2022年湖南省高三数学新高考解析几何题型与方法专题分析 .pdf

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1、学习必备欢迎下载解析几何问题的题型与方法考试要求 ：（1）能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线与圆的方程，并能利用直线和圆的方程来研究有关的问题 . (2) 了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题. （3）掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念。能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程并画出方程所表示的曲线。(4) 掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质。了解圆锥曲线的一此实际应用。(5) 了解用坐标法及向量法研究几何问题的思想，掌握利用方程研究曲线性质的方法高考解析几何试题一般占35 分左右，命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和

2、填空题考查直线、圆、圆锥曲线的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线与方程的关系和轨迹，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得注意。教学过程：一、基础训练：1若过原点的直线与圆2x+2y+x4+3=0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ C ）Axy3Bxy3Cxy33Dxy332椭圆12222byax (ab0)离心率为23, 则双曲线12222byax的离心率为（ B ）A45B25 C32D453若动点 (x,y) 抛物线 y=42x上的一点M到焦点的距离为1，则点 M的纵坐

3、标是 ( B ) A . 1617 B . 1615 C.87 D . 0 4已知定点A、B且|AB|=4 ，动点 P满足 |PA| |PB|=3 ，则 |PA| 的最小值是（ C ）A.21B.23C.27D.5 5. 若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215,0), 则椭圆的标准方程是1208022yx6已知直线1yx与椭圆221mxny(0)mn相交于,A B两点，若弦AB中点的横坐标为13，则双曲线22221xymn的两条渐近线夹角的正切值是43二、例题分析：例 1、已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求

4、双曲线的方程；（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值 . 解：（ 1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd. 故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去y，整理得07830)31(22kxxk. 设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载.11,315531152002002210kxykkkxykkxxxBE,00

5、0kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求k=7. 说明： 为了求出k的值 , 需要通过消元, 想法设法建构k的方程 . 直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用0来处理但有时用0 来判断圆锥曲线相交问题是不可靠的解决这类问题：方法1，由“0”与直观图形相结合；方法2，由“ 0”与根与系数关系相结合。例 2、直线l过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于A),(),(2211yxByx和两点 . （1）求证：2214pxx; （2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线l不是 CD的垂直平分线. 解: （1）易求得抛物线的焦点)0,2(PF.

6、若lx轴，则l的方程为4,2221PxxPx显然. 若l不垂直于x轴，可设)2(Pxky, 代入抛物线方程整理得4, 04)21 (221222PxxPxkPPx则. 综上可知2214pxx.（2）设dcdpdDcpcC且),2(),2(22，则 CD的垂直平分线l的方程为)4(2222pdcxpdcdcy假设l过 F，则)42(22022pdcppdcdc整理得0)2)(222dcpdc0p02222dcp，0dc. 这时l的方程为y=0，从而l与抛物线pxy22只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此l与l不重合，l不是 CD的垂直平分线 . 说明： 此题是课本题的深化，课本是高

7、考试题的生长点，复习要重视课本。解本题时，不要忽略对lx轴这一特殊情形的讨论。例 3、已知过动点M（a，0）且斜率为1 的直线l与抛物线)0(22ppxy交于不同的两点A、B（）若apAB求,2|的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，试求MNQRt的面积解： （）直线l的方程为：axy，将pxyaxy22代入，得0)(222axpax设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为),(11yxA、),(22yxB，则.),(2,04)(42212122axxpaxxapa又axyaxy2211,，221221)()(|yyxxAB4)(221221xxxx)2(8app0)2

8、(8,2|0apppAB，papp2)2(80解得42pap（）设),(33yxQ，由中点坐标公式，得paxxx2213，paxaxyyy2)()(22121322222)0()(|ppapaQM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载又MNQ为等腰直角三角形，22|21pQMSMNQ说明： 弦长求法是圆锥曲线的典型问题，设圆锥曲线Cf(x ，y)=0 与直线 l y=kx+b 相交于 A(x1，y1) 、B(x2，y2)两点，则弦长|AB| 为：(2) 若弦 AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|

9、AB|=|AF|+|BF|例 4、已知圆 (x+4)2+y2=25 的圆心为M1，圆 (x4)2+y2=1 的圆心为M2，一动圆与这两个圆都外切. （1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）若过点 M2的直线与（ 1）中所求轨迹有两个交点A 、B，求 |AM1| |BM1| 的取值范围 . 解： （1） |PM1|-5=|PM2|-1 ， |PM1| - |PM2|=4 动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支。c=4，a=2，b2=12，故所求轨迹方程为42x122y=1（x2） 。（ 2）当过 M2的直线倾斜角不等于2时，设其斜率为k，直线方程为y=k(x-4)， 与双曲线 3x2-y

10、2-12=0 联立，消去 y 化简得 (3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0 又设 A(x1，y1) ，B(x2，y2) ， x10，x20 由0)34)(3(166403121603822422212221kkkkkxxkkxx解得 k23。由双曲线左准线方程 x=-1且 e=2，有 |AM1| |BM1|=e|x1+1| e|x2+1|=4x1x2+(x1+x2)+1 =4(3121622kk+3822kk+1)=100+33362kk2-30， |AM1| |BM1|100 又当直线倾斜角等于2时， A(4，y1) ，B(4，y2) ，|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10

11、|AM1| |BM1|=100 故 |AM1| |BM1| 100。说明：与圆锥曲线有关问题的解决要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质例 5、 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 (2,0) ，右顶点为)0 ,3(。(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：2kxy与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2OBOA( 其中O为原点 ) ，求k的取值范围。解： （）设双曲线方程为22221xyab).0,0(ba由已知得.1,2,2,32222bbaca得再由故双曲线C的方程为.1322yx（）将得代入13222yxkxy.0926)31 (22kxxk由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130,

12、(62 )36(13)36(1)0.kkkk即.13122kk且设),(),(BBAAyxByxA，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载22629,22,1313ABABABABkxxx xOA OBx xy ykk由得而2(2)(2)(1)2 ()2ABABABABABABx xy yx xkxkxkx xk xx2222296 237(1)22.131331kkkkkkk于是222237392,0,3131kkkk即解此不等式得.3312k由、得.1312k故k的取值范围为33( 1,)(,1).

13、33说明 ：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。例 6、已知椭圆)0(12222babyax的长、短轴端点分别为A、B ，从此椭圆上一点M向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F，向量AB与OM是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设 Q是椭圆上任意一点，1F、2F分别是左、右焦点，求21QFF的取值范围；解： （1）abycxcFMM21,),0 ,(则，acbkOM2。ABOMabkAB与,是共线向量，abacb2， b=c, 故22e。（2）设1122121212,2 ,2 ,FQrF QrF QFrra F Fc222222212121

14、 22121 21 21 24()24cos11022()2rrcrrr rcaarrr rr rr r当且仅当21rr时， cos=0， 2, 0。说明 ：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。例 7、 已知 M ：xQyx是,1)2(22轴上的动点，QA ，QB分别切 M于 A，B两点。（1）如果324| AB，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB的中点 P的轨迹方程 . 解 :

15、 （ 1 ） 由324| AB， 可 得,31)322(1)2|(|2222ABMAMP由 射 影 定 理 ， 得, 3|,|2MQMQMPMB得在 RtMOQ 中，523|2222MOMQOQ， 故55aa或，所以直线MQ 方程是;0525205252yxyx或（2）连接 MB ，MQ ，设),0 ,(),(aQyxP由点 M ，P，Q在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|,|2MQMPMB即(*), 14)2(222ayx把（ *）及（ * ）消去a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载并注

16、意到2y，可得).2(161)47(22yyx说明： 适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在；求轨迹方程时，要注意检验结论的纯粹性与完备性。例 8、点 A、B分别是椭圆1203622yx长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PFPA。（ 1）求点 P的坐标；（ 2）设 M是椭圆长轴AB上的一点， M到直线 AP的距离等于| MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。解: （1）由已知可得点A(6,0),F(0,4) 设点 P(x,y), 则AP=（x+6, y）,FP=（x4, y）, 由已知可得22213620(6)(4)0 xyxxy则 22x+9

17、x18=0, x=23或x=6. 由于y0, 只能x=23, 于是y=235. 点 P的坐标是 (23,235) (2) 直线 AP的方程是x3y+6=0. 设点 M(m,0), 则 M到直线 AP的距离是26m. 于是26m=6m, 又6m6, 解得m=2. 椭圆上的点 (x,y) 到点 M的距离d有222222549(2)4420()15992dxyxxxx, 由于 6m6, 当x=29时 ,d 取得最小值15说明： 在解析几何中求最值：一是建立函数关系，利用代数方法求出相应的最值；再是利用圆锥曲线的几何性质或者曲线的参数方程求最值。例 9、 在 RtABC中， CAB90，AB2，AC2

18、2， 一曲线E过C点， 动点P在曲线E上运动，且保持|PBPA的值不变（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）直线l：txy与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值解: （1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系22)22(222|22CBCAPBPA，动点轨迹为椭圆，且2a，c1，从而b1方程为1222yx（ 2）将yxt代入1222yx，得0224322ttxx设M（1x，1y） 、N（2x，2y） ，322340)22(34162212122txxtxxtt，由得2t3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

19、第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载22121212632|21txxyyyyABSMANBt0 时，362大S例 10、在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yx上异于坐标原点的两不同动点、满足AOBO（如图所示） （）求AOB得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解： （I ）设 AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 则332121yyyxxx（ 1）OA OB 1OBOAkk, 即12121yyxx， (2)又点 A，B在抛物线上，有222211,xyxy，代入（ 2）化简得121x

20、x32332)3(312)(31)(3132221221222121xxxxxxxxyyy所以重心为G的轨迹方程为3232xy（II ）22212122222122212222212121)(21|21yyyxyxxxyxyxOBOASAOB由（ I ）得12212)1(2212221221662616261xxxxSAOB当且仅当6261xx即121xx时，等号成立。所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1。说明： 求轨迹方程是近几年高考的热门问题，直接法、定义法、转移法、参数法（交轨问题）是最常见的方法。例 11、已知方向向量为)3, 1(v的直线l过点（32,0）和椭圆)0(1:22

21、22babyaxC的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上 . （）求椭圆C的方程；（）是否存在过点E （ 2，0）的直线m交椭圆 C于点 M 、 N ，满足634ONOMcot MON 0（O为原点） .若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由. （I ）解：直线333:xyl，过原点垂直l的直线方程为xy33，解得.23x椭圆中心（0， 0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，.32322ca直线l过椭圆焦点，该焦点坐标为（2，0）. x y O A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页

22、学习必备欢迎下载.2,6,222bac故椭圆 C的方程为.12622yx（II ）设 M （11, yx） ，N（22,yx） . 当直线 m不垂直x轴时，直线)2(:xkym代入，整理得,061212)13(2222kxkxk,13612,131222212221kkxxkkxx,13)1(62136124)1312(14)(1|22222222212212kkkkkkkxxxxkMN点 O到直线 MN 的距离21|2|kkd,cot634MONONOM即, 0sincos634cos|MONMONMONONOM,634|.632,634sin|dMNSMONONOMOMN即).13(634

23、1|6422kkk整理得.33,312kk当直线m垂直x轴时，也满足632OMNS. 故直线m的方程为,33233xy或,33233xy或.2x经检验上述直线均满足0ONOM. 所以所求直线方程为,33233xy或,33233xy或.2x说明： 存在性问题是解析几何中常见的问题，一般是以假设存在为条件，进而获得结论。例 12、设 A、B是椭圆223yx上的两点，点N（ 1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于 C、D两点 . （）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得 A、B、 C 、D四点在同一个圆上？并说明理由. （ I ）解法 1：依题意，可

24、设直线AB的方程为223, 3)1(yxxky代入，整理得.0)3()3(2)3(222kxkkxk设是方程则212211,),(),(xxyxByxA的两个不同的根，0)3(3)3(422kk)3 , 1(.3)3(2221Nkkkxx由且是线段 AB的中点，得.3)3(, 12221kkkxx解得 k=-1 ，代入得，12，即的取值范围是（12，+）. 于是，直线AB的方程为.04),1(3yxxy即解法 2：设则有),(),(2211yxByxA.0)()(33,32121212122222121yyyyxxxxyxyx依题意，.)(3,212121yyxxkxxAB精选学习资料 - -

25、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载.04),1(3).,12(.12313,)3 , 1(.1, 6,2,)3 , 1 (222121yxxyABNkyyxxABNAB即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是（ II ）解法 1：.02, 13,yxxyCDABCD即的方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得.04442xx是方程则的中点为又设43004433,),(),(),(xxyxMCDyxDyxC的两根，).23,21(,232,21)(21, 10043043Mxyxxxxx即且于是由弦长公式可得).3

26、(2|)1(1|432xxkCD将直线 AB的方程代入椭圆方程得, 04yx.016842xx同理可得. )12(2|1|212xxkAB. |.,)12(2)3(2,12CDAB时当假设在在12，使得A、 B 、C、D 四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心 . ，点 M到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00yxd于是，由、式和勾股定理可得.|2|2321229|2|22222CDABdMBMA故当12时， A 、B、C、D四点在以M为圆心，2| CD为半径的圆上. 即 A、B、C 、D四点共圆说明 ： “点差法”是处理中点弦问题的常见方法。另外我们还要注意用“点在曲线内”求参数的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页