2022年必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.docx

《2022年必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.docx（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 平面对量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.懂得两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算 .2.能依据向量的坐标运算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式 .3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直学问点一 平面对量数量积的坐标表示如 ax1,y1,bx2,y2,就 a bx1x2y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和摸索已知两个非零向量ax1,y1,bx2,y2,怎样用a 与 b 的坐标表示a b？上述结论是怎样推导的？答案 推导： ax1iy1 j,bx2iy2 j,abx 1iy

2、1 j x2iy2 jx1x2i2x1y2ijx2y1 jiy1y2 j2.又 ii1, jj 1,ij ji 0,abx1x2y1y2.学问点二 平面对量的模1向量模公式：设 ax1,y1,就 |a|x 21y 21.2两点间距离公式：如 Ax 1,y1,Bx2,y2,就|AB |x2x1 2 y2y1 2.摸索 设 Ax1,y1,Bx2,y2为平面内任意两点,试推导平面内两点间的距离公式答案 推导： AB OB OAx2,y2x1,y1x2x1,y2y1,|AB |x2x1 2 y2y1 2.学问点三 平面对量夹角的坐标表示设 a,b 都是非零向量,ax1,y1,b x2,y2, 是 a

3、与 b 的夹角,依据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos ab |a|b|x 2 1y x1x2y1y212 x 2 2y 22 .特殊地,如 ab,就有 x1x2y1y20；反之,如 x1x2y1y20,就 ab.名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 摸索 1已知向量 a2,1,b1,x,ab 就 x_. 2如 a3,0,b5,5,就 a 与 b 的夹角为 _3已知 A1,2,B2,3,C 2,5,就 ABC 的外形是 _三角形答案 12 23 4 3直角题型一 平面对量数量积的坐标运算 例 1 已知 a 与 b

4、同向, b1,2,a b10.1求 a 的坐标；2如 c2, 1,求 ab c及a bc.解 1设 ab,2 0,就有 a b410,2,a2,42b c1 22 10,a b1 22 410,ab c0a 0,a bc102, 120, 10跟踪训练 1 已知 a3, 2,b4,k,如 5a b b3a 55,试求 b 的坐标解a3, 2,b4,k,5ab11, 10kb3a5,k6,5ab b3a11, 10k 5,k6 55k10k 6 55,k10 k60,k 10 或 k 6,b4, 10或 b4, 6名师归纳总结 题型二平面对量的夹角问题1a 与 b 的夹角为直第 2 页,共 11

5、 页例 2已知 a1,2,b1,分别确定实数 的取值范畴,使得：角； 2a 与 b 的夹角为钝角；3a 与 b 的夹角为锐角解设 a 与 b 的夹角为 ,就 a b1,2 1,12.1由于 a 与 b 的夹角为直角,所以cos 0,所以 a b0,所以 120,所以 1 2.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2由于 a 与 b 的夹角为钝角,所以 cos 0 且 cos 1,所以 a b0 且 a 与 b 不反向由 a b0 得 120,故 0,且 cos 1,所以 a b0 且 a,b 不同向由 a b0,得 1 2,由 a 与 b 同向得 2.所以

6、 的取值范畴为1 2,2 2, 跟踪训练 2 已知 a1, 1, b,1,如 a 与 b 的夹角 为钝角,求 的取值范畴解a1, 1,b ,1,|a|2,|b|12,ab1.a,b 的夹角 为钝角10,即1,212 1,221 0.0,由 ab|a|b|cos 知,只需 a b0,即 1 230,即2 3.错因分析此题误以为两非零向量a 与 b 的夹角为锐角等价于a b0,事实上,两向量的夹- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 角 0, ,当 0 时,有 cos 10,对于非零向量a 与 b 有 a b0.两非零向量a 与 b的夹角为锐角的等价条件是 a

7、b0 且 a 不平行于 b.正解 由 为锐角, 得 cos 0 且 0,由 ab|a| | b|cos ,而|a|、|b|恒大于 0,所以 a b0,即 1 230,即 2 3；如 a b,就 1 2 30,即 6,但如 a b,就 0 或 ,这与 为锐角相冲突,所以 6.综上, 2 3且 6.1已知 a3, 1,b1, 2,就 a 与 b 的夹角为 A. 6B. 4C. 3D. 22已知向量a 1,n,b 1,n,如 2a b 与 b 垂直,就 |a|等于 A1 B.2 C2 D43已知向量m1,1,n2,2,如 mnmn,就 等于 A 4 B 3 C 2 D 14已知平面对量a2,4,b

8、1,2,如 c aabb,就 |c|_.5已知 a4,3 ,b1,21求 a 与 b 的夹角的余弦；2如ab2ab,求实数 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、挑选题1已知向量 a 5,6,b6,5,就 a 与 b A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向2已知 a3,2,b 1,0,向量 ab 与 a2b 垂直,就实数 的值为 A1 7 B.1 7 C1 6 D.1 63平面对量 a 与 b 的夹角为 60, a2,0,|b|1,就 |a2b|等于 A. 3 B2 3 C4 D 124已知 OA

9、2,1,OB 0,2,且 AC OB ,BC AB ,就点 C 的坐标是 A2,6 B2, 6C2,6 D2,65已知向量 a 2,1,ab10,|ab|5 2,就 |b|等于 A. 5 B. 10 C5 D256已知向量 a 1,2,b2, 3如向量 c 满意 ca b,cab,就 c 等于 A. 9,7 B. 7 3, 7C. 7 3, 7 D. 7 9, 7二、填空题7已知 a3,3,b1,0,就 a2b b_.8如平面对量 a1, 2与 b 的夹角是 180,且 |b|4 5,就 b_.9如 a2,3, b4,7,就 a 在 b 方向上的投影为 _10 设 a 2 , x, b 4,5

10、 ,如 a 与 b 的夹角 为钝角,就 x 的取值范畴是_三、解答题名师归纳总结 11在 ABC 中, AB 2,3,AC 1,k,如 ABC 是直角三角形,求k 的值第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12已知平面对量 a1, x, b2x3, xxR1如 ab,求 x 的值；2如 a b,求 |a b|.13已知三个点 A2,1,B3,2,D1,4,1求证： AB AD；2要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精

11、选学习资料 - - - - - - - - - 当堂检测答案1答案 B解析|a|10,|b|5,a b 5.cosa,bab |a|b|10552 . 2又 a,b0, ,a 与 b 的夹角为 4.2答案 C解析2ab b2ab|b|22 1n21n2n230,n 3.|a|12 n22.3答案 B解析 由于 mn23,3,mn 1, 1,由mnmn,可得 mn mn23,3 1, 1 260,解得 3.4答案 8 2解析a 2,4,b1,2,ab2 1 4 26,ca6b,c2a2 12ab36b22012 636 5128.|c| 8 2.5解 1ab 4 13 22,|a|4 232 5

12、,|b|12225,cos ab |a|b| 2 5 52 25 . 52ab4,32,2ab7,8,又ab2ab,ab 2 ab748320,52 9 .课时精练答案一、挑选题1答案 A解析 a b 5 66 50,ab.名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2答案 A解析 由 a3,2,b1,0,知 ab31,2,a 2b1,2又ab a2b0,314 0,1 7.3答案 B解析 a2,0,|b|1,|a| 2,ab2 1 cos 60 1.|a2b|a24 ab4b22 3.4答案 D解析 设 Cx,y,就 AC

13、 x2,y1,BC x,y 2,AB 2,1由AC OB ,BC AB ,得2 x 2 0,x 2,解得2xy20,y 6.点 C 的坐标为 2,65答案 C解析|ab|5 2,|ab|2a22abb252 10b25 22,|b| 5.6答案 D解析 设 cx,y,就 cax1,y2,又ca b,2y23x10.又 cab, x,y 3, 13xy0.解得 得 x7 9,y 7 3.二、填空题名师归纳总结 7答案13,第 9 页,共 11 页解析a2b1,a2b b1 13 01.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8答案 4,8解析由题意可设ba,

14、2,0,就|b|2242 5280, 4,b 4a 4,89答案65 55 5,解析设 a、b 的夹角为 ,就 cos 2 4 3 72 2324 272故 a 在 b 方向上的投影为5 65 |a|cos 1355 .或直接依据a b |b|运算 a 在 b 方向上的投影10 答案 x8 5且 x 5解析 为钝角, cos ab |a|b|0,即 ab 85x0,x8 5.a b 时有 4x100,即 x5 2,2时, a2, 5 2 1 2b,当 x5a 与 b 反向,即 .故 a 与 b 的夹角为钝角时,x0,|AC |2 5,|BD |2 5.设AC 与BD 夹角为 ,就cos ACBD|AC | |16 204 50,|解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为- - - - - - -