2019版高考数学（文）培优增分一轮全国经典版培优讲义：选修4－4　坐标系与参数方程 第2讲参数方程 .docx

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1、第2讲参数方程板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数(*)，如果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数考点2直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程 考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数方程(t1)表示的曲线为直线()(2)直线yx与曲线(为参数)的交点个数为1.()(3)直线(t为参数)的倾斜角为30.()(4)参数方程表示的曲线为椭圆()答案(1)(2)(3)(4)2已知圆的参数方程(为参

2、数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3cos4sin90，则直线与圆的位置关系是()A相切 B相离C直线过圆心 D相交但直线不过圆心答案D解析圆的普通方程为x2y24，直线的直角坐标方程为3x4y90.圆心(0,0)到直线的距离d0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|MF|，点M的横坐标是3，则p_.答案2解析由参数方程(t为参数)，p0，可得曲线方程为y22px(p0)|EF|MF|，且|MF|ME|(抛物线定义)，MEF为等边三角形，E的横坐标为，M的横坐标为3.EM中点的横坐标为，与F的横坐标相同，p2.62015湖

3、北高考在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin3cos)0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|_.答案2解析因为(sin3cos)0，所以sin3cos，所以y3x.由消去t得y2x24.由解得或不妨令A，B，由两点间的距离公式得|AB|2.板块二典例探究考向突破考向参数方程与普通方程的互化例12017全国卷在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，

4、直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos，sin)到l的距离为d，当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a16.综上，a8或a16.触类旁通将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解【变式训练1】2018

5、湖南长郡中学模拟已知曲线C1：(t为参数)，C2：(为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值解(1)C1：(x4)2(y3)21，C2：1，C1表示圆心是(4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，P(4,4)，又Q(8cos，3sin)，故M，又C3的普通方程为x2y70，则M到C3的距离d|4cos3sin13|3sin4cos13|5sin()13|，所以d的最小值为.考向直角坐标方程、参

6、数方程、极坐标方程的互化例22018宝鸡模拟在平面直角坐标系xOy中，已知C1：(为参数)，将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：(cossin)4.(1)试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值解(1)把C1：(为参数)，消去参数化为普通方程为x2y21，故曲线C1的极坐标方程为1.再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为221，即1.故曲线C2的参数方程为(为参数)(2)直线

7、l：(cossin)4，即xy40，设点P(cos，2sin)，则点P到直线的距离为d，故当sin1时，d取得最小值，此时，2k(kZ)，点P(1，)，故曲线C2上有一点P(1，)满足到直线l的距离的最小值为.触类旁通参数方程和直角坐标方程及极坐标方程之间的相互转化(1)把C1消去参数化为普通方程为x2y21，再化为极坐标方程根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为参数方程(2)先求得直线l的直角坐标方程，设点P(cos，2sin)，求得点P到直线的距离为d，故当sin1时，即2k，kZ时，点P到直线l的距离最小，从而求得P的坐标以及此最小值【变式训练2】2018宜春模拟在直角

8、坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是(为参数)和(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C1和C2的极坐标方程；(2)射线OM：与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|OQ|的最大值解(1)圆C1(为参数)，转化成直角坐标方程为(x2)2y24，即x2y24x0，转化成极坐标方程为24cos，即4cos圆C2(为参数)，转化成直角坐标方程为x2(y1)21，即x2y22y0转化成极坐标方程为22sin，即2sin.(2)射线OM：与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，设P，Q对应的极径分别为1，2，则|OP|OQ|124|sin2|.

9、(|sin2|)max1，|OP|OQ|的最大值为4.考向直线的参数方程 例32018泉州模拟已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C的极坐标方程为4sin.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设点P的直角坐标为(1,2)，直线l与曲线C的交点为A，B，试求|AB|及|PA|PB|的值解(1)直线l的普通方程为xy30.4sin4sin4cos，所以24sin4cos，所以曲线C的直角坐标方程为x2y24x4y0(或写成(x2)2(y2)28)(2)直线l

10、的参数方程可化为(t是参数)，把直线l的参数方程代入x2y24x4y0得，t2t70.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t27，点P(1,2)显然在直线l上，故|AB|t1t2|，故|PA|PB|t1t2|7.触类旁通直线的参数方程的标准形式过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即|t|PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2)【变式训练3】2018哈尔滨模拟在平面直角坐标系xOy中，直

11、线l的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点(1)求圆C的极坐标方程；(2)当变化时，求弦长|MN|的取值范围解(1)由已知，得圆心C的直角坐标为(1，)，半径为2，圆C的直角坐标方程为(x1)2(y)24，即x2y22x2y0，xcos，ysin，22cos2sin0，故圆C的极坐标方程为4cos.(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2tcos)2(tsin)22(2tcos)2(tsin)0，整理得，t22tcos30，设M，N两点对

12、应的参数分别为t1，t2，则t1t22cos，t1t23，|MN|t1t2| ，cos，|MN|，4考向极坐标、参数方程的综合应用例42018盐城模拟已知直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)直接写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)过曲线C上任意一点P作与直线l夹角为的直线m，设直线m与直线l的交点为A，求|PA|的最大值解(1)由(t为参数)，得l的普通方程为2xy60，令xcos，ysin，得直线l的极坐标方程为2cossin60，由曲线C的极坐标方程，知232cos24，所以曲线C的直角坐标方程为x21

13、.(2)由(1)，知直线l的普通方程为2xy60，设曲线C上任意一点P(cos，2sin)，点P到直线l的距离d.由题意得|PA|，当sin1时，|PA|取得最大值，最大值为.触类旁通极坐标与参数方程综合应用中注意的问题(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决转化时要注意两坐标系的关系，注意，的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径【变式训练4】在直角坐标系xO

14、y中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos2sin40(0)(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)若A是曲线C1上的任意一点，B是曲线C2上的任意一点，求线段AB的最小值解(1)由消去参数t，得曲线C1的普通方程为x24y.将代入到cos2sin40(0)中，得x2y40，即曲线C2的直角坐标方程为x2y40.(2)解法一：因为A是曲线C1上的任意一点，B是曲线C2上的任意一点，所以线段AB的最小值，即与曲线C2平行的直线与曲线C1相切时，切点到曲线C2的距离，设切线的方程为x2ym0，由消去y得x22x

15、2m0，所以22412m0，得m，因此切点为，其到直线C2的距离d，即|AB|min.解法二：因为A是曲线C1上的任意一点，B是曲线C2上的任意一点，所以可设点A(4t,4t2)，线段AB的最小值即点A到直线C2的距离d的最小值，所以d，当t时，dmin，即|AB|min.核心规律参数方程与普通方程互化的方法(1)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法(2)普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系xf(t)(或y(t)，再代入普通方程F(x，

16、y)0，求得另一关系y(t)(或xf(t)满分策略参数方程应用中的注意事项(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致(2)普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)(3)常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义，注意利用几何意义常能够给解题带来方便. 板块三模拟演练提能增分 基础能力达标12017江苏高考在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距

17、离的最小值解直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d.当s时，dmin.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.22017全国卷在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cossin)0，M为l3与C的交点，求M的极径解(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，

18、y)，由题设得消去k得x2y24(y0)，所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)，联立得cossin2(cossin)故tan，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.32018安阳模拟已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标系方程为x2y22x2y0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为.(1)求圆C和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解(1)圆C的直角坐标

19、系方程为x2y22x2y0，圆C的极坐标方程为22cos2sin0，化简得2cos2sin0，即2sin.直线l的参数方程为(t为参数)，消参得：xy10，直线l的极坐标方程为cossin10，即.(2)当时，|OP|2sin2，故点P的极坐标为，|OQ|，故点Q的极坐标为，|PQ|OP|OQ|2故线段PQ的长为.42018长沙模拟以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l的参数方程为(t为参数，0)，曲线C的极坐标方程为cos24sin.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求|AB|的最

20、小值解(1)由(t为参数，00)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos2.(1)设P是曲线C上的一个动点，当a2时，求点P到直线l的距离的最小值；(2)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围解(1)由cos2，得(cossin)2，化成直角坐标方程，得(xy)2，即直线l的方程为xy40.依题意，设P(2cost,2sint)，则点P到直线l的距离d.当t2k，即t2k，kZ时，dmin22.故点P到直线l的距离的最小值为22.(2)曲线C上的所有点均在直线l的右下方，对tR，有acost2sint40恒成立，即cos(t)4恒成立，0，0a0可知tan.所以直线l的斜率为.