2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第二讲 参数方程一 第2课时 .docx

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1、2.2直线和圆的参数方程)2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程1.直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数) .参数的几何意义直线的参数方程中参数t的几何意义是：参数t的绝对值表示参数t对应的点到定点M0(x0，y0)的距离.当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数；当与e反向时，t取负数；当点M与点M0重合时，t为零.(2)设直线过点M0(x0，y0)，且与平面向量a(l，m)平行或称直线与a共线(其中l，m都不为0)，在直线上任取一点M(x，y)，则向量 与 a 共线，即 a.由向量共线的充分必要条件以及(xx0，yy0)，可得.记上

2、式的比值为t，整理后得：tR.2.圆的参数方程(1)在时刻t，圆周上某点M转过的角度是，点M的坐标是(x，y)，那么t (为角速度).设|OM|R，那么由三角函数定义，有cos t，sin t，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为_(t0).其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻.(2)若取为参数，因为t，于是圆心在原点O，半径为R的圆的参数方程为_(为参数).其中参数的几何意义是：OM0(M0为t0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R则圆的参数方程为02.【思维导图】【知能要点】1.直线的参数方程.2.圆的参数

3、方程.3.直线与圆参数方程的应用.知识点1直线的参数方程直线的参数方程 (为参数)中，x0，y0都是常数，对于同一直线，选取的参数不同，会得到不同的参数方程.对于直线普通方程y2x1，如果令xt，可得到参数方程 (t为参数)；如果令x，可得到参数方程 (t为参数).这样的参数方程中的t不具有一定的几何意义，但是在实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，点M从A点(1，1)开始运动，求点M的轨迹的参数方程.点M的轨迹的参数方程可以直接写为 (t为参数).【例1】 设直线的参数方程为 (t为参数)，点P在直线上，且与点M0(4，0)的距

4、离为，若该直线的参数方程改写成 (t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为_.答案：1解析：由|PM0|知t，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(3，1)或(5，1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t1或t1.【反思感悟】 直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，本题正是使用了其几何意义，简化了运算，这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.1.已知直线l的方程为3x4y10，点P(1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5，4)和点N(2，6)的距离.解：由直线方程3x4y10可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则tan ，sin ，cos .又点P(

5、1，1)在直线l上，所以直线l的参数方程为(t为参数).因为354410，所以点M在直线l上.由1t5，得t5，即点P到点M的距离为5.因为点N不在直线l上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN|.【例2】 已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角，(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2y24相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积.解：(1)直线的参数方程是(t是参数).(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A，B.以直线l的参数方程代入圆的方程x2y24，整理得到t2(1)t20.因为t1和t2是方程的解，从而t1t22.所以|

6、PA|PB|t1t2|2|2.【反思感悟】 本题P到A，B两点的距离就是参数方程中t的两个值，可以充分利用参数的几何意义.2.已知直线l：(t为参数).(1)分别求t0，2，2时对应的点M(x，y)；(2)求直线l的倾斜角；(3)求直线l上的点M(3，0)对应的参数t，并说明t的几何意义.解：(1)由直线l：(t为参数)知当t0，2，2时，分别对应直线l上的点(，2)，(0，3)，(2，1).(2)法一：化直线l：(t为参数)为普通方程为y2(x)，其中ktan ，00恒成立.方程必有相异两实根t1，t2，且t1t23(2cos sin )，t1t2.(1)|BC|t1t2|.(2)A为BC中

7、点，t1t20，即2cos sin 0，tan 2.故直线BC的方程为y2(x3)，即4x2y150.(3)|BC|8，(2cos sin )21，cos 0或tan .直线BC的方程是x3或3x4y150.(4)BC的中点M对应的参数是t(2cos sin )，点M的轨迹方程为(0)，.即点M的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.【反思感悟】 利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等问题，也十分方便.5.已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.解：(1)直

8、线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.课堂小结1.利用直线的参数方程 (为参数)中参数的几何意义，在解决直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离.2.直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算.3.圆的参数方程(为参数)中具有明确的几何意义，把圆的参数方程化为普通方程是常规解题思路.随堂演练1.求直线l1： (t为参数)和直线l2：xy20的交点P的坐标，及点P与Q(1，5)的距离.解：将代入xy20，得t2，P(12

9、，1)，而Q(1，5)，得|PQ|4.2.已知直线的参数方程为 (t为参数)，它与曲线(y2)2x21交于A，B两点.(1)求|AB|的长；(2)求点P(1，2)到线段AB中点C的距离.分析：本题主要考查直线参数方程以及直线与曲线的位置关系.首先把直线的参数方程代入曲线方程，可以得到关于参数t的二次方程，根据参数的有关意义可以解决此问题.解：(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t26t20.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t2.所以，线段|AB|的长为|t1t2|5.(2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为.所以，由t的几何意义可得点P(1，2)

10、到线段AB中点C的距离为.3.参数方程 (为参数)表示什么曲线？解：显然tan ，则1，cos2xcos2sincossin 2cos2cos2 ，x1得x1，即x2y2xy0.该参数方程表示以为圆心，为半径的圆.基础达标1.曲线(为参数)的对称中心()A.在直线y2x上 B.在直线y2x上C.在直线yx1上 D.在直线yx1上答案：B解析：消去参数，将参数方程化为普通方程.曲线可化为(x1)2(y2)21，其对称中心为圆心(1，2)，该点在直线y2x上，故选B.2.若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为()A. B. C. D.答案：D解析：k.3.过点(0，2)且与直线(t为参数)

11、互相垂直的直线方程为()A. B.C. D.答案：B解析：直线化为普通方程为yx12，其斜率k1，设所求直线的斜率为k，由kk11，得k，故参数方程为(t为参数).4.在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为_.答案：xy10解析：利用消元法消去参数求解.x2t，tx2，代入y1t，得yx1，即xy10.5.直线 (t为参数)被圆x2y24截得的弦长为_.答案：解析：直线为xy10，圆心到直线的距离d，弦长d2.6.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l

12、：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标.解：(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1).可得C的参数方程为(t为参数，0t).(2)设D(1cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐标为，即.综合提高7.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，则直线l被圆C截得的弦长为()A. B.2C. D.2答案：D解析：将参数方程和极坐标方程

13、化为直角坐标方程求解.直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是yx4，圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆C的圆心(2，0)到直线xy40的距离为d.又圆C的半径r2，因此直线l被圆C截得的弦长为22.故选D.8.直线 (t为参数)和圆x2y216交于A，B两点，则AB的中点坐标为()A.(3，3) B.(，3)C.(，3) D.(3，)答案：D解析：16，得t28t120，t1t28，4，中点为9.经过点P(1，0)，斜率为的直线和抛物线y2x交于A，B两点，若线段AB中点为M，则M的坐标为_.答案：解析：直线的参数方程为 (t是参数)，代入抛物线方程得9t2

14、20t250.中点M的相应参数为t.点M的坐标是.10.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设P，又C(0，)，则|PC|，故当t0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为(3，0).11.直线过点A(1，3)，且与向量(2，4)共线.(1)写出该直线的参数方程；(2)求点B(2，1)到此直线的距离.解：(1)设直线上任

15、一点为P(x，y)，则(1x，3y).由于与向量(2，4)共线，(t为参数). (2)如图所示，在直线上任取一点M(x，y)，则|BM|2(x2)2(y1)2(12t2)2(34t1)220t220t252020.当t时，|BM|2取最小值，此时|BM|等于点B与直线的距离，则|BM|2.12.(创新拓展)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(为参数).(1)当时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P 为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解：(1)当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21.联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1，0)，.(2)C1的普通方程为xsin ycos sin 0.A点坐标为(sin2，cos sin )，故当变化时，P点轨迹的参数方程为(为参数).P点轨迹的普通方程为y2.故P点轨迹是圆心为，半径为的圆.