2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.11　导数在研究函数中的应用（一） .docx

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1、211导数在研究函数中的应用(一) 知识梳理1函数的单调性与导数2函数的极值与导数设函数f(x)在点x0及其附近有定义极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值极值点与导数：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0) 0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件例如，函数yx3在x0处有y0，但x0不是极值点此外，函数的不可导点也可能是函数的极值点3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，

2、b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值4极值与最值(1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；(2)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值诊断自测1概念思辨(1)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”()(2)若函数f(x)在(a，b)内恒有f(x)0，那么f(x)在(a，b)上单调递增；反之，若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()答案(1)(

3、2)(3)(4) 2教材衍化(1)(选修A12P93T2)已知函数f(x)x2ln |x|，则函数yf(x)的大致图象是()答案A解析f(x)(x)2ln |x|x2ln |x|f(x)，f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；当x0时，f(x)x2ln x，f(x)2x，当0x时，f(x)时，f(x)0，f(x)在上单调递减，在上单调递增，排除C；当x时，f(x)取得最小值fln 0，排除B.故选A.(2)(选修A12P93T3)已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是()A0 B1 C2 D3答案D解析由题意得f(x)3x2a，函数f(x)x3ax在1，)上

4、是单调增函数，在1，)上，f(x)0恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，a3.故选D.3.小题热身(1)(2013全国卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)上单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0答案C解析若x0是f(x)的极小值点，则yf(x)的图象大致如右图所示，则在(，x0)上不单调，故C不正确故选C.(2)(2018武汉模拟)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)2，f(x)1，则不等式f(x)x0的解集为_答案(2，)解析令g(x)f

5、(x)x，g(x)f(x)1.由题意知g(x)0，g(x)为增函数g(2)f(2)20，g(x)0的解集为(2，)题型1利用导数研究函数的单调性角度1判断或证明函数的单调性(2017全国卷)已知函数f(x)ex(exa)a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围含参数的导数解答题，首先求定义域，注意应用分类讨论思想方法解(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)

6、上单调递增若a0，则由f(x)0得xln .当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增(2)若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a2ln a，从而当且仅当a2ln a0，即a1时，f(x)0.若a0时，令3x2a0得x；当x或x0；当x时，f(x)0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数(2)因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的

7、取值范围为(，0条件探究1函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围解因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3条件探究2函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围解由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立因为1x1，所以3x23，所以a3，即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1，1)上为减函数条件探究3函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(1,1)，

8、求a的值解由母题可知，f(x)的单调递减区间为，1，即a3.条件探究4函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由f(x)0，得x(a0)f(x)在区间(1,1)上不单调，01，得0a0时为增函数，f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)0及方程f(x)0均不可解时求导数并化简，根据f(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f(x)的符号，得出单调区间3利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由函数在区间a，b上单调递增(减)可知f(x)0(f(x)0)在区间a，b上恒成立列出不等式(2)利用分离

9、参数法或函数的性质求解恒成立问题(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0，若f(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f(x)0，则参数可取这个值提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任意一个非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解冲关针对训练(2015重庆高考)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解(1)对f(x)求导得f(x)，因为f(x)在

10、x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1x0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，)上存在极值点，且极值大于ln 42，求a的取值范围本题用构造函数法解(1)f(x)的定义域为(，0)(0，)，而f(x)ex，当a0时，f(x)0，故f

11、(x)的单调递增区间为(，0)，(0，)，无单调递减区间(2)当a0时，由(1)知f(x)0，f(x)无极值点；当a0对x(0，)恒成立，故g(x)ex在(0，)上单调递增当0x1时，ex(1，e)，(，a)，故在(0,1)上存在实数s，使得e，从而在(0，)上存在实数s，使得g(s)1时，ex(e，)，(a,0)，故在(1，)上存在实数t，使得eta，从而在(0，)上存在实数t使得g(t)0.因此g(x)在(0，)上有唯一零点，设为x0.于是当x(0，x0)时，f(x)g(x)0，从而f(x)在(0，)上存在唯一的极小值点，且极值f(x0)e x0.由g(x0)0知axex0，因此f(x0)

12、e x0(x01)e x0，令(x)(x1)ex，则(x)(x2)ex，故(x)在(0，)上单调递增而f(x0)(x01)e x0ln 422(ln 21)(ln 21)eln 2，所以x0ln 2.令(x)x2ex，则(x)(x22x)ex，故x0ln 2时，(x)(x22x)ex0，(x)x2ex单调递减从而a1时，f(x)0；当0x1时，f(x)0.(2)依题意知，函数h(x)的定义域为(0，)，h(x)ln xax，所以方程h(x)0在(0，)上有两个不同的实根，即方程ln xax0在(0，)上有两个不同的实根可转化为函数yln x与函数yax的图象在(0，)上有两个不同的交点，如图若

13、令过原点且与函数yln x的图象相切的直线的斜率为k，则0ak.设切点A(x0，ln x0)，所以ky| xx0，又k，所以，解得x0e，于是k，所以0ax2，作差得，ln a(x1x2)，即a.原不等式x1x2e2ln x1ln x22a(x1x2)2ln .令t，则t1，ln ln t.设F(t)ln t，t1，则F(t)0，所以函数F(t)在(1，)上单调递增，所以F(t)F(1)0，即不等式ln t成立，故所证不等式x1x2e2成立题型3利用导数研究函数的最值(2017石家庄检测)已知函数f(x)ln x2，aR.(1)若曲线yf(x)在点P(2，m)处的切线平行于直线yx1，求函数f

14、(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数f(x)在(0，e2上有最小值2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由本题用待定系数法、分类讨论思想方法解(1)f(x)ln x2(x0)，f(x)(x0)，又曲线yf(x)在点P(2，m)处的切线平行于直线yx1，f(2)aa8.f(x)(x0)，令f(x)0，得x8，f(x)在(8，)上单调递增；令f(x)0，得0x0)当a0时，f(x)0恒成立，即f(x)在(0，e2上单调递增，无最小值，不满足题意当a0时，令f(x)0，得xa，所以当f(x)0时，xa，当f(x)0时，0xe2，则函数f(x)在(0，e2上的最小值f(x)minf(e2

15、)ln e22，由2，得a2e2，满足ae2，符合题意；若ae2，则函数f(x)在(0，e2上的最小值f(x)minf(a)ln a2ln a1，由ln a12，得ae3，不满足ae2，不符合题意，舍去综上可知，存在实数a2e2，使函数f(x)在(0，e2上有最小值2.方法技巧1求函数f(x)在区间a，b上最值的方法(1)若函数f(x)在区间a，b上单调，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值(2)若函数f(x)在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表求解(3)若函数f(x)在闭区间a，b上有唯一一个极值点，这个极

16、值点就是最大(小)值点2已知函数f(x)的最值求参数的方法先利用导数将最值用参数表示，再构建方程组求解提醒：由f(x)0得到根x0是否在a，b内不明确时要分情况讨论冲关针对训练(2017德州一模)设函数f(x)ln xax2bx(a0)，f(1)0.(1)用含a的式子表示b；(2)令F(x)f(x)ax2bx(00)上的最大值解(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)axb，f(1)1ab0，ba1.(2)F(x)ln x，x(0,3，则有kF(x0)，在x0(0,3上恒成立，amax，x0(0,3当x01时，xx0取得最大值，a，即a的取值范围为.(3)依题意，知f(x)的定义域为(0，)当

17、a2时，f(x)ln xx2x，则f(x)2x1.令f(x)0，解得x1，x(舍)当0x0，此时f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减当c1，即0c时，f(x)在上单调递增，f(x)maxfln 2cln c2.当即c1时，f(x)在c,1上单调递增，在上单调递减，f(x)maxf(1)0.当c1时，f(x)在上单调递减，f(x)maxf(c)ln cc2c.综上，当0c时，f(x)maxln c2；当c1时，f(x)max0；当c1时，f(x)maxln cc2c.1(2016全国卷)若函数f(x)xsin2xasinx在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1 B

18、.C. D.答案C解析f(x)1cos2xacosx1(2cos2x1)acosxcos2xacosx，f(x)在R上单调递增，则f(x)0在R上恒成立，令cosxt，t1,1，则t2at0在1,1上恒成立，即4t23at50在1,1上恒成立，令g(t)4t23at5，则解得a.故选C.2(2017江淮联考)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A1a2 Ba4Ca2 D0a3答案A解析易知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)x，由f(x)x0，解得0x3.因为函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，所以解得10)，函数f(x)存在单

19、调递减区间，即定义域(0，)内存在区间使ax22x10，等价于a小于在x(0，)上的最大值设g(x)，则g(x)，可知函数g(x)在区间(0,1)为增函数，在区间(1，)为减函数，所以当x1时，函数g(x)取得最大值，此时g(x)1，所以a0)的单调递增区间是()A(，1) B(1,1)C(1，) D(，1)(1，)答案B解析函数f(x)的定义域为R，f(x).由于a0，要使f(x)0，只需(1x)(1x)0，解得x(1,1)故选B.2若函数f(x)(x22x)ex在(a，b)上单调递减，则ba的最大值为()A2 B. C4 D2答案D解析f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex，

20、令f(x)0，x，即函数f(x)的单调递减区间为(，)ba的最大值为2.故选D.3函数f(x)(x1)(x2)2在0,3上的最小值为()A8 B4 C0 D.答案B解析f(x)(x2)22(x1)(x2)(x2)(3x4)令f(x)0x1，x22，结合单调性，只要比较f(0)与f(2)即可f(0)4，f(2)0.故f(x)在0,3上的最小值为f(0)4.故选B.4(2017豫南九校联考)已知f(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，满足f(x)2f(x)0的解集为()A(，1) B(1,1)C(，0) D(1，)答案A解析设g(x)，则g(x)0g(x)0，所以x1.故选A.5(2017

21、四川乐山一中期末)f(x)x2aln x在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围为()Aa1 Ba1 Ca2，a2.故选D.6函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则()Aabc Bcab Ccba Dbca答案B解析由f(x)f(2x)可得对称轴为x1，故f(3)f(12)f(12)f(1)又x(，1)时，(x1)f(x)0.即f(x)在(，1)上单调递增，f(1)f(0)f，即ca时，f(x)0；当x0.x时取极大值，f.故选B.8已知函数f(x)1ln x，若存在x00，使得f(x0)0有解，则实数a的取

22、值范围是()Aa2 Ba3 Ca1 Da3答案C解析函数f(x)的定义域是(0，)，不等式1ln x0有解，即axxln x在(0，)上有解，令h(x)xxln x，可得h(x)1(ln x1)ln x，令h(x)0，可得x1，当0x0，当x1时，h(x)0，可得当x1时，函数h(x)xxln x取得最大值1，要使不等式axxln x在(0，)上有解，只要a小于等于h(x)的最大值即可，即a1.故选C.9若函数f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围为()A2，) B4，)C4 D2,4答案C解析f(x)3ax23，当a0时，f(x)minf(1)a20，a2，不

23、合题意；当01时，f(1)a40，且f10，解得a4.综上所述，a4.故选C.10(2018黄山一模)已知函数f(x)m2ln x(mR)，g(x)，若至少存在一个x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，则实数m的取值范围是()A. B.C(，0 D(，0)答案B解析由题意，不等式f(x)g(x)在1，e上有解，mx2ln x在1，e上有解，即在1，e上有解，令h(x)，则h(x)，当1xe时，h(x)0，在1，e上，h(x)maxh(e)，m0恒成立m2，令g(x)2，则当1时，函数g(x)取得最大值1，故m1.12(2017西工大附中质检)已知f(x)是奇函数，且当x(0,2)时，f(x

24、)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值是1，则a_.答案1解析由题意，得x(0,2)时，f(x)ln xax有最大值1，f(x)a，由f(x)0，得x(0,2)，且x时，f(x)0，f(x)单调递增，x时，f(x)0，f(x)单调递减，则f(x)maxfln 11，解得a1.13(2018东北三校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象为一条连续不断的曲线，f(1x)f(1x)，f(1)a，且当0x1时，f(x)的导函数f(x)满足f(x)f(x)，则f(x)在2017,2018上的最小值为_答案a解析由f(1x)f(1x)可得函数f(x)的图象关于直线x1对称又f(x)是定义在

25、R上的奇函数，则f(0)0，且f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x)在2017,2018上的图象与1,2上的图象形状完全相同令g(x)，则g(x)0，函数g(x)在(0,1)上递减，则g(x)g(0)0，所以f(x)f(x)0成立；存在a(，0)，使得函数f(x)有两个零点其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)答案解析由f(x)exaln x，可得f(x)ex，若a0，则f(x)0，得函数f(x)是D上的增函数，存在x(0,1)，使得f(x)0即得命题不正确；若a0，设ex0的根为m，则在(0，m)上f(x)0，所以函数f(x)存在最小值f

26、(m)，即命题正确；若f(m)0时，求函数f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x.当0x0；当x时，f(x)0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，当aln 2时，f(x)的最小值是f(1)a；当ln 2a1时，f(x

27、)的最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0a0.(1)记f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最大值；(2)若对任意实数x恒有f(x)0，求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域是(，)，f(x)exa，令f(x)0，得xln a，所以f(x)的单调递增区间是(ln a，)；令f(x)0，得xln a，所以f(x)的单调递减区间是(，ln a)，函数f(x)在xln a处取极小值，g(a)f(x)极小值f(ln a)eln aaln aaaln a.g(a)1(1ln a)ln a，当0a0，g(a)在(0,1)上单调递增；当a1时，g(a)0，exax0恒成立，当x0时，f(x)0

28、，即exax0，即a.令h(x)，x(0，)，h(x)，当0x1时，h(x)1时，h(x)0，故h(x)的最小值为h(1)e，所以ae，故实数a的取值范围是(0，e17(2017湖南湘中名校联考)设函数f(x)xaln x(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.令g(x)x2ax1，则方程x2ax10的判别式a24.当|a|2时，0，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增当a

29、0，g(x)0的两根都小于0，在(0，)上恒有f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0的两根为x1，x2，当0x0；当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)0，故f(x)在(0，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减(2)由(1)知，a2.因为f(x1)f(x2)(x1x2)a(ln x1ln x2)，所以k1a.又由(1)知，x1x21.于是k2a.若存在a，使得k2a.则1.即ln x1ln x2x1x2.亦即x22ln x20(x21)(*)再由(1)知，函数h(t)t2ln t在(0，)上单调递增，而x21，所以x22ln x212ln 10.这与(*)式矛盾故不存在a，使得k2a.