2022年最新初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题模板 .pdf

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1、精品文档精品文档初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：一） 、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P，使 PA+PB 最小；（1）点 A、 B 在直线 m 两侧：（2）点 A、 B 在直线同侧：A、A是关于直线m 的对称点。2、在直线 m、n 上分别找两点P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：PmABmABmABPmABAnmABQPnmABPQnmABQPnmABBQPnmABBAnmAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

2、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档（4） 、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线n、m 分别上求点D、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短 . 填空：最短周长=_ 变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧 , 在直线 m、n 分别上求点P、 Q 点 PA+PQ+QA周长最短 . 二） 、一个动点，一个定点：（一） 动点 在直线上运动：点 B 在直线 n 上运动，在直线m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直

3、线两侧：2、两点在直线同侧：mnAPmnABmnAPmnAABmnABEDmnABABmnAPQmnAAA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档（二）动点在圆上运动点 B 在 O 上运动，在直线m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点P 和点 B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三） 、已知 A、B 是两个定点， P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧 ,且 PQ

4、 间长度恒定 ,在直线 m 上要求 P、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。 (原理用平移知识解) （1）点 A、B 在直线 m 两侧：过 A 点作 AC m,且 AC长等于 PQ长，连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左平移PQ 长，即为P点，此时P、Q 即为所求的点。（ 2）点 A、B 在直线 m 同侧：mOAPPmOBABmOAPmOABAmABBEQPmABQPmABQPmABCQP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - -

5、- - - - - 精品文档精品文档练习题 1如图， AOB=45 ，P 是AOB 内一点， PO=10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值为2、如图 1，在锐角三角形ABC中， AB=4, BAC=45 ， BAC的平分线交BC于点 D，M,N分别是 AD和 AB上的动点，则BM+MN 的最小值为3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=5 2，BAC=45 ，BAC 的平分线交BC 于 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN的最小值是多少？4、如图 4 所示，等边 ABC的边长为 6,AD 是 BC边上的中线 ,M 是 AD上的动点 ,E 是

6、 AC边上一点 . 若 AE=2,EM+CM 的最小值为.5、如图 3，在直角梯形ABCD中， ABC 90，ADBC ，AD 4，AB 5，BC 6，点 P是 AB上一个动点，当PC PD的和最小时， PB的长为 _6、如图 4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，ABC=60 ， P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为Q名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档7、如图 5

7、 菱形 ABCD 中，AB=2 ，BAD=60 ，E是 AB的中点， P是对角线AC上的一个动点，则 PE+PB的最小值为8、如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长6和8，点 P是对角线 AC 上的一个动点，点M、N分别是边 AB、BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm10 、如 图 ，菱 形 ABCD中 ，AB=2 ， A=120，点 P，Q，K 分 别 为线 段 BC ，CD ，BD 上 的

8、 任 意 一 点 ， 则 PK+QK的 最 小 值 为 11、如图，正方形ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点则PB+PE 的最小值是12、如图 6 所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点 M在 DC上，且 DM=2 ，N是 AC上的一个动点，则DN+MN 的最小值为13、如图，正方形ABCD 的边长是2， DAC 的平分线交DC 于点 E，若点 P、Q 分别是AD 和 AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

9、 - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档14、如图 7，在边长为2cm的正方形 ABCD 中，点 Q为 BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB 、PQ ，则 PBQ周长的最小值为cm（结果不取近似值）15、如图， O 的半径为 2，点 A、B、C 在 O 上， OAOB， AOC=60 ，P 是 OB 上一动点，则 PA+PC 的最小值是16、如图 8，MN是半径为 1 的 O的直径，点A在O上， AMN 30， B为 AN弧的中点，P是直径 MN 上一动点，则PA PB的最小值为 ( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图

10、9，正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=（k0）在第一象限的图象交于A点，过 A点作 x 轴的垂线，垂足为M ，已知三角形OAM 的面积为 1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果 B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点 A不重合），且B点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点P，使 PA+PB最小 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档2、如 图 ，一 元 二 次 方 程 x2+2x-3=

11、0的 二 根 x1， x2（ x1 x2）是 抛 物 线 y=ax2+bx+c与 x 轴 的 两 个 交 点 B， C 的 横 坐 标 ， 且 此 抛 物 线 过 点 A（ 3， 6） （ 1） 求 此 二 次 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 设 此 抛 物 线 的 顶 点 为 P， 对 称 轴 与 AC 相 交 于 点 Q， 求 点 P 和 点 Q 的 坐 标 ；（ 3） 在 x 轴 上 有 一 动 点 M， 当 MQ+MA取 得 最小值时 ， 求 M点 的 坐 标3、如图 10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 （1，） ，AOB的面积是.（1）求点 B的坐标；（2）求过点 A、O 、

12、B的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 AOC的周长最小？若存在，求出点 C的 坐标；若不存在，请说明理由；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档4如图，抛物线y35x2185x3 和 y 轴的交点为A，M 为 OA 的中点，若有一动点P，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E） ，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F） ，最后又沿直线运动到点A

13、，求使点P 运动的总路程最短的点E，点 F的坐标，并求出这个最短路程的长5如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC在 x 轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点 B 作 BDBC，交 OA 于点 D将 DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、 x 轴的正半轴于点E 和 F（1）求经过A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE 经过（ 1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、 Q （点 Q 在点 P 的上方），且 PQ1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q 两点的坐标名师

14、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档6如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，3），B(4，1）若 C(a，0)，D(a+3， 0)是 x 轴上的两个动点，则当a 为何值时，四边形ABDC 的周长最短7、如图 11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B 分别在x轴、 y 轴的正半轴上，OA=3 ，OB=4 ，D为边 OB的中点 .（1）若 E为边 OA上的一个动点，当C

15、DE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若 E、F 为边 OA上的两个动点，且EF=2 ，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P，使 PA 与 PB 的差最大；（1）点 A、 B 在直线 m 同侧：解析：延长AB 交直线 m 于点 P，根据三角形两边之

16、差小于第三边，P AP BAB ，而 PAPB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。（2）点 A、 B 在直线 m 异侧：解析：过 B 作关于直线m 的对称点 B ,连接 AB 交点直线m 于 P,此时 PB=PB ，PA-PB 最大值为 AB练习题1. 如图，抛物线y14x2x2的顶点为 A，与 y 轴交于点B(1)求点 A、点 B 的坐标；(2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证：PAPB AB；(3)当 PAPB 最大时，求点P 的坐标 . mBAmABmABBPPmBAPP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

17、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档2. 如图，已知直线y21x1与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y21x2bxc 与直线交于A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 (1，0)（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使 |AMMC|的值最大，求出点M 的坐标3、在直角坐标系中，点A、B 的坐标分别为（4，1）和（ 2， 5） ；点 P 是 y 轴上的一个动点， 点 P 在何处时，PAPB 的和为最小？并求最小值。点 P 在何处时， PAPB最大

18、？并求最大值。y x C B A D O E y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档y C lx B A 1x4. 如图，直线y3x2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点B，点 A 为 y 轴正半轴上的一点， A 经过点 B 和点 O，直线 BC 交 A 于点 D（1）求点 D 的坐标；（2）过 O， C，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO 与 PD之差的值最大？

19、若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标若不存在，请说明理由5、抛物线的解析式为223yxx，交 x 轴与 A 与 B,交 y 轴于 C，在其对称轴上是否存在一点P，使 APC 周长最小，若存在，求其坐标。在其对称轴上是否存在一点Q，使 QBQC的值最大，若存在求其坐标。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档6、已知：如图，把矩形OCBA 放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2 ，取 AB 的中点 M

20、，连接 MC ，把 MBC 沿 x 轴的负方向平移OC 的长度后得到DAO （1）试直接写出点D 的坐标；（2）已知点 B 与点 D 在经过原点的抛物线上，点 P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作 PQx 轴于点 Q，连接 OP若以 O、P、Q 为顶点的三角形与DAO 相似，试求出点P的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得 |TO-TB| 的值最大？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精

21、品文档7、如图，已知抛物线C1的解析式为y=-x2+2x+8，图象与y 轴交于 D点，并且顶点A在双曲线上（1）求过顶点A的双曲线解析式；（2）若开口向上的抛物线C2与 C1的形状、大小完全相同，并且C2的顶点 P 始终在 C1上，证明：抛物线C2一定经过 A点；（3）设（ 2）中的抛物线C2的对称轴 PF与 x 轴交于 F点，且与双曲线交于E点，当 D、O、E、F 四点组成的四边形的面积为16.5 时，先求出P点坐标，并在直线y=x 上求一点M ，使|MD-MP|的值最大名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

22、整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档8、如图 ,已知抛物线经过 A(3 ，0)，B(0，4)，（1）.求此抛物线解析式（2）若抛物线与x 轴的另一交点为C，求点 C 关于直线AB 的对称点C的坐标（3） 若点 D 是第二象限内点，以D 为圆心的圆分别与x 轴、 y 轴、直线 AB 相切于点E、F、H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得 | PHPA| 的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。A B C O x y A B C O x y D E F H 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

23、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档DCBAABCDABCD三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

24、1、如图，在 ABC 中， C=90， AC=4，BC=2，点 A、C 分别在x 轴、 y 轴上，当点A在 x轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中， 点 B到原点的最大距离是 （）A222B52C。62D 6 2、已知 : 在 ABC 中，BC=a，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题 : （ 1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且 ACB=60 ，则CD= ；（ 2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且 ACB=90 ，则CD= ；（3）如图 3，当 ACB变化, 且点 D与点 C位于直线AB的两侧

25、时，求 CD 的最大值及相应的 ACB的度数 . 图 1 图 2 图 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档3、在 RtABC 中， ACB=90 ，tanBAC=12. 点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连结BD，F 为 BD 中点 . （1） 若过点 D 作 DEAB 于 E， 连结 CF、 EF、 CE， 如图 1设CFkEF， 则 k = ；（2）若将图 1 中的 ADE 绕

26、点 A 旋转，使得D、E、B 三点共线，点F 仍为 BD 中点，如图 2 所示求证： BE-DE=2CF；（3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段AD 绕点 A 旋转，点F 始终为 BD中点，求线段CF 长度的最大值BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档4、如图，四边形ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形，M为对角线BD （不含 B

27、点）上任意一点，将BM绕点 B逆时针旋转60得到 BN ，连接 EN 、AM 、CM. 求证： AMB ENB ； 当 M点在何处时， AM CM的值最小；当 M点在何处时， AM BM CM的值最小，并说明理由； 当 AM BM CM的最小值为13时，求正方形的边长. E A D B C N M 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档5、如 图 ，二 次 函 数 y=-x2+bx+c与 x 轴 交

28、 于 点 B 和 点 A（ -1，0） ，与 y 轴 交 于 点C， 与 一 次 函 数 y=x+a交 于 点 A 和 点 D （ 1） 求 出 a、 b、 c 的 值 ；（ 2） 若 直 线 AD 上 方 的 抛 物 线 存 在 点 E， 可 使 得 EAD面 积 最 大 ， 求 点 E 的 坐标 ；（ 3）点 F 为 线 段 AD 上 的 一 个 动 点 ，点 F 到（ 2）中 的 点 E 的 距 离 与 到 y 轴 的 距离 之 和 记 为 d， 求 d 的 最 小 值 及 此 时 点 F 的 坐 标 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -