2022年必修数列知识点总结及题型归纳2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列一、数列的概念（1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列；（2）通项公式的定义：假如数列an的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式；例如： 1 ,2 ,3 ,4, 5 ,：1 1,21 1,3 41,54 5 6 7 8 9 （3）数列的函数特点与图象表示：序号： 1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 （4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列；例：以下的数列,哪些是递增数列、

2、递减数列、常数列、摇摆数列？（1）1,2,3,4,5, 6, 210, 9, 8, 7, 6, 5, 3 1, 0, 1, 0, 1, 0, 4a, a, a, a, a,（5）数列 a 的前 n 项和S 与通项a 的关系：a nS 1n1S nS n1n2例：已知数列a n的前 n 项和sn2n23,求数列an的通项公式二、等差数列题型一 、等差数列定义：一般地,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母0d 表示；用递推公式表示为a nan1d n2或an1and n1；为常数列,d0为递减数列；例：

3、等差数列an2n1,anan1题型二 、等差数列的通项公式：ana 1n1 d ；等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0 为递增数列,d）例： 1. 已知等差数列a n中,a7a 916,a41,就a 12等于（A15 B 30 C 31 D 64 2. an是首项a 11,公差d3的等差数列,假如an2005,就序号n等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 1 / 11名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型三 、等差中项的概念：定义：假如 a , A , b 成等差数列,那么A叫做 a

4、 与 b 的等差中项；其中Aa2b（）a , A , b 成等差数列Aa2b即：2an1anan2（2ananmanm）例： 1设a n是公差为正数的等差数列,如a 1a 2a 315,a a a 380,就a 11a 12a 13A120 B105C 90 D 75）2. 设数列 a n是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,就它的首项是（A1 B.2 C.4 D.8 题型四 、等差数列的性质：（1）在等差数列a n中,从第 2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项；）（2）在等差数列a n中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列a n中,对任意 m , nN

5、 ,ana mnm d ,da nammn ；nm（4）在等差数列a n中,如 m , n , p , qN 且 mnpq ,就ama napa ；题型五 、等差数列的前n 和的求和公式：S nn a 12anna 1n n1d1n2（a 1d）n；222SnAn2BnA ,B为常数an是等差数列 递推公式：S na 1annamanm1n22例： 1. 假如等差数列a n中,a3a4a 512,那么a 1a2.a 7（A）14 （B）21 （C）28 （ D）35 2. 设S 是等差数列na的前 n 项和,已知a23,a 611,就S 等于 A 13 B35 C 49 D 63 3. 设等差

6、数列a n的前 n 项和为S ,如S 972, 就a2a4a = 4. 如一个等差数列前3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为390,就这个数列有 （A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5. 设等差数列a n的前 n 项和为S ,如a 55a 就S 9S 56. 已知a n数列是等差数列,a 1010,其前 10 项的和S 1070,就其公差 d 等于 A2B1 C.1 D. 323332 / 11名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7设 an为等差数列,Sn为数列 an的前 n

7、项和,已知S77, S1575,Tn为数列Sn 的前 nn项和,求 Tn；题型六 . 对与一个等差数列,S n,S 2nSn,S 3 nS 2n仍成等差数列；）；例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30,前 2m项和为 100,就它的前3m项和为（A.130 B.170 C.210 D.260 2. 一个等差数列前n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为3. 设S 为等差数列an的前 n 项和,S414,S 10S730,就S 9= 4（06 全国 II ）设 Sn是等差数列 an的前 n 项和,如S 31 3,就S 6S 6S 12A3 10B1 3 C

8、1 8D1 9题型七 判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：a n 1 a n d 常数）（n N）a n 是等差数列中项法：2 a n 1 a n a n 2（n N a n 是等差数列通项公式法：an kn b k , b 为常数 a n 是等差数列前 n 项和公式法：Sn An 2 Bn A , B 为常数 a n 是等差数列例： 1. 已知一个数列 a n 的前 n 项和 sn 2 n 2 4,就数列 a n 为（）A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判定2. 已知一个数列 a n 的前 n 项和 sn 2n 2,就数列 a n 为（）A

9、. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判定3. 数列 a n 满意 a =8,a 4 2,且 a n 2 2 a n 1 a n 0（n N）求数列 a n 的通项公式；题型八 . 数列最值（1）a 10,d0时,S 有最大值；a 10,d0时,S 有最小值；（2）S nan2bn的最值；S 最值的求法：如已知S ,S 的最值可求二次函数可用二次函数最值的求法（nN ）；或者求出a n中的正、负分界项,即：3 / 11名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如已知a ,就S 最值时

10、n 的值（ nN ）可如下确定a n100或a n100；a na n例： 1等差数列ann中,a 10,S 9S 12,就前312,S 12项的和最大； 2设等差数列0,S 130a的前 n 项和为S ,已知 na求出公差 d 的范畴,指出 S 1,S 2,S 12 中哪一个值最大,并说明理由；3. 已知 a n 是等差数列,其中 a 1 31,公差 d 8；（1）数列 a n 从哪一项开头小于 0？（2）求数列 a n 前 n 项和的最大值,并求出对应 n 的值S 1 n 1题型九 . 利用 a n 求通项S n S n 1 n 21已知数列an的前 n 项和Snn24 n1,就（D）64

11、 2. 设数列an的前 n 项和为 Sn=2n2,求数列an的通项公式；3. 已知数列an中,a 13,前 n 和S n1n1 an112求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式4. 设数列 an的前 n 项和S n2 n ,就a 的值为（）（A） 15 B 16 C 49 等比数列等比数列定义： 一、递推关系与通项公式递推关系：an1anq4,q,2,就ana = 通项公式：ana 1qn1推广：anamqnm1 在等比数列a n中,a 12在等比数列an中,a 22a554,就4 / 11名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - -

12、- - - - 3. 在各项都为正数的等比数列an中,首项a 13,前三项和为21,就a3a 4a5（）A 33 B 72 C 84 D 189 二、等比中项：如三个数a,b ,c成等比数列,就称b 为a与c的等比中项,且为bac,注：b2ac是成等比数列的必要而不充分条件. D2例： 1. 23 和 23 的等比中项为 1 1B1C三、等比数列的基本性质,1. （1）如mnpq,就amanapaq其中m ,n,p,qNa 7 a 10（）（2）qnman,an2anmanmnNa m（3）an为等比数列,就下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零

13、的常数列. 例： 1在等比数列a n中,a 和a 10是方程22 x5x10的两个根 , 就a4A5B2C1D12222Llog32. 在等比数列an中,a1a633,a3a432,anan1求an如T nlga 1lga2lgan,求T n3. 等比数列 a n的各项为正数,且a a 6a a718,就log3a 1log3a 2 A12 B10 C8 D2+log 5四、等比数列的前n 项和,S na 1na 1qnq1q q1 1a 1a nS n1q1q例： 1. 已知等比数列an的首相a15,公比q2,就其前 n 项和S n2. 设等比数列a n的前 n 项和为S ,已a26,6 a

14、1a330,求a 和5 / 11名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3设f n 2242710 2L3 2n10nN,就f n 等于（）A2 8 n1 B2 8 n 11 C2 8 n 31 D 2 8 n 417 7 7 7五. 等比数列的前 n 项和的性质如数列 a n 是等比数列,S 是其前 n 项的和,k N *,那么 S ,S2 k S k,S 3 k S 2 k 成等比数列 . 例： 1. 一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为（）A83 B108 C 75

15、 D63 2. 已知数列 a n 是等比数列,且 S m 10,S 2 m 30,就 S 3 m六. 等比数列的判定法（1）定义法：an 1q（常数）an为等比数列；a2, a3, a4 的值及数列a n（2）中项法：a n12a nan2a n0 an为等比数列；（3）通项公式法：ankqnk,q 为常数）an为等比数列；（4）前 n 项和法：S nk 1qn（k,q为常数）an为等比数列；S nkkqn（k,q为常数）an为等比数列；七. 利用a nS 1S n1 n1求通项S nn2例： 1. 数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,a n11S ,n=1,2,3, ,求 n3

16、 an 的通项公式2. 已知数列a n的首项a 15,前 n 项和为S ,且S n1S nn5nN*,证明数列a n1是等比数列6 / 11名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求数列通项公式方法（1）公式法（定义法）依据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列nan满意：a3n7 ,a5a726, 求a ；的通项公式；2. 已知数列a满意a 12,aan11 n1 ,求数列a n 3.数列an满意a =8,a42,且an22an1an0（nN）,求数列an的通项公式；4. 已知数列an满意a12 ,a11

17、12,求数列an的通项公式；nan5. 设数列a n满意a 10且11n111n1,求an的通项公式aa6. 已知数列an满意a12 ,a n3an1n1 ,求数列an的通项公式；7. 已知数列an满意a 12,a 24 且an2anan12（nN）,求数列an的通项公式；8. 已知数列an满意a 12,且an15n1n2a nn 5 （nN）,求数列an的通项公式；的通9. 已知数列an满意a 12,且an152123an52n2（nN）,求数列an项公式；（2）累加法1、累加法a适用于：an1anf n 1a 1nf1a2如an1nf n n2,就a 3a2f2LaLf n an7 / 1

18、1名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 两边分别相加得a n1a 1kn1f n 例： 1.已知数列 an满意a 111,nan1an4n11,求数列 a n的通项公式；222. 已知数列 an满意a na2n1,a 11,求数列 a n的通项公式；3. 已知数列 an满意a n1an23n1,a 1n3,求数列 an的通项公式；2,a n1an322的通项公式4. 设数列an满意a 11,求数列an（ 3）累乘法适用于：an1f n ann1fa 1,a3 2f2,L L,a nan1f n an的通项公式；如an1

19、f n ,就a2a na 1例： 1. 已知数列 a n满意a22n15nan,a 13,求数列 nn1an,求a ；2.已知数列an满意a 1,an133.已知a13,an13 n1a nn1 ,求a ；3 n2（4）待定系数法适用于an1qanf n 解题基本步骤：1、确定f n a n11 ,公比为an2fn2、设等比数列3、列出关系式an1fn1 28 / 11名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、比较系数求1,25、解得数列 a n 1 的通项公式6、解得数列 a n 的通项公式例： 1. 已知数列 a

20、n 中,a 1 1, a n 2 a n 1 1 n 2,求数列 a n 的通项公式；2在数列 a n 中,如 a 1 1, a n 1 2 a n 3 n 1,就该数列的通项 a n _ n3.已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 3 5,a 1 6,求数列 a n 的通项公式；n 1 n解：设 a n 1 x 5 2 a n x 5 5 1 1 n 14已知数列 a n 中,a 1 , a n 1 a n ,求 a n6 3 2n 15 已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 4 3,a 1 1,求数列 a n 的通项公式；（ 5）递推公式中既有 S 又有 a n把已知关

21、系通过a nS n1,n2转化为数列a n或S 的递推关系,然后采纳相应的方法求解；S nS n11. 数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,a n11S ,n=1,2,3, ,求a2,a3, a4的值及数列 an3的通项公式2. 已知数列an中,a13,前 n 和S n1n1 an1 12,且a2,a4,a 成等比数列,2求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式3已知数列 an的各项均为正数, 且前 n 项和S 满意S n1 6an1a n求数列 a n的通项公式；（6）倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项例： 1. 已知数列 an满意a n12 an2,a 11

22、,求数列 an的通项公式；an9 / 11名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和；S nn a 12anna 1n n1dS nna1q1 nq q1 公比含字母时肯定要争论,a 5b 313a 1121q例： 1；已知等差数列an满意a 1,1a23,求前 n 项和S n2已知等比数列an满意a1,1a23,求前 n 项和S n3. 设f n 2242710 2L23n10nN,就f n 等于（）A.2 8 n71 B.2 8 7n11 C.2 8 n731D.2 8 7n

23、412错位相减法求和：如：an等差,bn等比,求a 1 b 1a2b2anb n 的和.例： 1求和S n12x3x2Lnxn12. 求和：Sn123naa2a3an3. 设 an是等差数列, b n是各项都为正数的等比数列,且a 1b 11,a3b 521（）求 a n, b n的通项公式； （）求数列a n的前 n 项和S b n3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾如干项；常见拆项：1111nn1111 1211112n nnn12n1 2 n2n2 n111n1211n11n n2 2nn n1 n22n1 n1 nnn .n1 .n .1Ci1Ci nCi n1

24、n11 .n .n1 .数列an是等差数列,数列1的前 n 项和a nan10 / 11名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例： 1. 数列 an的前 n 项和为S ,如a n11,就S 等于 _ n n2. 已知数列an的通项公式为a n111,求前 n 项的和；n n3. 已知数列an的通项公式为a nn1n1,求前 n 项的和4. 求1111111n, n* N；2231234234倒序相加法求和综合练习：1. 等比数列an的各项均为正数,且2a 13 a21,a 329a 2a6（1）求数列an的通项公式a n3,求数列1的前 n 项和（2）设b nloga1loga2.log33b n2. 已知等差数列an满意a20, a 6a810. 1 求数列an的通项公式及S nan322n1（2）求数列an1的前 n 项和2n3. 设数列an满意a 12,an1（1）求数列an的通项公式n的前 n 项和S n（2）令b nnan,求数列b11 / 11名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页