2017-2018学年高中数学苏教版必修四教学案：第2章 2.2 向量的线性运算 .doc

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1、第1课时向量的加法在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处，如图所示它的实际位移，可以看作水平运动的分位移与竖直运动的分位移的合位移问题1：根据物理中位移的合成与分解，你认为，之间有什么关系？提示： .问题2：与之间有什么关系？提示：.问题3：向量，之间有什么关系？提示： .1向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法2向量加法的运算法则(1)三角形法则：已知向量a和b，在平面内任取一点O，作a，b，则向量 叫做a与b的和，记作ab，即ab .(2)平行四边形法则：已知两个不共线的非零向量a，b，作a，b，以 ， 为邻边作OABC，则以O为起点的对角线上的向量 ab，如图这个法则叫做

2、两个向量求和的平行四边形法则问题1：如图，ab；同理ba.由此你能得出什么结论？提示：abba.问题2：如图，abc；a(bc)；(ab)c.由此你又能得出什么结论？提示：abca(bc)(ab)c.向量加法的交换律和结合律(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)；(3)a00aa；(4)a(a)(a)a0.1向量加法的三角形法则是从位移求和引出的，使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，当两个向量平行(或共线)时，三角形法则同样适用2向量加法的平行四边形法则是从力的合成引出的，使用该法则关键是将向量a，b的起点移到同一点A，并以

3、a，b为邻边作平行四边形ABCD，则向量即为ab. 例1化简下列各式：(1) ；(2)()；(3).思路点拨多个向量相加，可以利用向量加法的三角形法则求解，也可直接运算精解详析(1)()0；(2)()()()；(3).一点通在进行向量加法运算时，利用运算律转化为“顺次首尾相接的形式相加”，即的形式，计算简捷且不易出错1在平行四边形ABCD中，_.解析：().答案： 2下列各式中结果为0的是_；.解析：原式0；原式()()0；原式()()0.原式()()0.故符合答案：3化简或计算：(1)；(2).解：(1)().(2)()()0.例2已知四边形AECF是平行四边形，B，D是对角线EF上的两点，

4、且FDEB(如图所示)求证：四边形ABCD是平行四边形思路点拨要证明四边形ABCD是平行四边形，可证明或.精解详析四边形AECF是平行四边形，FCAE，FCAE，又，方向相同，DFEB，且在一条直线上，与方向相同，ABDC，ABDC，四边形ABCD是平行四边形一点通解决此类问题应注意以下两点：(1)要注意向量加法的三角形法则及平行四边形法则的应用条件；(2)要注意方向相同且长度相等的有向线段所表示的向量是相等向量4.如图，正六边形ABCDEF中，_.解析：由于，故.答案： 5在正六边形ABCDEF中，a，b，求，.解：如图所示，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF和四

5、边形ABCO均为平行四边形根据向量的平行四边形法则，有ab，故有22a2b.在平行四边形ABCO中，aab2ab.而ab，由三角形法则得baba2b. 例3小雨滴在无风时以4 m/s的速度匀速下落一阵风吹来，使得小雨滴以3 m/s的速度向东移动那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何 ？(提示：tan 37)思路点拨根据题意作出示意图，然后利用向量解决精解详析法一：如图，设表示小雨滴无风时下落的速度，表示风的速度，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则就是小雨滴实际飞行的速度在RtOAC中，|4 m/s，|3 m/s，所以|5 m/s.且tan AOC，即AOC37.所以小雨滴实际飞行速度为

6、5 m/s，方向约为东偏南53.法二：如图，设表示小雨滴无风时下落的速度，表示风的速度，以OA，AB为两边作三角形OAB，则就是小雨滴实际飞行的速度在RtOAB中，|4 m/s，|3 m/s，所以|5 m/s.所以tan AOB，即AOB37.所以小雨滴实际飞行的速度为5 m/s，方向约为东偏南53.一点通利用向量解题，其关键是通过向量的运算建立向量与未知量的关系，然后求解并作出实际回答，解决时要注意作图的准确性6一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，船在静水中的航速为4 km/h，该船要从河的一边驶向对岸，为使行程最短，应怎样安排行驶方向？用时多少？解：如图，设为水流速度，为最大航速，

7、以AC和AD为邻边作平行四边形ACBD.根据题意ACAB，在RtABD和平行四边形ACBD中，|2，|4，ABD90，所以|2，sin BAD，所以BAD30.设所用时间为t(h)，则t(h)答：船沿着与水流方向成120的方向行驶可使行程最短，用时0.5小时7在日本“311”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置解：如图所示，设、分别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的合位移即，在Rt ABD中，|20 km，|20 km ，在RtACD中，|40 km，CAD60，即此时直升飞机位于A地

8、北偏东30，且距离A地40 km处向量加法法则的应用对于向量求和的三角形法则与平行四边形法则，要注意它们的应用条件当两个向量不共线时，它们是一致的但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义用三角形法则求两个向量和的步骤是：第一步：将其中一个向量平移，使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重合；第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和课下能力提升(十四)一、填空题1化简：_.解析：.答案： 2若|a|8，|b|5，则|ab|的取值

9、范围是_解析：当a与b同向时，|ab|取最大值13；当a与b反向时，|ab|取最小值3.答案：3,133设a()()，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号是_ababaabb|ab|0时，a与a方向相同；当1时)，也可以缩小(当|0时)，也可以改变a的方向(当|.又|，四边形ABCD是等腰梯形答案：等腰梯形5.如图所示，已知D，E分别为ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DMCD，延长BE至N使BEEN，求证：M，A，N三点共线证明：D为MC的中点，且D为AB的中点，.同理可证明.，共线且有公共点A，M，A，N三点共线. 例3如图所示，已知OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对

10、称点，D是把分成21的一个内分点，DC和OA交于E，设a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值思路点拨由已知得A为BC中点，D为OB的三等分点，由向量的线性运算法则可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决精解详析(1)依题意，A是BC中点，2，即22ab，2abb2ab.(2)若，则a(2ab)(2)ab.与共线存在实数k，使k.(2)abk，解得.一点通利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决6

11、如图，已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：4.证明：在OAE中，同理，以上各式相加，得4.7如图，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若a，b，试用a，b表示和.解：法一：连接CN.ANDC，且ANDCAB，四边形ANCD为平行四边形b.0，ba，ab.法二：在梯形ABCD中，有0，即a(a)(b)0.可得ba.在四边形ADMN中，有0，即ba(a)0，可得ab.1向量数乘的基本运算应注意的问题(1)实数与向量的积的运算问题，必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算；(2)实数与向量的积的运算，类似于实数与多项式的运算；(3)含

12、向量的方程，一定要弄清未知量是实数还是向量2向量共线定理的应用向量共线一般用向量共线定理来判定或证明，利用向量共线可证明几何中的三点共线和两直线平行证明三点共线往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线证两线平行，只需找到一个非零实数，使两线所在的向量满足某线性关系即可这一切都建立在向量共线定理的基础之上因此向量共线定理是解此类问题的根本课下能力提升(十六)一、填空题1若|a|3，b与a反向，|b|2，则a_b.解析：|a|3，|b|2，|a|b|.又b与a反向，ab.答案：2化简：_.解析：(a4b4a2b)(3a6b)a2b.答案：a2b3点C在线段AB上，且，若，则_.解析：，

13、ACCB，与方向相同，故.答案：4如图，在ABCD中，a，b，AN3NC，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：()(ba)答案：(ba)5在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则_.解析：，又a，b，ab.答案：ab二、解答题6设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，求k的值解：e13e22e1e24e2e1，2e1ke2，因为A，B，D三点共线，所以.设，所以k8.7如图，设D，E，F分别是ABC的边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，用表示.解：因为()，.从而.8.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上一点，且，若a，b，试用a、b表示.解：法一：分别取AE、BF的中点G、H，则有0，又，且，两式相加，得(b)，即2b，同理(a)所以2b(a)，解得ab.法二：，.由，知2；2.2，得2222，得32a2b，ab.