDACO，则O为BD的中点连接OE，则BMOE.BM平

10、面AEC，OE平面AEC，BM平面AEC.又FM平面BFM，BM平面BFM，FMBMM，平面BFM平面AEC.1下列命题中正确的是()A一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C平行于同一直线的两个平面一定相互平行D如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行答案B解析如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确2在正方体中，相互平行的面不会是()A前后相对侧面B上下相对底面C左右相对侧面D相邻的侧面答案D解析由正方体的模型知前后面、上下面、左右面

11、都相互平行，所以选D.3在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A平面E1FG1与平面EGH1B平面FHG1与平面F1H1GC平面F1H1H与平面FHE1D平面E1HG1与平面EH1G答案A解析如图，EGE1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，EG平面E1FG1.又G1FH1E，同理可证H1E平面E1FG1，又H1EEGE，平面E1FG1EGH1.4如图，已知在三棱锥PABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是_答案平行解析在PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DEAB.又DE平面ABC，因此D

12、E平面ABC.同理可证EF平面ABC.又DEEFE，所以平面DEF平面ABC.5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1中点能否同时过D1，B两点作平面，使平面平面PAC？证明你的结论解能作出满足条件的平面，其作法如下：如图，连接BD1，取AA1的中点M，连接D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面.证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则POD1B，故D1B平面PAC.又因为M为AA1的中点，所以D1MPA，从而D1M平面PAC.又因为D1MD1BD1，D1M，D1B，所以平面PAC.证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面

13、内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行课时作业一、选择题1直线l平面，直线m平面，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为，则与的位置关系是()A相交 B平行C异面 D不确定答案B解析因为lmP，所以过l与m确定一个平面.又因l，m，lmP，所以.2、是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定的是()A、都平行于直线a、bB内有三个不共线的点到的距离相等Ca，b是内两条直线，且a，bDa，b是两条异面直线且a，b，b答案D解析A错，若ab，则不能断定；B错，若三点不在的同一侧，与相交；C错，若ab

14、，则不能断定.故选D.3已知m，n是两条直线，是两个平面，有以下命题：m，n相交且都在平面，外，m，m，n，n，则；若m，m，则；若m，n，mn，则.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析设mnP，记m与n确定的平面为.由题意知：，则.故正确、均错误4在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是()A面ABB1A1 B面BCC1B1C面BCFE D面DCC1D1答案C解析取AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1(如图)，故面A1E1F1

15、D1面BCFE.5六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有()A1对 B2对 C3对 D4对答案D解析由图知平面ABB1A1平面EDD1E1，平面BCC1B1平面FEE1F1，平面AFF1A1平面CDD1C1，平面ABCDEF平面A1B1C1D1E1F1，此六棱柱的面中互相平行的有4对6在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：FG平面AA1D1D；EF平面BC1D1；FG平面BC1D1；平面EFG平面BC1D1.其中推断正确的序号是()A B C D答案A解析在正方体ABCDA1B1

16、C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，FGBC1.BC1AD1，FGAD1，FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，FG平面AA1D1D，故正确；EFA1C1，A1C1与平面BC1D1相交，EF与平面BC1D1相交，故错误；FGBC1，FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，FG平面BC1D1，故正确；EF与平面BC1D1相交，平面EFG与平面BC1D1相交，故错误故选A.7如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：平面EFGH平面ABCD；平面PADBC；平面PCDA

17、B；平面PAD平面PAB.其中正确的有()A BC D答案C解析把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EHAB，所以EH平面ABCD.同理可证EF平面ABCD，所以平面EFGH平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交ABCD，平面PCDAB.同理平面PADBC.二、填空题8已知平面、和直线a、b、c，且abc，a，b、c，则与的关系是_答案相交或平行解析b、c，a，abc，若，满足要求；若与相交，交线为l，bcl，al，满足要求，故答案为相交或平行9已知平面和，在平面内任取一条直线a，在内总存在直线ba，则与的位置关系是_答案平行解析假若l

18、，则在平面内，与l相交的直线a，设alA，对于内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即内不存在直线ba.故.10已知a和b是异面直线，且a平面，b平面，a，b，则平面与的位置关系是_答案平行解析在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面，设l，则l，a，a与l无公共点，al，l.又b，根据面面平行的判定定理可得.三、解答题11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN平面A1BD.证明连接B1D1，B1C.P，N分别是D1C1，B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN平面A

19、1BD，BD平面A1BD，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD.又PNMNN，平面PMN平面A1BD.12已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PMMABNNDPQQD.求证：平面MNQ平面PBC.证明PMMABNNDPQQD，MQAD，NQBP，而BP平面PBC，NQ平面PBC，NQ平面PBC.又四边形ABCD为平行四边形，BCAD，MQBC，而BC平面PBC，MQ平面PBC，MQ平面PBC.易知MQNQQ，根据平面与平面平行的判定定理，可知平面MNQ平面PBC.13如图，在四棱锥CABED中，四边形ABED是正方形，G，F分别是线段E

20、C，BD的中点(1)求证：GF平面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明(1)证明如图，连接AE，由F是线段BD的中点得F为AE的中点，GF为AEC的中位线，GFAC.又AC平面ABC，GF平面ABC，GF平面ABC.(2)解平面GFP平面ABC，证明如下：在CD上取中点P，连接FP，GP.F，P分别为BD，CD的中点，FP为BCD的中位线，FPBC.又BC平面ABC，FP平面ABC，FP平面ABC，又GF平面ABC，FPGFF，FP平面GFP，GF平面GFP，平面GFP平面ABC.四、探究与拓展14已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，有

21、下面四个命题：若l，m，l，m，则；若l，l，m，则lm；若，l，则l；若l，ml，则m.其中所有真命题的序号是_答案解析当lm时，平面与平面不一定平行，故错误；正确；若，l，则l或l，故错误；中直线m有可能在平面内，故错误15如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CFADD1A1？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由解当F为AB的中点时，平面C1CFADD1A1.理由如下：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，且AB2CD，F为AB的中点，CD綊AF綊C1D1，AFCD是平行四边形，且AFC1D1是平行四边形，CFAD，C1FAD1.又CFC1FF，CF，C1F都在平面C1CF内，平面C1CF平面ADD1A1.