2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：1.3.1 二项式定理 .doc

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1、1.3二项式定理13.1二项式定理 问题1：我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3、(ab)4的展开式提示：(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(ab)3的展开式有4项，每一项的次数是3；(ab)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(ab)4是如何展开的吗？提示：(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)由多项式的乘法法则知，从每个(ab)中选a或选b相乘即得展开式中的一项若都选a，则得Ca4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得Ca3b；若有两

2、个选b，其余两个选a，则得Ca2b2；若都选b，则得Ca0b4.问题4：能用类比方法写出(ab)n(nN)的展开式吗？提示：能，(ab)nCanCan1bCbn.1二项式定理公式(ab)nCanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)所表示的规律叫做二项式定理2相关概念(1)公式右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式(2)各项的系数C(r0,1,2，n)叫做展开式的二项式系数(3)展开式中的Canrbr叫做二项展开式的通项，记作：Tr1，它表示展开式的第r1项(4)在二项式定理中，如果设a1，bx，则得到公式(1x)nCCxCx2CxrCxn.展开式具有以下特点：(1)项数：共有n1项

3、；(2)二项式系数：依次为C，C，C，C，C；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；(4)通项Tr1Canrbr是第r1项，而不是第r项 二项式定理的正用、逆用例1(1)用二项式定理展开5.(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)rC(x1)nr(1)nC.思路点拨(1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解精解详析(1)5C(2x)5C(2x)4C532x5120x2.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nr(1)rC(1)n(x1)(

4、1)nxn.一点通1(ab)n的二项展开式有n1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.2逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢1求4的展开式解：法一：4C(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.2求C9C92C93C94C的值解：原式(92C93C94C95C96C)(C91C92C93C94C95C96C)(C

5、91C)(19)6(169)(10655)12 345.求二项展开式中的特定项或其系数例2(1)(江西高考)5展开式中的常数项为()A80B80C40 D40(2)(浙江高考)设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B4A，则a的值是_思路点拨求特定项或特定项的系数，可以先写出二项展开式的通项，求出相应的r值后再代入通项求特定项或其系数精解详析(1)设展开式的通项为Tr1Cr(x2)5r(2)rCx105r，所以当105r0，即r2时，Tr1为常数即Tr1(2)2C40.故选C.(2)由题意得Tr1Cx6rr(a)rCx，A(a)2C，B(a)4C.又B4A，(a)4C4(a

6、)2C，解之得a24.又a0，a2.答案(1)C(2)2一点通求二项展开式中的特定项要注意以下几点：(1)求二项展开式中的特定项是二项展开式的通项的应用；(2)二项展开式的通项是指Tr1Canrbr，如T5T41Can4b4，代入时不要代错值；(3)常数项是指不含字母的项；(4)有理项是指字母指数为整数的项3(四川高考)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为()A30 B20C15 D10解析：只需求(1x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C15，故选C.答案：C4在20的展开式中，系数是有理数的项共有()A4项 B5项C6项 D7项解析：Tr1C(x)20rrr()20

7、rCx20r.系数为有理数，()r与2均为有理数，r能被2整除，且20r能被3整除故r为偶数，20r是3的倍数，0r20，r2,8,14,20.答案：A5在8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)展开式的倒数第3项解：法一：利用二项式的展开式解决(1)8(2x2)8C(2x2)7C(2x2)62C(2x2)53C(2x2)44C(2x2)35C(2x2)26C2x27C8，则第5项的二项式系数为C70，第5项的系数为C241 120.(2)由(1)中8的展开式可知倒数第3项为C(2x2)26112x2.法二：利用二项展开式的通项公式解决(1)T5C(2x2)844C24

8、x，则第5项的二项式系数是C70，第5项的系数是C241 120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T7C(2x2)866112x2.1求展开式的特定项的关键是抓住其通项，求解时，先准确写出通项，再把系数和字母分离开来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式求解即可2C(r0,1,2，n)是二项式系数，它与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数C一定为正，而项的系数与a，b的系数有关，正、负不能确定 1二项式(ab)2n的展开式的项数是()A2nB2n1C2n1 D2(n1)解析：根据二项式定理可知，展开式共有2n1项答案：B2.6的展开式中x2的系数为

9、()A240 B240C60 D60解析：二项展开式的通项为Tr1C(2x)6rr(1)r26rCx62r，当62r2时，r2，所以二项展开式中x2的系数为(1)224C240.答案：B3在n(nN)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A3 B5C8 D10解析：Tr1C(2x3)nrr2nrCx3n5r.令3n5r0，0rn，n的最小值为5.答案：B4(安徽高考)(x22)5的展开式的常数项是()A3 B2C2 D3解析：5的展开式的通项为Tr1C5r(1)r，r0,1,2,3,4,5.当因式(x22)提供x2时，则取r4；当因式(x22)提供2时，则取r5.所以(x22)5的展开式

10、的常数项是523.答案：D5若(12x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是_解析：由得解得x.答案：62303除以7的余数是_解析：因为2303(23)1038103(71)103C710C79C7C37(C79C78C)4，所以2303除以7的余数为4.答案：47已知m，nN，f(x)(1x)m(1x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数解：由题设知mn19.又m，nN，1m18.x2的系数为CC(m2m)(n2n)m219m171.当m9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为CC156.8已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项解：(1)Tr1C()nrrrCx.第6项为常数项，r5时，0，n10.(2)令2，得r(n6)2，所求的系数为C2.(3)根据通项公式，由题意得令k(kZ)，则102r3k，即r5k.0r10且rZ，k应为偶数，k可取2,0，2.r2,5,8，第3项、第6项与第9项为有理项它们分别为C2x2，C5，C8x2，即 x2，.