2018版高中数学人教B版必修四学案：1.3.1 正弦函数的图象与性质（三） .docx

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1、1.3.1正弦函数的图象与性质(三)学习目标1.掌握ysin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握ysin x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数yAsin(x)的单调区间知识链接1怎样求函数f(x)Asin(x)的最小正周期？答由诱导公式一知：对任意xR，都有Asin(x)2Asin(x)，所以AsinAsin(x)，即ff(x)，所以f(x)Asin(x)(0)是周期函数，就是它的一个周期由于x至少要增加个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，是函数f(x)Asin(x)的最小正周期2观察正弦曲线，正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小

2、值分别为多少？答正弦函数存在最大值和最小值，分别是1和1.预习导引正弦函数的图象和性质函数ysin x图象定义域(，)或R值域1,1奇偶性奇函数周期最小正周期：2单调性在上递增；在上递减，其中kZ最值x2k 时，ymax1(kZ)；x2k 时，ymin1(kZ)对称性对称中心：(k，0)，对称轴：xk(kZ)要点一求函数的单调区间例1求函数y2sin的单调递增区间解y2sin2sin，令zx，则y2sin z.因为z是x的一次函数，所以要求y2sin z的递增区间，即求sin z的递减区间，即2kz2k(kZ)所以2kx2k(kZ)，2kx2k(kZ)，所以函数y2sin的递增区间为(kZ)规

3、律方法用整体替换法求函数yAsin(x)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间再将最终结果写成区间形式跟踪演练1求下列函数的单调递增区间：(1)y12sin；(2)ylogsin x.解(1)y12sin12sin.令ux，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是ysin u的单调递减区间，即2ku2k(kZ)，亦即2kx2k(kZ)亦即2kx2k(kZ)，故函数y12sin的单调递增区间是2k，2k(kZ)(2)由sin x0，得2kx2k，kZ.1，函数ylogsin x的单调递增区间即为usin x的递减区间，2kx2k，kZ.

4、故函数ylogsin x的单调递增区间为(kZ)要点二函数的单调性的应用例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin与sin；(2)sin 196与cos 156.解(1)sin.(2)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66，0166690，sin 16sin 66，即sin 196cos 156.规律方法用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小跟踪演练2比较下列各组数的大小(1)sin与sin；(2)cos 870与sin 9

5、80.解(1)sinsinsin，sinsinsin ，ysin x在上是增函数，sinsin ，即sinsin .(2)cos 870cos(720150)cos 150sin 60，sin 980sin(720260)sin 260sin(18080)sin 80，06080sin 60，sin 60sin 80，即cos 870sin 980.要点三正弦函数的最值(值域)例3(1)求函数y32sin x取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f(x)2sin2 x2sin x，x的值域解(1)1sin x1，当sin x1，即x2k，kZ时，y取得最大

6、值5，相应的自变量x的集合为.当sin x1，即x2k，kZ时，y取得最小值1，相应的自变量x的集合为.(2)令tsin x，yf(t)，x，sin x1，即t1.y2t22t221，1y，函数f(x)的值域为.规律方法(1)形如yasin xb的函数的最值或值域问题，利用正弦函数的有界性(1sin x1)求解求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性(2)求解形如yasin2 xbsin xc，xD的函数的值域或最值时，通过换元，令tsin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可求解过程中要注意tsin x的有界性跟踪演练3求函数ysincos

7、的周期、单调区间及最大、最小值解，coscoscossin.从而原式就是y2sin，这个函数的最小正周期为，即T.当2k4x2k(kZ)时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为(kZ)当2k4x2k(kZ)时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为(kZ)当x(kZ)时，ymax2；当x(kZ)时，ymin2.1函数y2sin x的单调增区间是()A2k，2k(kZ)B2k，2k(kZ)C2k，2k(kZ)D2k，2k(kZ)答案A解析函数y2x为增函数，因此求函数y2sin x的单调增区间即求函数ysin x的单调增区间2函数ysin，x的值域是()A. B.C. D.答案B解析0x，x.si

8、n sinsin ，y.故选B.3下列不等式中成立的是()Asinsin Bsin 3sin 2Csin sin Dsin 2cos 1答案D解析sin 2sin，cos 1sin，且(2)10，210，sin(2)sin ，即sin 2cos 1.4求函数yf(x)sin2x4sin x5的值域解设tsin x，则|t|1，f(x)g(t)t24t5(1t1)g(t)t24t5的对称轴为t2.开口向上，对称轴t2不在研究区间1,1内g(t)在1,1上是单调递减的，g(t)maxg(1)(1)24(1)510，g(t)ming(1)124152，即g(t)2,10所以yf(x)的值域为2,101.求函数yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法是：把x看成一个整体，由2kx2k (kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kx2k (kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间2比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断3求三角函数值域或最值的常用求法：将y表示成以sin x为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围