2022年最新高中数学圆的方程典型例题总结归纳 .pdf

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1、精品文档精品文档高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例 1 求过两点)4,1 (A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax圆心在0y上，故0b圆的方程为222)(ryax又该圆过)4,1(A、)2,3(B两点22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r所以所求圆的方程为20

2、)1(22yx解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C半径204) 11 (22ACr故所求圆的方程为20)1(22yx又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254) 12(22点P在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如

3、何来判定直线与圆的位置关系呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线解： 点42，P不在圆O上，切线PT的直线方程可设为42xky根据rd21422kk解得43k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档所以4243xy即01043yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为2x说明： 上述解题过程容易漏解斜率

4、不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决（也要注意漏解）还可以运用200ryyxx，求出切点坐标0 x、0y的值来解决， 此时没有漏解类型三：弦长、弧问题例 9、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3d，故弦长2222drAB，从而 OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3AOB. 类型四：直线与圆的位置关系.例 13 圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答解法一： 圆9)3()3(2

5、2yx的圆心为)3,3(1O，半径3r设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d如图，在圆心1O同侧，与直线01143yx平行且距离为1的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意又123dr与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求直线为043myx，则1431122md，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2

6、 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档511m，即6m，或16m，也即06431yxl ：，或016432yxl ：设圆9)3()3(221yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221d，143163433222d1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点即符合题意的点共3 个说明： 对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d圆1O到01143yx距离为 1 的点有两个显然，上述误解中的d是圆心到直线01143yx的距离，rd，只能说

7、明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断类型五：圆与圆的位置关系例 15：圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有条。解：圆1)1(22yx的圆心为)0 , 1(1O，半径11r，圆4)2(22yx的圆心为)2,0(2O， 半径22r， 1, 3,5122121rrrrOO.212112rrOOrr，两圆相交 .共有 2 条公切线。类型六：圆中的对称

8、问题例 17自点33，A发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆074422yxyxC：相切（1）求光线l和反射光线所在的直线方程（2）光线自A到切点所经过的路程分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为33，其次设过A的圆C的切线方程为33xkyG O B N M y A x 图C A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档根据rd，即求出圆C的切线

9、的斜率为34k或43k进一步求出反射光线所在的直线的方程为0334yx或0343yx最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为0334yx或0343yx光路的距离为MA，可由勾股定理求得7222CMCAMA说明： 本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解类型七：圆中的最值问题例 19(1)已知圆1)4()3(221yxO：，),(yxP为圆O上的动点， 求22yxd的最大、最小值(2)已知圆1)2(222yxO ：，),(yxP为圆上任一点求12xy的最大、最小值，求yx2的最大、最小值分析： (1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解： (1)

10、(法 1)由圆的标准方程1)4()3(22yx可设圆的参数方程为,sin4,cos3yx（是参数）则2222sinsin816coscos69yxd)cos(1026sin8cos626（其中34tan） 所以361026maxd，161026mind(法 2)圆上点到原点距离的最大值1d等于圆心到原点的距离1d加上半径1， 圆上点到原点距离的最小值2d等于圆心到原点的距离1d减去半径1所以6143221d4143222d所以36maxd16mind(2) (法 1)由1)2(22yx得圆的参数方程：,sin,cos2yx是参数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

11、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档则3cos2sin12xy令t3cos2sin，得tt32cossin，tt32)sin(121)sin(1322tt433433t所以433maxt，433mint即12xy的最大值为433，最小值为433此时)cos(52sin2cos22yx所以yx2的最大值为52，最小值为52(法 2)设kxy12，则02kykx由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值由11222kkkd，

12、得433k所以12xy的最大值为433，最小值为433令tyx2，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值由152md，得52m所以yx2的最大值为52，最小值为52类型九：圆的综合应用例 25、 已知圆0622myxyx与直线032yx相交于P、Q两点，O为原名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档点，且OQOP，求实数m的值分 析 ： 设P、Q两 点 的 坐 标 为),(11yx、),(22yx，

13、 则 由1OQOPkk， 可 得02121yyxx，再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为xy，由直线l与圆的方程构造以xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OQOPkk的值，从而使问题得以解决解法一： 设点P、Q的坐标为),(11yx、),(22yx一方面，由OQOP，得1OQOPkk，即12211xyxy，也即：02121yyxx另一方面，),(11yx、),(22yx是方程组0603222myxyxyx的实数解，即1x、2x是方程02741052mxx的两个根221xx，527421mxx又P、Q在直线032yx上，)(3941)3(21)3(21212

14、12121xxxxxxyy将代入，得51221myy将、代入，解得3m，代入方程，检验0成立，3m解法二： 由直线方程可得yx23，代入圆的方程0622myxyx，有0)2(9)6)(2(31222yxmyxyxyx，整理，得0)274()3(4)12(22ymxymxm由于0 x，故可得012) 3(4)(274(2mxymxymOPk，OQk是上述方程两根故1OQOPkk得127412mm，解得3m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - -

15、 - - - - - 精品文档精品文档经检验可知3m为所求说明： 求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于xy的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感例 26、已知对于圆1) 1(22yx上任一点),(yxP，不等式0myx恒成立，求实数m的取值范围分 析 一 ： 为了 使 不 等式0myx恒 成立 ， 即 使myx恒 成 立 ，只 须 使myxmin)(就行了因

16、此只要求出yx的最小值，m的范围就可求得解法一： 令yxu，由1) 1(22yxuyx得：0)1(2222uyuy0且228)1(4uu，0) 12(42uu即0)122uu，2121u，21minu，即21)(minyx又0myx恒成立即myx恒成立myx21)(min成立，12m分析二： 设圆上一点)sin1,(cosP因为这时P点坐标满足方程1)1(22yx问题转化为利用三解问题来解解法二： 设圆1)1(22yx上任一点)sin1,(cosP)2,0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

17、- - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档cosx，sin1y0myx恒成立0sin1cosm即)sincos1 (m恒成立只须m不小于)sincos1 (的最大值设1)4sin(21)cos(sinu12maxu即12m说明：在这种解法中， 运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆222)()(rbyax上的点设为)sin,cos(rbra()2,0)采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -