2022年数列证明题型总结附答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、解答题：1在数列 an 中, a11,an12an2 n. 设 bnan 2 n1,证明：数列 bn 是等差数列；求数列 an 的前 n 项的和 Sn. 【答案】由于 bn1bnan1 2 n an 2 n1an12an 2n22 n1 所以数列 bn 为等差数列由于 bnb1n1 1n所以 ann2n121 n1. 所以 Sn120221 n2n12Sn1212 22 n2n两式相减得Snn 1 2 n1 2在数列 an 中, a11 2, an11 2an设 bn2 nan,证明：数列 bn 是等差数列；求数列 an 的前 n 项和 S

2、n. 【答案】1 1由 an12an2 n1,得 2n1an12 nan1 bn1 bn1,就 bn 是首项 b11,公差为 1 的等差数列故 bnn, ann 2 n. Sn122 1 22 3 1 23 n1 1 n1n 1 2 n12Sn12 1 22 1 2 3 3 1 2 4 n1 1 2 nn 12 n1两式相减,得：12Sn2 1 2 1 2 3 1 2 n n2 n11 2（1 11 n）n2 n11 1 2 n n2 n1121 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - Sn21 2 n1 n 2

3、 n3数列 an 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且满意 4Snan 1 2nN *证明：数列 an 是等差数列,并求出其通项公式 an；设 bnan2annN *,求数列 bn 的前 n 项和 Tn. 【答案】n1 时, 4a1a112. a212a110,即 a11 n2时, 4an4Sn4Sn1an12an112 a2 na2 n12an2an1. a2na 2n12an2an10 . anan1 anan12 0 an0anan12 an2n 1nN* 故数列 an 是首项为 a11,公差为 d2 的等差数列,且由知 bnan2an 2n122n1Tn b1b2 bn121323

4、 2n122n1 1 3 2n1 2123 22n1 n22（122n）1422n1 3n22 322n13n22Snan1n N*4数列 an 的各项均为正数,前n 项和为 Sn,且满意 2证明：数列 an 是等差数列,并求出其通项公式an；设 bnan2nnN*,求数列 bn 的前 n 项和 Tn. 【答案】由 2 Snan1nN *可以得到 4Snan 1 2nN * n1 时, 4a1a11 2. a2 12a110,即 a11 n2时, 4an4Sn4Sn1an1 2an11 2a2 n a 2n1 2an2an1. a 2na 2n12an2an10 . anan 1 anan12

5、 0 an0anan12 故数列 an 是首项为 a11,公差为 d2 的等差数列,且an2n1nN* 2 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由知 bnan2 n2n1 2nTn 1 213 22 2n 3 2 n12 n1 2 n 就 2Tn1 223 23 2 n 3 2 n2 n1 2 n1 两式相减得：Tn 1 2 12 2 2 2 2 n2 n1 2 n1 22（1212 n）22n1 2n1 32n 2n1 6 Tn 2n3 2 n16或 Tn4n6 2 n6 5已知数列 an ,其前 n 项和

6、为 Sn32n 27 2nnN *求 a1,a2；求数列 an 的通项公式,并证明数列 an是等差数列；假如数列 bn 满意 anlog 2bn,请证明数列 bn 是等比数列,并求其前 n 项和 Tn. 【答案】a1S15,a1a2S22227 2213,解得 a28. 当 n2时,anSnSn13 2n2n 12 7 2nn1 3 22n17 2 3n2. 又 a15 满意 an3n2,an3n2nN *anan 1 3n23n12 3n2,nN*,数列 an 是以 5 为首项, 3 为公差的等差数列由已知得 bn2 ann N * ,nn1bn1 bn 2 2 an2an1 an238nN

7、*,3 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又 b12 a132,数列 bn 是以 32 为首项, 8 为公比的等比数列Tn32（1 8 18 n）32 7 8 n 16已知函数 fx2x x2,数列 an 满意： a14 3, an1 fan1 求证：数列 an为等差数列,并求数列 an 的通项公式；8 记 Sna1a2a2a3 anan1,求证： Sn 3. 【答案】证明： an1fan2an an2,an1 1 an1 2,即an1 1 an1 2,1 31 2n3 8 3. 就1 an成等差数列,所以

8、1 an1 a1n1 13n1 12n1,就 an2 4 2 44 2n1. anan14 2n14811 2n3,2n12n3Sna1a2 a2a3 anan1831 51 51 7 12n 11 2n 387已知数列 an 的前三项依次为证明an 2 n 是等差数列；2,8,24,且 an2an1 是等比数列试求数列 an 的前 n 项和 Sn 的公式【答案】a22a14,a32a28, an2an1 是以 2 为公比的等比数列an2an 142 n2 2n. 等式两边同除以 2n,得an 2 nan 1 2 n11,an 2 n 是等差数列依据 可知 an 2 na1 2n1 1n, a

9、nn2 n. Sn12222323 n2n, 2Sn1222 23 n1 2nn2n1. 得：4 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - Sn22223 2nn2n12（12 n）12n2n12n12n2n1,1 annN *Snn 1 2 n12. 8已知数列 an 的各项为正数,前n 项和为 Sn,且满意： Sn1 2 an证明：数列 S2n 是等差数列；设 Tn1 2S 211 2 2S 221 2 3S 23 1 2 nS 2n,求 Tn. 【答案】证明：当n1 时, a1S1,又 Sn1 2 an1 a

10、nnN*,S11 2 S11 S1,解得 S11. 当 n2时, anSnSn1,1 1Sn2 SnSn1SnSn 1,即 SnSn1SnSn1,化简得 S2 1 nS 2 n11,2 2 S n 是以 S 11 为首项, 1 为公差的等差数列由知 S2nn,Tn1 2S 2 12 1 2S 2 2 2 1 nS n,2即 Tn11 2 21 2 2 n1 1 2 n1n 1 2 n.1 2得1 2Tn 122 n1 1 nn 1 2 n1.得1 2Tn2 1 22 1 nn2 n1 11 12 11 2 nn1 2 n11 1 2 nn 1 2 n11n2 2 n1,12n2Tn 22 n

11、. 9数列 an 满意 a11,an1证明：1 a 2n是等差数列；1 a2n41nN *,记 Sna21a22 a2n. 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对任意的nN*,假如 S2n1Sn30恒成立,求正整数 mm 的最小值【答案】证明：a n1 1 n4. 1 n 1 2 1 n1 4. 1 n4n3,即1a 2n是等差数列令 gnS2n1Sn4n 1 14n 5 1 8n1. 1gn1gn0,gn在 n N*上单调递减, gn max g114 45.14 45m 30恒成立 . m28 3,bn15log

12、 3ant,常数 tN*. 又 mN,正整数m 的最小值为10. 10 已知数列 an是首项 a11,公比为1 的等比数列,设3 33 3求证： bn 为等差数列；设数列 cn 满意 cnanbn,是否存在正整数 求 k,t 的值；如不存在,请说明理由【答案】k,使 ck1,ck,ck2 成等比数列？如存在,证明： an3n 3,bn 1bn 15log3an1 5,an bn 是首项为 b1 t5,公差为 5 的等差数列cn5nt 3n 3,令 5nt x,就 cnxn 3,n2,cn1x5 3n1 3,cn2x10 3n2,3如 c2kcn1cn2,就 x3n 32x5 3n1x10 33

13、化简得 2x2 15x500,解得 x10 或5 2舍 ,进而求得 n1, t5,综上,存在 n1,t5 适合题意11 在数列 an中, a11,an 1 2an2n1. 设 bnan 1an2,nN*,证明：数列 bn 是等比数列；求数列 an 的通项 an. 6 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】由已知 an12an2n1 得 an22an12n3 ,得 an 2an12an12an2 设 an2an1c 2an1anc绽开与上式对比,得 c 2 因此,有 an2an122an1an2 由 bn

14、an1an2,得 bn12bn,由 a11, a22a135,得 b1a2a1 26,故数列 bn 是首项为 6,公比为 2 的等比数列 由知, bn62 n132n 就 an1anbn232 n2,所以 ana1a2 a1a3 a2 anan1 13 2123 222 3 2n12 1322223 2n12n 1 an32 n2n3,当 n1 时, a1321213651,故 a1 也满意上式 故数列 an 的通项为 an32 n2n3nN*12 在数列 an 中, a11 6,an1 2an11 2 1 nnN*且 n21 证明： an3 n 是等比数列；求数列 an 的通项公式；设 Sn

15、 为数列 an 的前 n 项和,求证 Sn1 2. 【答案】由已知,得an 11 3 n11 n 3（1 2an1 21 3 n1）31 n11 2 an1 3 n 是等比数列anan1 n 3设 Anan1 3 n,就 A1a1161 31 2,且 q1就 An 12 n,7 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - an3 1 n12 n,可得 an1 n1 n2 3Sn 1 2 1 13 1 1 2 2 13 2 1 2 n 13 n 1 2（1 1 n）3（1 1 n）11 2 11 31 2 1 n1 2

16、3 1 n1 223 26 n2nn 1213 已知数列 an满意 a12, an 12ann1nN *证明：数列 an n 是等比数列,并求出数列 an 的通项公式；数列 bn 满意： bn2an2nnN *,求数列 bn的前 n 项和 Sn. n【答案】证法一：由 an12ann1 可得 an1n12an n,又 a12,就 a111,数列 ann 是以 a111 为首项,且公比为 2 的等比数列,就 ann 12 n1, an2 n1n. 证法二：an 1（ n1）an n2ann1（ n1）ann2an2n 2,ann又 a12,就 a111,数列 ann 是以 a111 为首项,且公

17、比为 2 的等比数列,就 ann 12 n1, an2 n1n. bnn, bn2an2nnn 2 n1 21（1 2） nn1 2n11 n2an2nSnb1 b2 bn221 22 n1 2n1 2Sn 12 221 2 3 n1 1 2nn1 2n1由,得1 2Sn2 1 22 1 23 1 2 n n1 2 n11121 2n1,2Sn2n21 2n. 14 在数列 an 中, a11,2nan 1n1an,nN*. 8 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 bnan n,证明：数列 bn 是等比数

18、列；求数列 an 的前 n 项和 Sn. 【答案】由于 bn an1 n1an 1 2,bn 11所以 bn 是首项为 1,公比为 2的等比数列由可知an n2 n1,即 ann 2 n1,Sn12 3 22 4 23 n n1,上式两边乘以1 2,得12Sn2 2 2 3 2 3 n12 n1 n 2 n,两式相减,得1 2Sn12 1 2 1 2 3 12 n1 n 2n,1 2n2Sn22n,所以 Sn42n215 设数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 Sn1 an,其中 1,0. 证明：数列 an 是等比数列；设数列 an 的公比qf,数列 bn 满意 b11 2,bnfbn 1n

19、N *, n2,求数列 bn的通项公式【答案】由 Sn1 an. Sn11 an1n 2,相减得： an an an1,an1 an1n 2 ,数列 an 是等比数列f 1 , bn1 bn1. 1 bnbn1 11, 1 bn 是首项为 1 b1 2,公差为 1 的等差数列；1 bn2n1n1, bnn1. 116 在等差数列 an 中, a1030,a2050. 9 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求数列 an 的通项 an；令 bn2an10,证明：数列 bn 为等比数列；求数列 nbn的前 n 项

20、和 Tn. 【答案】由 ana1n1d, a1030,a2050,得方程组a19d30,解得 a112, d2. a119d50an12n1 22n10. n1 由得 bn2an102 2n101022n 4n,bn1 bn4 4 n4 bn 是首项是 4,公比 q4 的等比数列n 由 nbnn4 得： Tn14242 n4n 4Tn142 n1 4nn4n1 相减可得：3Tn442 4nn4n14（143n）n4n1Tn（ 3n1） 4n 14 917 已知 an 是等差数列,其前 求数列 an 的通项公式；n 项和为 Sn,已知 a311,S9153,设 anlog2bn,证明 bn是等比

21、数列,并求其前 n 项和 Tn. 【答案】a1 2d11 98 解得： d 3,a15, an3n2 9a12 d 153an1bn2 an,bn 1bn22 an 2an1 an238, bn 是公比为 8 的等比数列又 b12 a132, Tn32（18 18n）32 7 8 n118 在数列 an 中, a13,an2an1n 2n2,且 n N*求 a2,a3 的值；证明：数列 an n 是等比数列,并求 an 的通项公式；10 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求数列 an 的前 n 项和 Sn

22、. 【答案】a13,an2an1n2n2,且 nN *,a22a1226,a32a232 13. 证明：ann an1（ n1）（2an1n2） nan1n12an 12n2 an1n12,数列 ann 是首项为 a1 14,公比为 2 的等比数列ann42 n12n1,即 an2 n1n, an 的通项公式为 an2 n1nn N* an 的通项公式为 an2 n1nnN *,Sn222324 2n1123 n 22（12 12n）n（ n1）2*2n2n2 n8 2. 19 已知数列 an满意 a12, an 13an2nN求证：数列 an 1 是等比数列；求数列 an 的通项公式【答案】

23、证明：由 an13an2 得 an113an1,从而an11 an13,即数列 an1 是首项为 3,公比为 3 的等比数列由知, an133 n13n. an3 n 1. 20 已知数列 an满意 a12, an 14an2n1,Sn 为 an 的前 n 项和设 bnan2 n,证明数列 bn 是等比数列,并求数列 an的通项公式；设 Tn2 nSn,n 1,2,3, ,证明：n3 2. Ti i111 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】由于 bn1an12 n14an2 n1 2 n14an2

24、 n4bn,且 b1a1 24,所以 bn 是以 4 为首项,以 q4 为公比的等比数列所以 bnb1q n14n,所以 an4 n2n. Sna1a2 an44 2 4n22 2 2n 4 34 n1 22n11 32 n123 2n12 1 32 n112n122 32 n112n1,n n 1 1所以 TnSn3 2（ 2n 1 1）（ 2n 1）3 22 n12 n11,因此i1 nTi32i1 n2 n112 n113 12 21112 n11 2 011 4 026的 n 的最小值【答案】证明： b1S13 2 0,Sn1SnSn 3 n,即 Sn12Sn3 n,bn1bnSn13

25、Sn3 n1n2Sn3Sn 3 n13nn2 0,所以 bn 是等比数列13 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由知 bn2 n,就 cn1 log2bn1log 2bn21 的取值范畴（n1） （n2）11,n 2n1Tn1 21 n2,Tn1 21 n22 011 4 026,n2 011,即 nmin2 012. 25 已知数列 an满意： a11,an1an an 2nN* 求证：数列1 an 1 是等比数列；如bn 11 an1,且数列 bn 是单调递增数列,求实数n【答案】证明：an1 112

26、 an, 1 an112 1 an 1 ,1 1a112 0,所以数列 an1 是等比数列1 1 an12n,an2 n1,n 1 an12 n,bn12 nn,bn2 n1n1n 2,b1 适合,所以 bn2 n1n1nN *,由 bn1bn 得 2 n1n12 nn,n2, n2 min3, 的取值范畴为 |2 010 的 n 的最小值【答案】an13an2an1n 2,an1an2anan 1n 2a12,a24, a2a12 0,anan 1 0,14 / 18名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故数列 a

27、n1an 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,an1 an a2a12 n12n,ananan1 an1an2an 2an3 a2a1a12n1 2n2 2n3 212 2（12 n1）122 2nn 2又 a12 满意上式, an2 nnN*1 n 2由知 bn2（ an 1）2 11 an2 1an21 2 n1,Sn2n 12 1 1 1 2 2 1 2 n12n11 2 n2n2 11 2 n 2n 221 n1. 11 2由 Sn2 010 得：1 12n 22 n12 010 ,即 n2 n1 006,由于 n 为正整数,所以 n 的最小值为 1 006. 27 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,满意 Sn+2n=2an（I）证明：数列 a n+2 是等比数列,并求数列 a n 的通项公式 an；1（）如数列 b n满意 bn=log 2（an+2）,求数列 的前 n 项和 Tnb n【答案】（I）证明：由 Sn+2n=2an,得 Sn=2an 2n,当 nN*时, Sn=2an 2n,当 n=1 时, S1=2a1 2,就 a1=2,当 n2时, Sn 1=2an 1 2（n 1）, ,得 an=2an 2an 1 2,即 an=2an 1+2,15 / 1