2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第二单元 2.3.1 抛物线及其标准方程 .docx

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1、23.1抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一抛物线的定义思考1如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？思考2抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？梳理从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有对

2、抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨迹是一条_知识点二抛物线的标准方程思考1抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考2抛物线标准方程的特点？思考3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？梳理抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点坐标准线方程xxyy类型一抛物线标准方程及求解命题角度1由抛物线方程求焦点坐标或准线方程例1已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程(1)y26x；(2)3x25y0；(3)y4x2；(4)y2a2x(a0)反思与感悟如果已知抛物线的标准方

3、程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向跟踪训练1(1)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B.C1 D.(2)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_命题角度2求解抛物线标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(2,0)；(2)准线为y1；(3)过点A(2,3)；(4)焦点到准线的距离为.反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可若抛物线的焦点位置

4、不确定，则要分情况讨论焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0)跟踪训练2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1) 过点(3，4)；(2) 焦点在直线x3y150上类型二抛物线定义的应用例3已知点A(3,2)，点M到F的距离比它到y轴的距离大.(1)求点M的轨迹方程；(2)是否存在M，使|MA|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由反思与感悟(1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几

5、何性质的典型运用(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题跟踪训练3已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是()A. B3 C. D.1抛物线yx2的准线方程是()Ay1 By2Cx1 Dx22已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线1上，则抛物线方程为()Ay28x By24xCy22x Dy28x3已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0等于()A4 B2 C1 D84已知直线

6、l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3 C. D.5若抛物线y22px (p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标1焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为F(，0)，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F(0，)，准线方程为y.2设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化

7、，所以焦半径|MF|x0.3对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题答案精析问题导学知识点一思考1平面内到一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线思考2不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线梳理直线知识点二思考1p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向思考2(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准

8、线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.思考3一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定题型探究例1解(1)由方程y26x，知抛物线开口向左，2p6，p3，所以焦点坐标为(，0)，准线方程为x.(2)将3x25y0变形为x2y，知抛物线开口向下，2p，p，所以焦点坐标为(0，)，准线方程为y.(3)将y4x2化为x2y，知抛物线开口向上，2p，p，所以焦点坐标为(0，)，准线方程为y.(4)由方程y2a2x(a0)知抛物线开口向右，2pa2，p，所以焦点坐标为(，0)

9、，准线方程为x.跟踪训练1(1)B(2)2x1例2解(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且2，p4，抛物线标准方程为y28x.(2)焦点在y轴正半轴上，且1，p2，抛物线标准方程为x24y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)，将点A(2,3)的坐标代入，得32m2,22n3，m，n.所求抛物线方程为y2x或x2y.(4)由焦点到准线的距离为，可知p.所求抛物线方程为y25x或y25x或x25y或x25y.跟踪训练2解(1)方法一点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y

10、，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.方法二设抛物线的方程为y2ax (a0)或x2by (b0)把点(3，4)分别代入，可得a，b.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.例3解(1)由于动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等，由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y22px (p0)的形式，而，p1,2p2，故轨迹方程为y22x.(2)如图，由于

11、点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|MF|MA|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|MN|取最小值，亦即|MA|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x02，即M(2,2)跟踪训练3A如图，由抛物线的定义知，点P到准线x的距离等于点P到焦点F的距离因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 .当堂训练1A2.D3C如图，F(，0)，过A作AA准线l，|AF|AA|，x0x0x0，x01.4A如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离d2.5解由抛物线定义，设焦点为F.则该抛物线准线方程为x，由题意设点M到准线的距离为|MN|，则|MN|MF|10，即(9)10，p2.故抛物线方程为y24x.将M(9，y0)代入抛物线方程，得y06.M点的坐标为(9,6)或(9，6)