2022年特级教师高考数学首轮复习第讲-函数模型及其应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 来源： 591UP一、学问结构二、重点表达1. 函数模型及应用的界定：函数模型及应用问题是指有实际意义或实际背景的函数问题 ,建立相应函数模型 ,解函数模型 ,解答函数实际应用问题；这需要把握函数拟合思想 ,在懂得题意的基础上 ,把实际问题拟合转化为相应的函数问题 ,再依据问题要求求解；2. 函数建模方法：3. 函数建模的步骤：审题、建模、解模、回来；名师归纳总结 审题 :懂得题意 ,把握问题本质； 审题的突破口在于阅读与转译,应用题题目篇幅长,信息容量第 1 页,共 10 页大,涉及学问点多 ,划分好层次是审题的关键；在审题过程中 ,留意领悟

2、关键词语.领悟定义的内涵和外延 ;重视条件转译 ,留意将条件公式化、符号化、图形化,使条件和结论相互靠拢;与图形有关的问题应留意数形结合,弄清题图联系；建模 :分析题中的数量关系,建立相应函数模型,将实际应用问题转化为函数问题；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解模 :用函数的学问与方法求解函数模型,得到数学结论 ,解决转化了的函数问题；回来 :将求得的数学结论复原回实际问题,检验结果的实际意义,给出正确答案；4. 常见函数模型：常见函数模型一般地有分式函数模型,线性函数模型 ,二次函数模型 ,分段函数模型 ,指数、对数函数模型、三角函数模型等 ,解决

3、涉及费用最省、面积、体积最大、利润最大等问题；5.应用、利用给定的函数模型解决涉及函数值、取值范畴、最值等实际相关问题; ; 、建立函数模型解决涉及费用最省、面积、体积最大、利润最大等实际问题、依据实际数据挑选最正确拟合函数模型；三、案例分析案例 1： 某农产品去年各季度的市场价格如下表：今年某公司方案按去年各季度市场价的“最正确近似值m” m 是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值 收购该种农产品, 并按每 100 元纳税 10 元又称征税率为 10 个百分点 ,方案可收购 a万担,政府为了勉励收购公司多收购这种农产品,打算将税率降低 x 个百分点,猜测收购量可增加 2x 个百分点；1依据

4、题中条件求 m元 /担值；2写出税收 y万元与 x 的函数关系式；3假设要使此项税收在税率调剂后不少于原方案税收的83.2%,试确定 x 的取值范畴；分析：这是涉及税收的问题,税收是以收购总价值为基础,收购总价值 单位：万元 =单价 单位：万元 /万担 收购总量 单位：万担 ,据此建立税收 y万元与 x 的函数模型；解： 1设 m 与各售价差的平方和为 y,就y 取最小值时,所以 m=200万元 /万担；名师归纳总结 2降低税率后的税率为10-x% ,农产品的收购量为a1+2x% 万担,收购总金额第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

5、 200a1+2x% ,就3原方案税收为万元,要使此项税收在税率调剂后不少于原计划税收的 83.2%,就,即,解得,又；所以 x 的取值范畴是案例 2： 2022 上海 理 20有时可用函数描述学习某学科学问的把握程度,其中x 表示某学科学问的学习次数,表示对该学科知识的把握程度,正实数 a 与学科学问有关；1证明：当时,把握程度的增加量总是下降；2依据体会,学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为,；当学习某学科学问6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科；分析：可用函数是分段函数,依据自变量x 取值的不同要求即与挑选不同的对应关系,分别按不同题意解决；证明： 1当而当,函数是单调递增

6、的, 且0,名师归纳总结 故当单调递减,总是下降；第 3 页,共 10 页当,把握程度的增长量2当学习某学科学问6 次时,把握程度是85%,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0.1+15ln,整理得,解得；所以,相应的学科是乙学科；案例 3： 甲、乙两地相距 Skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c km h,已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 vkm h的平方成正比,比例系数为 b；固定部分为 a 元1把全程运输成本 y元表示为速度 vkm h的函数,并指出这个函数的定义域；2为了使全程运输成本

7、最小,汽车应以多大速度行驶分析： 1抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本全程运输时间,而全程运输时间=全程距离 平均速度 就可以解决解： 1由已知汽车从甲地到乙地所用时间为 ,全程运输成本为 所求函数及定义域为 : 2依题意 S,a,b, v 都是正数,故有当且仅当,时,上式等号成立；假设,就存在时,全程运输成本最小；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设,就不存在；这时要利用函数单调性的方法求全程运输成本的最小值；设任取,使得,就,由于,就,即；当,在区间 0,c上是减函数；就当 v=c 时, y 取最小值

8、；综上可知,当时,速度应为；当时,速度应为v=c；评注：此题是 1997 年全国高考试题；由于限制汽车行驶速度不得超过 c,因而求最值的方法也就不完全是常规的方法,再加上字母分类的抽象性,使难度有所增大； 此题用导数法也顶好的；另解导数法：令,；当时,函数在上单调递减,这时；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当时,函数在上单调递减,在上单调递增,这时；案例 4： 2022 山东 理 21 两县城 A 和 B 相距 20km,现方案在两县城外以AB 为直径的半圆弧上挑选一点C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地

9、点到城市的的距离有关,对城A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km ,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A和城 B 的总影响度为 y,统计调查说明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比, 比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. 1将 y 表示成 x 的函数；2争论 1中函数的单调性,并判定弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城 B 的总影响度最小？假设存在,求出该点到城A 的

10、距离 ;假设不存在,说明理由；名师归纳总结 分析： C 处的垃圾处理厂对城A 和城 B 的总影响度为y,而 C 处的垃圾处理厂对城A 或城第 6 页,共 10 页B 的影响度与C 点到城 A 或城 B 的距离的平方成反比,C 点到城 A 的距离为 x,C 点到城B 的距离为,于是建立了总影响度函数y 与距离 x 的函数关系； 这就是函数建模；解： 1如图,由题意知ACBC,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中当时,所以k=9；所以 y 表示成 x 的函数为；2, , 令得,即,舍去当时,就所以函数为单调减函数；当时,就所以函数为单调增函数；所以当时,

11、即当 C 点到城 A 的距离为时,函数有最小值；案例 5：某厂生产一种仪器,由于受生产才能和技术水平的限制,会产生一些次品依据经 验知道,该厂生产这种仪器,次品率与日产量件之间大体满意关系：其中 c 为小于 96 的正常数注：次品率,如表示每生产10 件产品,约有1 件为次品其余为合格品已知每生产一件合格的仪器可以盈利 合适的日产量A 元,但每生产一件次品将亏损元,故厂方期望定出1试将生产这种仪器每天的盈利额元表示为日产量件的函数；2当日产量为多少时,可获得最大利润？分析： 实际背景涉及日盈利与合格产品的盈利、次品亏损的关系,建立日盈利与日产量的函数关系,进而用求函数最值的方法,求当日产量为多

12、少时,日盈利函数获得最大值；这是函名师归纳总结 数建模的问题；由于次品率是分段函数,所建立的函数模型也是分段函数模型；第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 1当时,每天的盈利额; 当时, 每日生产的合格仪器约有件,次品约有件；故每天的盈利额；2当 日盈利额元与日产量件的函数关系为：时,每天的盈利额为0；当时,；令,就；故；当且仅当,即时,等号成立；,对于,有所以 i当时,就,等号当且仅当时成立；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - ii 当时,由,得,

13、易证函数 Tt 在上单调递减证明过程略,当且仅当 t=96-c 即时取得等号；84 件时,可获得最大利润；综上所述,假设,就当日产量为假设,就当日产量为时,可获得最大利润；四、总评函数建模思想是函数应用的重要思想方法,是解决函数应用的重要手段与步骤,也是高考命题的重要内容 ,要予以重视和懂得；对于函数型的应用问题,解题的关键是合理挑选变量,建立实际问题中变量之间的函数关系,从而将实际问题转化为函数模型问题；对于拟合函数的应用题,解题的关键是对数据信息进名师归纳总结 行拟合 ,建立拟合函数模型,并进行模型修正,从而将实际问题转化为函数模型问题；第 9 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页