2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第一章 3 第一课时 组合与组合数公式 .doc

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1、第一课时组合与组合数公式 组合的有关概念例1给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？思路点拨要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关精解详析(1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比

2、赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题一点通区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题1判断下列问题是组合问题，还是排列问题(1)设集合Aa，b，c，d，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(

3、4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？(6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关(4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关(5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选

4、择哪4个人，这和顺序无关(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关有关组合数的计算与证明例2求值：(1)CCA；(2)CC；(3)CC.思路点拨用组合数公式和组合数的性质解决精解详析(1)原式CA7652102100.(2)CCCC2004 9502005 150.(3)9.5n10.5.nN，n10.CCCCCC31466.一点通(1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数

5、的阶乘形式证明2若C28，则n的值为()A9B8C7 D6解析：C28，n(n1)56，即n8.答案：B3若C，C，C成等差数列，则C的值为_解析：由已知，得2CCC，所以2，整理，得n221n980，解得n7或n14.要求C的值，故n12，所以n14，于是CC91.答案：914证明：CC.证明：CC，CC成立.简单的组合应用题例3(12分)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？思路点拨先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最

6、后求值精解详析(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C56.(4分)(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是CC21.(8分)(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C35.(12分)一点通解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成5某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有()AC种BA种CAA种 DCC种解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题分两步完成：第一步，选女工，有C

7、种选法；第二步，选男工，有C种选法故有CC种不同选法答案：D610个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为_(用数字作答)解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C210种分组方法答案：2107现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C45种(2)从6名男教师中选2名有C种选法，从4名女教师中选2名有C种选法根据分步乘法计数原理，共有选法CC90种1“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m

8、个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量2对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围二是掌握组合数性质，在计算C时，若m，通常使用CC转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用CCC.1给出下面几个问题：10人相互通一次电话，共通多少次电话？从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？由1,2,3组成无重复数字的两位数其中是组合问题的有()ABC D解析：是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；是组合问题，

9、因为三个代表之间没有顺序的区别；是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列所以是组合问题答案：C2若A12C，则n等于()A8 B5或6C3或4 D4解析：A12C，n(n1)(n2)12.解得n8.答案：A3下列四个式子中正确的个数是()(1)C；(2)AnA；(3)CC；(4)CC.A1个 B2个C3个 D4个解析：因为C，故(1)正确；因为nAnA，故(2)正确；因为CC，故(3)正确因为C，C，所以CC，故(4)正确答案：D4若CCC，则n等于()A12 B13C14 D15解析：CCC，即CCCC，所以n178，即n14.答案：C

10、5从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则mn_.解析：mC，nA，mn.答案：6方程CC的解为_解析：当x3x8，解得x4；当28x3x8，解得x9.答案：4或97计算：(1)CCC；(2)CCCCCC.解：(1)原式CC1564 9505 006.(2)原式2(CCC)2(CC)232.8在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加解：(1)C792种不同的选法(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C36种不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C126种不同的选法(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C种选法共有CC378种不同的选法