2022年数值计算方法教案数值积分.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案运算方法课程中学习数值积分内容的心得和体会运算方法又称 “数值分析 ”；是为各种数学问题的数值解答讨论供应最有效的算法；主要内容为函数逼近论,数值微分,数值积分,误差分析等；常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等；现代的运算方法仍要求适应电子运算机的特点；分内容的心得与体会；第一明白一下数值积分的内容：数值分析即 “运算方法 ” .下面来谈谈学习了运算方法中学习数值积6 1（1）针对定积分 Ia bf x dx ,如 f x x ,a=0,b=1 ,即有 5I 0 1x dx 5 x6 0 16,但当f x sin x

2、,f x sin x , ,时,很难找到其原函数；2x（2）被积函数并没有详细的解析形式,即 f x 仅为一数表；b定积分 I f x dx 的几何意义为,在平面坐标系中 I 的值即为四条曲线所围图形的面a积,这四条曲线分别是 y f x ,y=0,x=a,x=b；yy=fxxa bIbfx dxbafa2b；yay=fxbxa其几何意义为用以下矩形面积替代曲边梯形面积a+b2以及梯形公式Ibfx dxb2afafba梯形公式的几何意义是,用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - y名师精编

3、精品教案y=fxabx再来是辛普森公式Ibfx dxb6af a4fa2bf ba辛 普 生 公 式 的 几 何 意 义 为 , 阴 影 部 分 的 面 积 为 抛 物 线 曲 边 梯 形 , 该 抛 物 线 由a f a ,a2b,fa2b,b f b 三点构成；bxy=fxyaa+b 2从而处处其一般公式为bfx dxkn0A fx k,其中kx 称为节点,kA 称为求积系数, 或a权；衡量一个积分公式的好坏,要用详细的函数来衡量,查找怎样的函数来衡量呢？简洁的多项式函数是一个抱负的标准； 如某积分公式对于 x kk 0,1, , m 均能精确成立,但对于 x m 1不能精确成立； 就称该

4、公式具有 m次代数精度； 代数精度只是衡量积分公式好坏的 1 种标准；* 讨论中矩形公式a bf x dx b a f a2 b 的代数精度及几何意义；【解】当 f x x 01 时,公式左边a bf x dx a b1 dx b a ,公式右边 b a ,左 =右；名师归纳总结 当fx1 x 时,公式左边bfx dxbx dxx2bb22a2,第 2 页,共 5 页aa2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 公式右边baa2b2 b名师精编精品教案2a2,左=右；当fx2 x 时,公式左边bfx dxb2 x dx3 xbb33a3,aa3a公式右边b

5、aa2b2,左右；故中矩形公式具有1 次代数精度；从定积分的几何意义可以看出,当被积函数为一条直线时,中矩形公式是严格成立的,中矩形面积与梯形面积相等,如下图所示；yay=a+bxbxa+b2其次是讨论几种运算方法：第一是待定系数法 ；例 1. 构造一个至少具有一次代数精度的积分公式；分析：构造一次代数精度的公式,即当fx1及 fxx 时,公式严格成立,故有2个约束条件,于是可以确定具有2 个参数的积分公式；解：设积分公式为：b afx dxA f aA f b ；针对fx1及 fxx ,代入积分公式的左边和右边,有：1bbaA 0A 1Ab,解得A 01ba ,A 11ba2a2A a222

6、于是有积分公式：bfx dxb2afab2afb ；a该公式即为梯形求积公式；名师归纳总结 例 2. 构造一个至少具有2 次代数精度的求积公式；第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设积分公式为bfx dx名师精编A f精品教案A fb ；A faaba2针对 f x 1, f x x 及 f x x ,代入积分公式的左边和右边,有：2b a A 0 A 1 A 21b 2a 2A a A 1 a bA b,解得：A 0 1b a ,A 1 2b a ,A 2 1b a2 2 6 3 621 3 3 2 a b 2b a A a

7、A 1 A b3 2积分公式为：I a bf x dx b6 a f a 4 f a2 b f b该公式即为辛普生公式,需要留意的是,该公式的代数精度并不是 2 次,而是 3 次的；方法二,插值法 （插值型求积公式） ,即过函数 fx 的 n+1 节点 x0,x1, , xn,作n 次多项式函数nPx ,依据拉格朗日公式：P nxnlkx fx k,就有n+1 nk0bfx dxbP nx dxkn0blkx dxfxkkn0A f kx k,其中,A kblkx dxaaaa代数精度的分析：如被积函数fx 是次数小于 n 的多项式函数,那么由其曲线上的节点构成的n 次多项式函数P nx 即是

8、被积函数 fx 本身；就：插值型积分公式具有至少次代数精度；如 fx 是一条直线, 那么过其曲线上3 个点构造的抛物线P xa 0a x2 a x ,其中必有a 20,即P 2xfx ；3 次多项式函 数同理,如fx 是一条抛物线,那么过其曲线上 4 个点构 造的P xa 0a xa x23 a x ,其中必有a 30,即P 3xfx ；再来是牛顿 - 柯特斯公式：Ibfx dxbafa2b；a几何意义为,用以下矩形面积替代曲边梯形面积；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师精编精品教案第 5 页,共 5 页- - - - - - -