2022年必修一数学第一章集合与函数的概念.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 课题: 1.1.1（一）集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判定一个给定的东西是否属于这个总体；2.一般地,争论对象统称为元素 （element）,一些元素组成的总体叫集合 （set）,也简称 集；3.关于集合的元素的特点x 是某一个详细对象,就或者是A 的元素,（1）确定性： 设 A 是一个给定的集合,或者不是 A 的元素,两种情形必有一种且只有一种成立；（2）互异性： 一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体（对象）,因此,同一集合中不应重复显现同一元素；（3

2、）集合相等：构成两个集合的元素完全一样4. 元素与集合的关系；（1）假如 a 是集合 A 的元素,就说a 属于（ belong to） A,记作 aA 5.（2）假如 a 不是集合 A 的元素,就说a 不属于（ not belong to ）A,记作 aA（或a A ）（举例）常用数集及其记法非负整数集（或自然数集）,记作 N 正整数集,记作N*或 N+；整数集,记作Z 有理数集,记作Q 实数集,记作R （二）集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来许多不便,除此之外仍 常用列举法和描述法来表示集合；（1）列举法： 把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；如： 1

3、,2,3, 4,5 , x 2,3x+2 ,5y 3-x,x 2+y 2 , , ；1）例 1（课本例 摸索 2,引入描述法 说明：集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的次序；（2）描述法： 把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号 内；详细方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特点；如： x|x-32 ,x,y|y=x 例 2（课本例 2）2+1 , 直角三角形 , , ；说明：（课本 P5 最终一段）摸索 3：（课本 P6 摸索）强调： 描述法表示集合应留意集合的 代表元素 x,

4、y|y= x 2+3x+2 与 y|y= x 2+3x+2 不 同,只要不引起误会,集合的代表元素也可省略,例如： 整数 ,即代表整数集 Z；辨析： 这里的 已包含“ 全部” 的意思,所以不必写 R 也是错误的； 全体整数 ；以下写法 实数集 ,说明：列举法与描述法各有优点,应当依据详细问题确定采纳哪种表示法,要注 意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采纳列举法；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课题: 1.1.2 集合间的基本关系（一）集合与集合之间的“ 包含” 关系；A=1 ,2,3 ,B=1 ,2,3

5、,4 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集合B 包含集合 A ；假如集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素, 我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集（ subset）；记作：AB 或BA 读作： A 包含于（ is contained in）B,或 B 包含（ contains）A 当集合 A 不包含于集合B 时,记作 A B 用 Venn 图表示两个集合间的“ 包含” 关系AB 或BA B A AB（二）集合与集合之间的“ 相等” 关系；AB 且BA,就AB中的元素是一样的,因此AB即ABBA结论：任何一个集合是它本身的子集（三）真子集的概念,存在元素

6、xB 且xA,就称集合A 是集合 B 的真子集（ proper 如集合ABsubset）；记作： A B（或 BA ）读作： A 真包含于 B（或 B 真包含 A ）举例（由同学举例,共同辨析）（四）空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set）,记作：规定：空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集；名师归纳总结 （五）结论：（ 2 ）化简集合第 2 页,共 12 页1AA2AB,且BC,就AC（六）例题（ 1）写出集合a , b 的全部的子集,并指出其中哪些是它的真子集；A=x|x-32,B=x|x5 ,并表示 A、B 的关系；- - - - - - -

7、精选学习资料 - - - - - - - - - 课题：1.1.3 集合的基本运算1.并集A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与 B 的 并一般地, 由全部属于集合集（ Union）记作： A B 读作：“ A 并 B”即：A B=x|x A,或 x B Venn 图表示：A . B AB 说明：两个集合求并集,结果仍是一个集合,是由集合（重复元素只看成一个元素）；例题（ P9-10 例 4、例 5）A 与 B 的全部元素组成的集合说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示；问题：在上图中我们除了争论集合A 与 B 的并集外,它们的公共部分（即问号部分

8、）2.仍应是我们所关怀的,我们称其为集合A 与 B 的交集；A 与 B 的交集交集B 的元素所组成的集合,叫做集合一般地,由属于集合A 且属于集合（intersection）；记作： A B 读作：“ A 交 B”即：AB=x| A,且 xB 交集的 Venn 图表示说明： 两个集合求交集,结果仍是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合；例题（ P9-10 例 6、例 7）拓展：求以下各图中集合A 与 B 的并集与交集A B B A AB A B A B 说明： 当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集名师归纳总结 3.补集第 3 页,共 12 页

9、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 全集： 一般地, 假如一个集合含有我们所争论问题中所涉及的全部元素,那么就称这个集合为 全集（ Universe）,通常记作 U；补集：对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中全部不属于集合 A 的全部元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集（ complementary set）,简称为集合 A 的补集,记作： CUA 即： CUA=x|x U 且 xA 补集的 Venn 图表示UACUA说明：补集的概念必需要有全集的限制例题（ P12 例 8、例 9）4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结

10、果仍旧仍是集合,区分交集与并集的关键是“ 且” 与“ 或”,在处理有关交集与并集的问题时,经常从这两个字眼动身去揭示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方 法；5.集合基本运算的一些结论：=,A B=B A ABA, A BB, A A=A ,A AA B, BA B, A A=A ,A =A,A B=B A （CUA） A=U ,（CUA） A= 如 AB=A ,就 A B,反之也成立 如 AB=B ,就 A B,反之也成立 如 x（ A B）,就 x A 且 xB 如 x（ A B）,就 x A,或 x B 6.课堂练习 （1）设 A= 奇数 、B

11、= 偶数 ,就 AZ=A ,BZ=B ,AB=（ 2）设 A= 奇数、B=偶数,就AZ=Z,BZ=Z,A3集合An|nZ ,Bm|m21Z,就AB_2B=Z4集合Ax|4x2 ,Bx|1x3 ,Cx|x0,或x52那么ABC_,ABC_;一、 归纳小结（略）二、作业布置 1、 书面作业： P13习题 1.1,第 6-12 题 2、 提高内容：名师归纳总结 （1）已知 X=x|x 2+px+q=0 ,p2-4q0,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10,且第 4 页,共 12 页XA,XBX,试求 p、q；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）集

12、合 A=x|x 2+px-2=0,B=x|x2-x+q=0, 如 AB=-2 ,0,1 ,求 p、q；（3）A=2 ,3,a2+4a+2 ,B=0 ,7, a2+4a-2,2-a ,且 AB =3 ,7 ,求 B 课题：1.2.1 函数的概念三、新课教学（一）函数的有关概念1函数的概念：设 A 、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应, 那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B的一个 函数（ function ）记作：y=fx ,x A其中, x 叫做 自变量 ,x 的取值范畴A 叫做函数的 定义

13、域（ domain）；与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 ,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的 值域（ range）留意：1“ y=fx ” 是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=gx ” ；2 函数符号“y=fx ” 中的 fx 表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x2 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示4一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域争论（由同学完成,师生共同分析讲评）（二）典型例题1求函数定义域 课本 P20例 1 解：（略）说明：1 函数的定

14、义域通常由问题的实际背景确定,假如课前三个实例；2 假如只给出解析式 y=fx ,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这 个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式巩固练习：课本 P22 第 1 题2判定两个函数是否为同一函数 课本 P21 例 2 解：（略）说明：1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决 定的, 所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）名师归纳总结 2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数第 5 页,共 12 页- - - - -

15、- -精选学习资料 - - - - - - - - - 值的字母无关；巩固练习：1 课本 P22第 2 题2 判定以下函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数,说明理由？0；g x = 1 （1）f x = x 1 （2）f x = x ； g x = x 2（3）f x = x 2；f x = x + 1 22（4）f x = | x | ； g x = x（三）课堂练习 求以下函数的定义域（1）fx14x51x|x|（2）fx111 x（3）fxx2（4）4x2fxx10x1fx x26（5）（6）fx1xx3 1.2.2 映射四教学思路（一）创设情形,揭示课题 复习中学常见的对应关系

16、1对于任何一个实数 a ,数轴上都有唯独的点 p 和它对应；2对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯独的有序实数对（3对于任意一个三角形,都有唯独确定的面积和它对应；,x y ）和它对应；4某影院的某场电影的每一张电影票有唯独确定的座位与它对应；5函数的概念（二）研探新知1我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,如将其中的条件“ 非空 数集” 弱化为“ 任意两个非空集合”,依据某种法就可以建立起更为一般的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射（板书课题）2先看几个例子,两个集合（1）开平方；（2）求正弦；A、B 的元素之间的一些对应关系：名师归纳总结 - - - - - - -第 6

17、页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）求平方；（4）乘以 2归纳引出映射概念：一般地, 设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f ,使对于集合 A中的任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记作“f ： AB”说明：（1）这两个集合有先后次序,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的,其中 f 表示详细的对应法就,可以用多种形式表述（2）“ 都有唯独” 什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思（三）质疑

18、答辩,排难解惑,进展思维例 1以下哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射？（1）A= P P 是数轴上的点 ,B=R,对应关系 f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2） A= P P 是平面直角坐标中的点 ,B , | x R y R , 对应关系 f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3） A= 三角形 ,B= x x是圆 , 对应关系 f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A= x x 是新华中学的班级 ,B x x是新华中学的同学 , 对应关系 f ：每一个班级都对应班里的同学摸索：将（ 3）中的对应关系 f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系 f 改

19、为：每一个同学都对应他的班级,那么对应 f ：BA 是从集合 B 到集合 A 的映射吗？例 2在下图中,图（1）,（2）,（3）,（ 4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法就,是不是映射？是不是函数关系？名师归纳总结 A 开平方B A 求正弦B 1第 7 页,共 12 页9 3 0 303 24 2 0 4522 1 21 0 6031 0 9021 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）（ 2）A 求平方B A 乘以 2 B 1 1 1 1 （ 4）1 2 2 4 2 9 2 3 3 4 3 3 5 （ 3）6 （四）巩固深化,反馈矫正

20、1、画图表示集合 A 到集合 B 的对应（集合 A, B 各取 4 个元素）已知：（1）A 1,2,3,4 , B 2,4,6,8,对应法就是“ 乘以 2”；（2） A= x x 0 ,B=R ,对应法就是“ 求算术平方根”；（3）A x x 0 , B R,对应法就是“ 求倒数”；（4）A |0 090 0, B x x 1 , 对应法就是“ 求余弦”2在下图中的映射中,A 中元素 60 0 的象是什么？ B 中元素 2 的原象是什么？2A 求正弦 B 0 130 245020260390021 （五）归纳小结提出问题： 怎样判定建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射,你能归纳出几个“

21、 标准” 呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是 A 集合中的元素都要有象,但 B中元素未必要有原象；二条是 A 中元素与 B 中元素只能显现“ 一对一” 或“ 多对一” 的对应形式名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （六）设置问题,留下悬念1由同学举诞生活中两个有关映射的实例2已知 f 是集合 A 上的任一个映射,试问在值域 都是唯独的？为什么？f A 中的任一个元素的原象,是否3已知集合Aa b,B1,0,1 ,从集合 A 到集合 B 的映射,试问能构造出多少映射？课题：1.3.1函数的单调性四、新课

22、教学（一）函数单调性定义1增函数一般地,设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1x 2时,都有fx 1fx 2,那么就说 fx 在区间 D 上是 增函数（ increasing function ）摸索 ：仿照增函数的定义说出 留意：减函数 的定义（同学活动）1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；2 必需是对于区间 D 内的 任意 两个自变量 x 1,x2；当 x1x 2时, 总有 fx1fx 2 2函数的单调性定义假如函数 y=fx 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=fx 在这

23、一区间具有（严格的）单调性 ,区间 D 叫做 y=fx 的单调区间 ：3判定函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 fx 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：1 任取 x1,x2D,且 x1x2；2 作差 fx 1fx 2；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判定差 fx 1fx 2的正负）；5 下结论（即指出函数 fx 在给定的区间 D 上的单调性） （二）典型例题例 1（教材 P34 例 1）依据函数图象说明函数的单调性解：（略）巩固练习：课本 P38 练习第 1、2 题例 2（教材 P34 例 2）依据函数单调性定义证明函数的单调性解：（略）巩固练习：1 课本 P38练习第

24、3 题；2 证明函数 y x 1在（ 1,+）上为增函数x例 3借助运算机作出函数 y =x 2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间解：（略）名师归纳总结 摸索： 画出反比例函数y1的图象第 9 页,共 12 页x1这个函数的定义域是什么？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论说明： 本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象五、归纳小结,强化思想 函数的单调性一般是先依据图象判定,再利用定义证明画函数图象通常借助运算机,求函数的单调区间时必需要留意函数的定义域,单调性的证明一般分五步：

25、取 值 作 差 变 形 定 号 下结论课题：1.3.1 函数的最大（小）值六、新课教学（一）函数最大（小）值定义1最大值一般地,设函数y=fx 的定义域为I ,假如存在实数M 满意：（1）对于任意的xI ,都有 fx M ；（2）存在 x 0I ,使得 fx0 = M 那么,称 M 是函数 y=fx 的最大值（ Maximum Value ）摸索 ：仿照函数最大值的定义,生活动）留意：给出函数 y=fx 的最小值（Minimum Value ）的定义（学1 函数最大（小）第一应当是某一个函数值,即存在 x0I ,使得 fx0 = M ；2 函数最大（小）应当是全部函数值中最大（小）的,即对于任

26、意的 xI,都有 fxM （ fx M ）2利用函数单调性的判定函数的最大（小）值的方法1 利用 二次函数 的性质（ 配方法 ）求函数的最大（小）值2 利用 图象 求函数的最大（小）值3 利用 函数单调性 的判定函数的最大（小）值假如函数 y=fx 在区间 a,b上单调递 增 ,在区间 b,c上单调递 减就函数 y=fx 在 x=b处有 最大值 fb ；假如函数 y=fx 在区间 a,b上单调递 减 ,在区间 b,c上单调递 增就函数 y=fx 在 x=b处有 最小值 fb ；（二）典型例题例 1（教材 P36 例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值解：（略）说明： 对于具有实际背景

27、的问题,第一要认真审清题意,适当设出变量,建立适当的函数模型,然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值巩固练习： 如图,把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料,25 假如矩形一边长为x,面积为 y 试将 y 表示成 x 的函数,并画出函数的大致图象,并判定怎样锯才能使得截面面积最大？例 2（新题讲解 ）旅 馆 定 价一个星级旅社有150 个标准房, 经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的数据如下：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 房价（元）住房率（ %）160 55 140 65 12

28、0 75 100 85 欲使每天的的营业额最高,应如何定价？解：依据已知数据, 可假设该客房的最高价为 160 元,并假设在各价位之间,房价与住房率之间存在线性关系设 y 为旅社一天的客房总收入,x 为与房价 160 相比降低的房价,因此当房价为 160 x 元时,住房率为 55 x10 %,于是得20y =150 160 x 55 x10 %20由于 55 x 10 %20因此问题转化为：当 1,可知 0 x 900 x 90 时,求 y 的最大值的问题将 y 的两边同除以一个常数 0.75,得 y 1= x由于二次函数 y 1 在 x =25 时取得最大值,可知250 x 17600y 也

29、在 x =25 时取得最大值,此时房价定位应是16025=135（元）,相应的住房率为67.5%,最大住房总收入为13668.75（元）所以该客房定价应为 135 元（当然为了便于治理,定价 140 元也是比较合理的）例 3（教材 P37 例 4）求函数 y 2 在区间 2,6 上的最大值和最小值x 1 解：（略）留意： 利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式巩固练习：（教材 P38 练习 4）七、归纳小结,强化思想 函数的单调性一般是先依据图象判定,再利用定义证明画函数图象通常借助运算机,求函数的单调区间时必需要留意函数的定义域,单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定

30、号 下结论课题：1.3.2函数的奇偶性八、新课教学（一）函数的奇偶性定义 象上面实践操作1 中的 图象关于 y 轴对称 的函数即是 偶函数 ,操作2 中的 图象关于原点 对称 的函数即是 奇函数1偶函数（ even function ）一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx ,那么 fx 就叫做 偶函数（同学活动 ）：仿照偶函数的定义给特别函数的定义2奇函数（ odd function ）一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx ,那么 fx 就叫做 奇函数留意：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 -

31、 - - - - - - - - 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任 意一个 x,就 x 也肯定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）（二）具有奇偶性的函数的图象的特点 y 轴对称；偶函数的图象关于 奇函数的图象关于原点对称（三）典型例题 1判定函数的奇偶性 例 1（教材 P36 例 3）应用函数奇偶性定义说明两个观看摸索中的四个函数的奇偶性（ 本 例由同学争论,师生共同总结详细方法步骤）解：（略）总结： 利用定义判定函数奇偶性的格式步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定

32、其定义域是否关于原点对称；2 确定 fx与 fx 的关系；3 作出相应结论：如 f x = fx 或 f xfx = 0 ,就 fx 是偶函数；如 f x = fx 或 fx fx = 0 ,就 fx 是奇函数巩固练习：（教材 P41 例 5）例 2（教材 P46 习题 13 B 组每 1 题）解：（略）说明： 函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称,所以判定函数的奇偶性应应第一判定函数的定义域是否关于原点对称,如不是即可肯定函数是非奇非偶函 数2利用函数的奇偶性补全函数的图象（教材 P41摸索题）规律：偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称说明： 这也可以作为判定函数奇偶性的依据巩固练习：（教材 P42 练习 1）3函数的奇偶性与单调性的关系（同学活动 ）举几个简洁的奇函数和偶函数的例子,数和偶函数的单调性具有什么特别的特点并画出其图象, 依据图象判定奇函例 3已知 fx 是奇函数,在 0, 上是增函数,证明：fx 在, 0上也是增函 数 解： 由一名同学板演,然后师生共同评析,规范格式与步骤 规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一样名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页