2017-2018学年高中数学苏教版必修四教学案：第1章 1.2 任意角的三角函数 .doc

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1、第1课时任意角的三角函数如图，直角ABC.问题1：如何表示角A的正弦、余弦、正切值？提示：sin A，cos A，tan A.问题2：如图，锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P(a，b)，作PMx轴，如何用图中的数据表示sin ，cos ，tan ？提示：PMx轴，OPM为直角三角形，|OP|，sin ，cos ，tan .在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r0)规定：三角函数定义定义域正弦sin R余弦cos R正切tan |k，kZ问题1：由三角函数的定义知sin 在什么条件下函数值为正？提示：的终边在第一、二象

2、限或y轴正半轴问题2：tan 在什么情况下为负数？提示：因tan ，则x、y异号为负数，即的终边在二、四象限为负数三角函数值在各象限内的符号，如图所示：如图，由单位圆中的三角函数的定义可知sin y，cos x，tan .问题：sin 是否等于PM的长？若不等，怎样才能相等？提示：不一定，可能等于PM的长，也可能等于PM长的相反数，把MP看成有向线段即可1有向线段规定了方向(即规定了起点和终点)的线段2有向线段数量根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量3单位圆圆心在原点，半径等于单位长度的圆4三角函数线设角的终边与单位圆的交

3、点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M.(1)则有向线段MP、OM就分别是角的正弦线与余弦线，即MPsin ，OMcos ；(2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角的终边或角终边的反向延长线交于点T，则有向线段AT就是角的正切线，即ATtan_.1三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关2三角函数值的符号，用角的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”3正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直的线段这些线段分别可以表示相应三角函数的值，它们是三

4、角函数的一种几何表示 例1已知角的终边上有一点P(3a,4a)(a0)，求2sin cos 的值思路点拨由三角函数的定义求三角函数时，应先确定终边位置由于含有参数a，而a的条件为a0，所以必须对a进行分类讨论精解详析x3a，y4a，r5|a|.当a0时，r5a，角为第二象限角，sin ，cos ，2sin cos 21.当a0时，r5a，角为第四象限角，sin ，cos ，2sin cos 21.一点通已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r，再由三角函数的定义求出三角函数值当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避

5、免漏解1角的终边过点P(8m，6cos 60)且cos ，则m的值是_解析：P(8m，3)，由cos 可得，解得m(m不合题意，舍去)答案：2已知角终边上点P(x,3)(x0)，且cos x，求sin ，tan .解：r，cos ，x .又x0，则x1.y30，在第一或第二象限当在第一象限时，sin ，tan 3.当在第二象限时，sin ，tan 3.3已知角的终边落在直线y2x上，求sin ，cos ，tan 的值解：(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1，2)，由r|OP|，得sin ，cos ，tan 2.(2)当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(1，2)，由r|O

6、Q| ，得sin ，cos ，tan 2. 例2确定下列式子的符号：(1)tan 108cos 305；(2)；(3)tan 191cos 191；(4)sin 3cos 4tan 5.思路点拨角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号精解详析(1)108是第二象限角，tan 1080.从而tan 108cos 3050，式子符号为负(2)是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角cos 0，tan 0.从而0.式子符号为正(3)191是第三象限角，tan 1910，cos 1910.式子符号为正(4)3，4，50，cos 40，

7、tan 50.式子符号为正一点通对于已知角，判断的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理4判断下列各式的符号：(1)sin 105cos 230；(2)cos 3tan.解：(1)105、230分别为第二、第三象限角，sin 1050，cos 2300.于是sin 105cos 2300.(2)3，3是第二象限角，cos 30，又是第三象限角，tan0，cos 3tan0.5已知sin tan 0，则是第几象限角？解：sin tan 0，或当sin 0，且tan 0时，为第一象限角；当sin 0，且tan MP，符号相同sinsin，

8、OMOM，符号相同coscos，ATAT，符号相同tansin 1.2sin 17利用三角函数线，求满足下列条件的角x的集合(1)sin x；(2)cos x.解：(1)利用角x的正弦线，作出满足sin x的角x的终边所在位置的范围如图(1)的阴影部分，由图形得角x的集合为.(2)利用角x的余弦线，作出满足cos x的角x的终边所在位置的范围，如图(2)的阴影部分，由图形得角x的集合为.1准确理解三角函数的定义根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数定义中的是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有

9、意义，其值就是唯一的2确定三角函数的符号根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y、横坐标x的符号；正切值则是纵坐标y、横坐标x同号时为正，异号时为负3三角函数线的应用三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小课下能力提升(三)一、填空题1若是第三象限角，则_.解析：是第三象限角，sin 0，cos 0，1(1)0.答案：02有下列命题：(1)若sin 0，则是第一、二象限的角；(2)若是第一、二象限角，则sin 0；(3)三角函数线不能取负值；(4)若是第二象

10、限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos .其中正确的序号是_解析：只有(2)正确；sin 10，但不是第一、二象限角，(1)不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，(3)不正确；(4)应是cos (是第二象限角，已有xtan ；sin sin .其中判断正确的有_解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sin sin ，coscos ，tan sin ，正确答案：二、解答题6已知角的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，若角终边过点P(，y)，且sin y(y0)，判断角所在的象限，并求cos 的值解：依题意，P到原点O的距离r|OP|.sin y.y0，93y216

11、.y2，y.点P在第二或第三象限，且cos .7已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解：角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5|t|，当t0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，sin ，cos ，tan ；或sin ，cos ，tan .8已知0, cos OM0，tan AT0，由图知OMMPAT，即cos sin 0，是第一或第四象限角当是第一象限角时，sin ，tan ；当是第四象限角时，sin .tan .4保持本例(2)的条件不变，求

12、4sin23sin cos 5cos2的值解：4sin23sin cos 5cos21. 例2化简：.思路点拨采用切化弦，减少函数种类，以达到化简的目的精解详析原式 sin sin tan .一点通化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的5._.解析：cos .答案：cos 6化简的值为_解析：原式1.答案：17若2，化简： .解：2，0cos 1，1sin 0，

13、原式 . 例3求证：sin (1tan )cos .思路点拨从较复杂的一边入手，采用切化弦的方式，即把左边的正切值用tan 替换精解详析左边sin cos sin cos 右边原式成立一点通证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：(1)从一边开始证明它等于另一边；(2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式8求证：.证明：法一：右边左边，原式成立法二：左边右边，原式成立9求证：.证明：左边右边原等式成立1对同角三角函数的基本关系式的理解“同角”有两层含义，一是“角相同”，如sin2 cos2 1就不一定成立；二是对“任意”

14、一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关如：sin23cos231，tan.2同角三角函数的基本关系式的应用(1)应用同角三角函数关系式时，应灵活选择和使用如cos21sin2 ，sin21cos2 ，cos ，sin tan cos 等，上述关系都必须在定义域允许的范围内才成立(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外的三角函数值，且因为利用“平方”关系公式，最终需求平方根，会出现两解，所以要注意角所在的象限这类问题通常会出现以下这几种情况：如果已知三角函数值，且角的象限已被指定，那么只有一组解；如果已知三角函数值，但没有指定角所在的象限，那么先由三角函数值确定

15、角所在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角所在的象限，则需要分类讨论课下能力提升(四)一、填空题1已知sin ，cos ，则m_.解析：sin2cos21，221.即(m3)2(42m)2(m5)2，4m232m0.m0或m8答案：0或82若2，则tan _.解析：2，2.tan 14tan 2即3tan 3，tan 1.答案：13化简：cos4sin2cos2sin2_.解析：cos4sin2cos2sin2cos2(cos2sin2)sin2cos2sin21.答案：14已知tan m()，则sin _.解析：tan m，.m0且sin

16、 0.又tan2m2.sin2.sin 0，sin .答案：5若角的终边在直线xy0上，则_.解析：.又角的终边落在xy0上，故角的终边在第二、四象限当在第二象限时，原式0，当在第四象限时，原式0.答案：0二、解答题6已知tan x2，求：(1)的值；(2)sin2xcos2x的值解：(1)3.(2)sin2xcos2x.7求证：.证明：法一：左边，右边，而sin21cos2，故左边右边，原式成立法二：0，.8已知x0，sin xcos x.求sin xcos x的值解：法一：由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，即2sin xcos x，(sin xcos

17、 x)212sin xcos x.又x0，sin x0，sin xcos x0，sin xcos x.法二：联立方程由得sin xcos x，将其代入，整理得25cos2x5cos x120，解得cos x，或cos x.x0，为第三象限角，可知角75为第四象限角，则有sin(75) .cos(105)sin(105).第4课时三角函数的诱导公式五六如图，设角，的终边分别与单位圆交于P1，P2，P3.问题1：若点P1的坐标为(x，y)，那么P2，P3的坐标分别是什么？提示：P2(y，x)，P3(y，x)问题2：你能根据P1，P2，P3的坐标间的关系得出，的三角函数之间的关系吗？提示：根据三角函

18、数的定义可求出，的三角函数值，从而可推出它们之间的关系诱导公式角的终边间关系公式公式五角的终边关于yx对称sincos_cossin_公式六的终边与的终边关于y轴对称sincos_cossin_诱导公式五六的巧记方法的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号看象限” 例1化简：.思路点拨充分利用诱导公式及同角三角函数的基本关系进行化简精解详析tan(3)tan ，sin()sin ，sin(2)sin ，cos(2)cos ，sincos ，coscoscoscossin ，sincos ，

19、原式1.一点通(1)本题化简主要采用“异角化同角，导名化同名”的解题策略(2)注意同角三角函数关系的应用，如sin2cos21，tan 等1化简sin()cossincos()_.解析：原式(sin )sin cos (cos )(sin2cos2)1.答案：12化简：_.解析：原式tan .答案：tan 3已知为第三象限角，f().(1)化简f()；(2)若cos，求f()的值解：(1)f()cos .(2)由于coscoscoscossin ，所以sin .又是第三象限角，所以cos ，故f()cos . 例2若sin ，求的值思路点拨可利用诱导公式首先把所求式进行化简，使化简的结果与已知

20、条件sin 建立联系，最后求得数值精解详析 .sin ，10.即原式10.一点通(1)利用公式五、六化简时一定要注意符号的准确性及名称的变化(2)求值时整体把握角与角之间的相互关系及恒等变形，这是常用的解题策略4若cos，则sin(3)_.解析：cos，sin ，即sin .sin(3)sin()sin .答案：5已知1，求的值解：tan 1.1.6已知cos，求cossin的值解：因为coscoscos，sinsincos.cossin0. 例3求证：tan .思路点拨解答本题可直接把左边利用诱导公式进行化简推出右边精解详析左边tan 右边原等式成立一点通利用诱导公式证明等式问题，关键在于公

21、式的灵活运用，其主要思路是利用诱导公式化同角后，利用同角三角函数关系进行化简证明，可从左边推得右边，也可从右边推得左边7已知ABC的三个内角分别为A，B，C，求证：sincos.证明：ABC，BCA.sinsincos.8求证：.证明：左边.右边.左边右边，故原式成立1利用诱导公式解决条件求值问题的基本思路化简条件三角代数式的常见思路有：(1)若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；(2)若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；(3)若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止2利用诱导公式证明三角恒等式(1)三角函数式证明的过程也是化简的过程，它是一个经历多次化归，由负角变正角，由大角变小角，一直变到090角的过程对同一角的化归方式可以多种多样(2)证明条件等式，一般有两种方法：一是从被证等式一边推向另一边的适当时候，将条件代入，推出被证式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法课下能力提升(六) 一、填空题1化简sin()cos(2)的结果为_解析：原式(sin )cos()(sin )co