2022年标准差与标准误关系与区别 .pdf

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1、标准差与标准误关系与区别在日常的统计分析中，标准差和标准误是一对十分重要的统计量，两者有区别也有联系。但是很多人却没有弄清其中的差异， 经常性地进行一些错误的使用。对于标准差与标准误的区别，很多书上这样表达：标准差表示数据的离散程度，标准误表示抽样误差的大小。这样的解释可能对于许多人来说等于没有解释。其实这两者的区别可以采用数据分布表达方式描述如下：如果样本服从均值为，标准差为 的正态分布，即 XN(, 2), 那么样本均值服从均值为0，标准差为 2/n 的正态分布，即 ? N( , 2/n) 。这里 为标准差， /n1/2为标准误。明白了吧，用统计学的方法解释起来就是这么简单。可是，实际使用

2、中总体参数往往未知，多数情况下用样本统计量来表示。那么，关于这两者的区别可以这样表述：标准差是样本数据方差的平方根，它衡量的是样本数据的离散程度； 标准误是样本均值的标准差， 衡量的是样本均值的离散程度。而在实际的抽样中， 习惯用样本均值来推断总体均值，那么样本均值的离散程度（标准误） 越大，抽样误差就越大。 所以用标准误来衡量抽样误差的大小。在此举一个例子。比如，某学校共有500名学生，现在要通过抽取样本量为30 的一个样本，来推断学生的数学成绩。这时可以依据抽取的样本信息，计算出样本的均值与标准差。如果我们抽取的不是一个样本，而是10 个样本，每个样本 30 人，那么每个样本都可以计算出均

3、值，这样就会有 10 个均值。 也就是形成了一个 10 个数字的数列， 然后计算这 10 个数字的标准差， 此时的标准差就是标准误。但是，在实际抽样中我们不可能抽取10 个样本。所以，标准误就由样本标准差除以样本量来表示。当然，这样的结论也不是随心所欲，而是经过了统计学家的严密证明的。在实际的应用中， 标准差主要有两点作用， 一是用来对样本进行标准化处理，即样本观察值减去样本均值，然后除以标准差， 这样就变成了标准正态分布； 而是通过标准差来确定异常值， 常用的方法就是样本均值加减n 倍的标准差。 标准误的作用主要是用来做区间估计，常用的估计区间是均值加减n 倍的标准误。名师资料总结 - -

4、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 英文： Standard Error 标准偏差 反映的是个体观察值的变异，标准误反映的是样本 均数之间的变异（即样本均数的 标准差 ，是描述均数抽样分布的离散程度及衡量均数抽样 误差 大 小的尺度），标准误不是标准差，是 样本平均数 的标准差。标准误用 来衡量抽样误差。标准误越小，表明 样本统计量 与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断可

5、靠性的指标。在相同测 量条件下进行的测量称为等精度测量，例如在同样的条件下，用同一个游标卡尺测量铜棒的直径若干次，这就是等精度测量。对于等精度测量来说，还有一种更好的表示误差的方法，就是 标准误差 。编辑本段定义标准误差 定义为各测量值误差的平方和的平均值 的平方根，故又称为均方误差。设 n 个测 量值的误差为 1、2 n， 则这组测量值的标准误差 等于：( 此处为一公式，显示不出来，你看下文字就可以知道这个公式是什么样的。）由于被测 量的真值是未知数，各测量值的误差也都不知道，因此不能按上式求得标准误差。测量时能够得到的是算术平均值（），它最接近真值（N），而且也容易算出测量值和算术平均值之

6、差，称为残差（记为 v）。理论分析表明可以用残差v 表示有限次（ n 次）观测中的 某一次测量结果的标准误 差 ，其计算公式为( 此处为一公式，显示不出来，你看下文字就可以知道这个公式是什么样的。）对于一组 等精度测量（ n 次测量 ）数据的算术平均值，其误差应该更小些。理论分析表明，它的算术平均值的标准误差。有的书中或计算器上用符号 s 表示） 与一次测量值的标准误差 之间的关系是( 此处为一公式，显示不出来，你看下文字就可以知道这个公式是什么样的。）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

7、 - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 编辑本段误差需要注意 的是，标准误差不是测量值的实际误差，也不是误差范围，它只是对一组测量数据可靠性的估计。标准误差小， 测量的 可靠性大一些，反之，测量就不大可靠。进一步的分析表明，根据偶然误差的高斯 理论，当一组测量值的标准误差为 时，则其中的任何一个测量值的误差i 有683% 的可能 性是在（ ， ）区间内。世界 上多数 国家的 物理实验 和正式 的科学 实验报 告都是 用标准 误差评价 数据的 ，现在 稍好一 些的计算 器都有 计算标 准误差 的功能 ，因此 ，了解标准误差是必要的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -