2022年必修-第章--平面向量典型例题及练习.docx

《2022年必修-第章--平面向量典型例题及练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年必修-第章--平面向量典型例题及练习.docx（27页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 平面对量2.1 平面对量的实际背景及基本概念【学问点归纳】1.平面对量的概念：2.向量的表示：常见的 2 个向量3.相等向量与共线向量：【典型例题】题型一 向量的基本概念 例 1.给出以下命题：向量 AB 与 CD 是共线向量,就A、B、C、D 四点必在始终线上；两个单位向量是相等向量；假设 a=b, b=c, 就 a=c；假设一个向量的模为 0,就该向量的方向不确定；假设 |a|=|b|,就 a=b；假设 a 与 b 共线 , b 与 c 共线 ,就 a 与 c 共线其中正确命题的个数是A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个例 2

2、以下命题正确的有a 与 b 共线, b 与 c 共线,就 a 与 c 也共线任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点向量 a 与不共线,就 a 与都是非零向量有相同起点的两个非零向量不平行名师归纳总结 题型二向量的表示100km 到达 B 点 , 然后又转变方向,向西偏北45走了 200km 到第 1 页,共 16 页例 3.一辆汽车从A 点动身向西行驶了达 C 点, 最终又转变方向,向东行驶了100km 到达 D 点. 1作出向量 AB , BC ,CD ;2 求 AD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型三 相等向量与共线向量例 4

3、 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量 OA , OB , OC 相等的向量,共线的向量；题型四 利用向量解决多点共线的问题例 5.如图,四边形ABCD 中, ABDC ,P,Q 是 AD ,BC 上的ABPQDC点,且 BPQD ,求证： APQC综合练习：1. 以下命题中,正确的选项是A. 假设 |a|=|b|,就 a=b B. 假设 a=b,就 a 与 b 是平行向量C. 假设 |a|b|,就 ab D. 假设 a 与 b 不相等,就向量 a 与 b 是不共线向量2.以下说法中错误的选项是 A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为 0C.零向量与任一向量平

4、行 D.零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是4.已知非零向量a b,假设非零向量c a,就 c 与 b 关系是. . 5.已知 a、 b 是两非零向量 ,且 a 与 b 不共线 ,假设非零向量c 与 a 共线 ,就 c 与 b 必定6.判定以下命题的正误：零向量是惟一没有方向的向量；平面内的单位向量只有一个；方向相反的向量是共线向量,共线向量不肯定是方向相反的向量；向量 a 与 b 是共线向量, b C,就 a 与 c 是方向相同的向量； 相等的向量肯定是共线向量； 7. 以下四个命题中,正确命题的个数是名师归纳总结 共线向量是在同一条

5、直线上的向量第 2 页,共 16 页假设两个向量不相等,就它们的终点不行能是同一点与已知非零向量共线的单位向量是唯独的 假设四边形ABCD 是平行四边形,就AB 与 CD , BC 与 AD 分别共线 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.2 平面对量的线性运算2.2.1 向量的加法2.2.2 向量的减法2.2.3 向量的数乘【学问点归纳】1.向量的加法：2.向量加法的平行四边形法就：3.向量的加法的运算率：4.向量的减法：5.向量减法的平行四边形法就：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - -

6、 - - - - 6.向量数乘的概念：7.向量的数乘的性质：8.向量共线的条件：9.向量的线性运算10.向量证明三点共线：三角形的中线与重心公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【典型例题】题型一向量的加减法FDC例 1.下面给出的四个式子中,其中值不肯定为0 的是A. ABBCCAB. OAOCBOCOC. ABACBDCDD. NQQPMNMP例 2如下图, D、E、F 分别是 ABC 的边 AB 、BC、CA 的中点 , E就AFDB ABA. FDB. FCC. FED. BEc,试作出向量a+b+c ,

7、并求出题型二向量的作图例 3 已知在矩形ABCD 中,宽为2,长为 2 3 , ABa, BCb, AC其模的大小例 4.已知向量 a、b、c、 d,求作向量 a b、c d题型三 用已知向量表示未知向量例 5.如下图, OADB 是以向量 OA = a , OB = b 为边的平行四边形,O B M C NA D 又 BM=1BC,CN=1CD试用 a , b 表示 OM , ON , MN 33变式：设D、 E、F 分别为 ABC 的边 BC、 CA、 AB 的中点,且BC a,CA b,给出以下命题：名师归纳总结 AB 1 2 abBE a1 2 bCF 1 2 a1 2 bAD BE

8、CF 0.其中正确的命题个数为第 5 页,共 16 页A.1 B.2 C.3 D.4 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型四 向量的加减法综合运用例 6.设两个非零向量 1e 、e 不是平行向量 1假如 AB = e + 2e , BC =2 1e +8 e , CD =3 e 1 e 2 ,求证 A、 B、D 三点共线； 2试确定实数 k 的值,使 k 1e + e 和 1e + k 2e 是两个平行向量例 7.已知 O 是 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点 ,假设 AB =a, BC =b, OD =c,试证明 :c+a-b=OB .

9、综合练习：1.以下命题正确的有单位向量都相等 长度相等且方向相反的两个向量不肯定是共线向量假设 a,b 满意 |a|b|且 a 与 b 同向,就 ab对于任意向量 a、b,必有 |a+b| | a|+|b| 2. 以下四个命题中不正确的有假设 a 为任意非零向量,就a 0| a+b|=|a|+|b|a=b, 就|a|=|b|,反之不成立任一非零向量的方向都是惟一的3.已知|AB|6 |,AC|4,就| BC|的取值范畴为4. 设 AB + CD + BC + DA = a ,b 0 ,就在以下结论中,正确的有名师归纳总结 a b ; a + b = a ; a + b = b ; a + b

10、a + b 第 6 页,共 16 页5.化简 ABBCCDDA6.如图,在四边形ABCD 中,依据图示填空 :a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.3 平面对量2.3.1 平面对量基本定理【学问点归纳】1.平面对量的基本定理：2.向量的夹角：【典型例题】题型一基底的判定 例 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,就有A. e1、e2 肯定平行B.e1、e2 的模相等C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =e1+e2、R 题型二D.假设 e1、 e2 不共线,就同一平面内的任一向量 a 都有

11、 a =e1+ue2、uR 用基底表示向量例 2. 已知a=-e1+3e2, b= 4e1+2e2,其中 e1,e2 不共线,向量c=-3 e1+12e2,用试用 a,b 作为基底来表示 c题型三 向量的夹角例 3.已知两个非零向量 a,b 的夹角为 80 ,求以下向量的夹角： 1a 与-b 22a 与 3b练习：1.已知向量 a = e1-2e2, b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,就a+b 与 c =6e1-2e2 的关系名师归纳总结 A. 不共线B.共线C.相等D.无法确定 第 7 页,共 16 页2.已知向量 e1、e2 不共线,实数x、y 满意 3x-4ye1+2x-3y

12、e2=6e1+3e2,就 x-y 的值等于 A.3 B.-3 C.0 D.2 3.已知 a、b 不共线,且c =1a+2b1,2R,假设 c 与 b 共线,就 1= . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.3.2 平面对量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面对量的坐标运算2.3.4 平面对量的共线的坐标表示【学问点归纳】1.平面对量的正交分解：2.平面对量的坐标表示：3.平面对量的坐标运算：4.平面对量共线的表示：5.三点共线：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【典型例题

13、】题型一求向量的坐标B-2,2C4,6D-5,6E-2,-2F-5,-6例 1.已知点 A2,2在平面直角坐标系中,分别作出向量题型二 平面对量的坐标运算AC BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标；例 2 已知 a =2,1, b =-3 ,4,求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标 . 例 3 已知平面上三点的坐标分别为 成平行四边形四个顶点 . A 2, 1, B 1, 3, C3, 4,求点 D 的坐标使这四点构例 4 已知三个力F 13, 4,F 2,5,F3x, y的合力F +F +F = 0 ,求F 的坐标 . 练习：名师归纳总结 1假设 M3 , -

14、2 N-5 , -1 且MP1MN ,求 P 点的坐标第 9 页,共 16 页22假设 A0, 1 , B1 , 2 , C3 , 4 , 就 AB2 BC = .3、以下各组向量中,能作为表示它们所在平面内全部向量的基底是Aa0,0,b1,2Ba1,2,b5,7Ca3,5b6,10Da2,3 b4,6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4已知a3,2,b0,1,就2a4b 等于A 6 , 8 B 3 , 6 C 6 , 8 D 6 , 8 5已知平面对量 a ,1 2 ,b m , n ,且 2 a b,就 2 a 3 b 等于A 2 , 4 B 3

15、, 6 C 5 , 10 D 4 , 8 6. 已知 a 2,3,b 1,2,假设 ka b 与 a kb 平行,就 k 等于A. 1 B. -1 C.1 或-1 D.27.已知 a ,5 2 ,a 7 , 2 ,就 4 a 3 b 的坐标为 _. 8 . 已知 a 2, 4,b 1,3,c 6,5,p a 2 b c ,就以 a , b 为基底,求 p . 题型三 向量共线的证明及判定例 5.已知 A-1 , -1 , B1 ,3, C1, 5 ,D2,7 ,向量 AB 与 CD 平行吗？直线 AB 与平行于直线 CD 吗？题型四 向量共线求参数例 6 已知a4, 2,b6,y ,且a/b

16、,求 y 练习：名师归纳总结 1. 假设向量 a =-1 , x 与 b =-x , 2 共线且方向相同,就/x 为_. 第 10 页,共 16 页b ,求角2. 设a3,sin,bcos,1,0,2 ,且a23- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型五 三点共线例 2: 已知A 1, 1,B1,3,C2,5,求证 A 、 B 、 C 三点共线例 3:设点 P 是线段 P1P2 上的一点,P1、P2 的坐标分别是 x 1,y1,x 2,y 2. 1 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标；2 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,

17、求点 P 的坐标 . 练习：1.假设 a=2, 3, b =4,-1+y,且 ab,就 y=. A.6 B.5 C.7 D.8 2.假设 Ax,-1,B1,3,C2,5三点共线,就x 的值为A.-3 B.-1 C.1 D.3 x、y 轴正方向相同且为单位向量3.假设 AB =i+2j ,DC =3-xi +4-yj其中 i、 j 的方向分别与AB 与 DC 共线,就 x、y 的值可能分别为A.1, 2 B.2,2 C.3,2 D.2,4 4.已知 a=4, 2, b =6,y,且 ab,就 y= . 5.已知 a=1, 2, b =x, 1,假设 a +2 b与 2a -b平行,就 x 的值为

18、名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.4 平面对量的数量积2.4.1 平面对量数量积的物理背景及含义【学问点归纳】1.平面对量的数量级的概念：2.平面对量数量积的几何意义：3.向量数量积的性质：【典型例题】题型一平面对量数量积的基本概念；a b=0a=0或 b=0；假例 1. 给出以下命题：假设|a|=|b|,就 a=b 或 a=-b ；|a b|=|a|b|设 a b 且 b c,就 a c；其中正确命题的个数是 A0 B1 C2 D 3 题型二求向量的投影和数量积例 2.已知 |a |=5, |b |=4,

19、a 与 b 的夹角 =120o,求 a b . 练习： 1. 已知 a=1 ,-2 ,b=3 ,4 ,就 a 在 b 方向上的投影是 _ 2.已知 a , b ,当a b , a b , a 与 b 的夹角是 60时,分别求 a b . 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型三 求向量的模例 3.已知 |a |=6, |b |=4, a 与 b 的夹角为 60o求 a +2 b a -3 b 练习：1.已知 |a |=2,| b |=1, a 与 b 之间的夹角为,那么向量 m= a -4 b 的模为3A.2 B

20、.2 3 C.6 D.12 2.已知 |a |=1,|b |= 2 ,1假设 a b ,求 a b ；2 假设 a 、b 的夹角为 ,求| a + b |；3假设 a - b与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角 . 题型四 向量垂直的判定例 4.已知 |a |=3, |b |=4, 且 a 与 b 不共线, k 为何值时,向量题型五 求向量的夹角的余弦值a +k b 与 a -k b 相互垂直 . 名师归纳总结 例 5.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为 ,求向量a =2m+n 与 b =2n-3m 的夹角 . 第 13 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

21、 - - - - - 2.4.2 平面对量数量积的坐标表示、模、夹角【学问点归纳】1.平面对量的数量积的坐标表示2.平面对量的模的坐标表示3.平面对量的夹角的坐标表示平行,垂直【典型例题】题型一 向量数量积的坐标运算例 1.a=5,-7,b=-6,-4 ,求 a 与 b 的 数量积为 _ 例 2.已知 | a|=2 ,| b|=1 ,a 与 b 之间的夹角为3,那么向量m=a-4 b 的模为. A.2 B.23 C.6 D.12 题型二向量的夹角坐标运算例 3.设 a=2,1,b=1,3, 求 ab 及 a 与 b 的夹角例 4. 已知向量a=-2,-1,b= ,1 假设 a 与 b 的夹角为

22、钝角 , 就 取值范畴是多少名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型三 向量的垂直例 5. 已知 | a|=1 ,| b|=2 ,且 a- b 与 a 垂直,就 a 与 b 的夹角是垂直？A.603 bB.30 C.135 D.例 6. 已知,a1,2,b3,2,当 k 为何值时,1kab 与 a练习：1. 已知a 4,3,b5,6就3 a24a b= A.23 B.57 C.63 D.83 2. 已知 a 3,4 ,b= 5,12 就 a 与 b 夹角的余弦为A. B. 63 65 C. D. 13 1365 5

23、3. a= 2,3 ,b= 2,4,就 a+b a-b = _；4. 已知 a= 2,1 ,b=, 且 a b 就 _；5. a= 4,7;b=5,2 就 a b= _ a =_ 2a 3b a+2b = _ 6. 与 a= 3,4 垂直的单位向量是 _ A. B. 4 35 5 , （5 4,35）C.（ ,45 35）或（-45,）35 D. （4 35 5, 或 -45 ,-35 7. a=2,3,b=-3,5 就 a 在 b 方向上的投影为 _ 8.A1,2,B2,3,C2,0 所以 ABC为 A. 直角三角形 B.锐角三角形 C. 钝角三角形 D.不等边三角形9. 已知 A1,0,B

24、5,-2,C8,4,D.4.6 就四边形 ABCD为A. 正方形 B. 菱形 C.梯形 D. 矩形10. 已知点 A1,2,B4,-1, C坐标；问在 y 轴上找点 C,使 ABC90o假设不能,说明理由；假设能,求名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.5 平面对量应用举例【学问点归纳】1向量的在几何中的运用：【典型例题】例 1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形ABCD ABa ACb .求证：AC2BD2AB2BC2CD22 DA 变式训练：ABC中,D、E、F 分别是 AB 、BC、CA 的中点, BF 与 CD 交于点 O,设1证明 A 、O、E 三点共线；2用 a b 表示向量 AO ；例 2.求等腰直角三角形两腰上的中线所构成的钝角的余弦值 . 变式：已知ABC中,a2 ,b,3C600,求边长 c；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页