2019届高考数学（北师大版文）大一轮复习讲义：第八章　立体几何与空间向量 第2讲　简单几何体的表面积与体积.2 .doc

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1、8.2简单几何体的面积与体积最新考纲考情考向分析了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.本部分是高考考查的重点内容，主要涉及简单几何体的面积与体积的计算命题形式以选择题与填空题为主，考查简单几何体的面积与体积的计算，涉及简单几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.柱、锥、台、球的表面

2、积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3知识拓展1与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.

3、题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)锥体的体积等于底面积与高之积()(3)球的体积之比等于半径比的平方()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差()(5)长方体既有外接球又有内切球()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()题组二教材改编2已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cm B2 cm C3 cm D. cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中

4、点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_答案147解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1abcabc，剩下的几何体的体积V2abcabcabc，所以V1V2147.题组三易错自纠4(2017西安一中月考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4C24 D34答案D解析由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为222121243.5(2016全国)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B. C8 D4答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为

5、4R2(2R)212，故选A.6(2018大连调研)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为_答案11解析由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆锥23，V半球23，所以V剩余V半球V圆锥，故剩余部分与挖去部分的体积之比为11.题型一求简单几何体的表面积1(2018届云南昆明一中摸底)一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图和俯视图均为边长等于2的正方形，则这个几何体的表面积为()A164B164C204D204答案D解析由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体的内部挖去一个底面边长为2的正四棱锥，

6、将三视图还原可得如图，可得其表面积为S52242204，故选D.2(2017黑龙江哈师大附中一模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.B.C13 D.答案C解析由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示则CC平面ABC，上、下底均为等腰直角三角形，ACBC，ACBC1，ACBCCC2，AB，AB2.棱台的上底面面积为11，下底面面积为222，梯形ACCA的面积为(12)23，梯形BCCB的面积为(12)23，过A作ADAC于点D，过D作DEAB，则ADCC2，DE为ABC斜边高的，DE，AE，梯形ABBA的面积为(2)，几何体的表面积S23313，故选C.思维升华简单

7、几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用题型二求简单几何体的体积命题点1以三视图为背景的几何体的体积典例 (2018届广雅中学、东华中学、河南名校联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.B88C.D.答案A解析根据三视图可知，几何体是个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为S224，高为2，所以三棱锥的体积V42

8、，故组合体的体积V23，故选A.命题点2求简单几何体的体积典例 (2018广州调研)已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1B1EDF的体积为_答案a3解析方法一如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1HB1D于点H.因为EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，EF?平面B1EDF，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离易知平面B1D1D平面B1EDF，又平面B1D1D平面B1EDFB1D，所以O1H平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1B1EDF的

9、高因为B1O1HB1DD1，所以O1Ha.所以S四边形BEDFO1HEFB1DO1Haaaa3.方法二连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D1a.由题意得，V四棱锥CBEDFV三棱锥BCEFV三棱锥DCEF(h1h2)a3.思维升华简单几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练

10、 (1)(2018届河南洛阳联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A2 B1C.D.答案C解析几何体如图，由三视图得底面为对角线为2的正方形，高为1，所以体积为2121，故选C.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B. C. D.答案A解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，取AD的中点O，连接GO，易得GO，SAGDSBHC1，多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱

11、锥EADGV三棱柱AGDBHC21.故选A.题型三与球有关的切、接问题典例 (2016全国)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B.C6 D.答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.引申探究1若将本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球体对角线BC1的长为球O的直径因此2R1

12、3.故S球4R2169.2若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积解如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，则球O的体积V球r33.思维升华简单几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解跟踪

13、训练 (2018届漯河高级中学模拟)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB2，BCCD1，BCD60，AB平面BCD，则球O的表面积为()A8 B.C.D.答案D解析如图，BCCD1，BCD60，底面BCD为等边三角形，取CD的中点E，连接BE，BCD的外心在BE上，设为G，取BC的中点F，连接GF，在RtBCE中，由CE，CBE30，得BFBC，又在RtBFG中，得BG，过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于点O，则O为四面体ABCD的外接球的球心，即ROB，AB平面BCD，OGBG，在RtBGO中，求得OB，球O的表面积为42.故选D.三视图(基本的、和球联系的)考点分析三视图是

14、高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积、体积等知识，所涉及的几何体既包括柱、锥、台、球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体典例1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A.B160C6432D60解析由题意知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，如图所示，其中直三棱柱的高为844，故V直三棱柱8432，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥164，故该几何体的体积VV直三棱柱V四棱锥32，故选A.答案A典例2某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为_解析如图所示，该组

15、合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为，所以该组合体的体积V(21)113.答案1(2018届山西名校联考)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为()A812 B816C912 D916答案B解析由三视图可知榫卯的榫为底边长为1，高为2的长方体，卯为底面半径为r2，高为2的中空的圆柱体，设表面积为S，侧面积为S12224288，上、下底面积的和为S22228

16、，则有SS1S2168，故选B.2(2018届贵州黔东南州联考)在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120(如图所示)，若将ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是()A.B.C.D.答案D解析由题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OAABcos 302，所以旋转体的体积为()2(OCOB).3(2018届广西柳州联考)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为()A932 B916C38 D316答案A解析R2，设截面圆M的半径为r，则R2R2r2，r23.所得截面的面积与球的体积比为，故选A.4(2017昆明质检)如图

17、所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A24 B30C42 D60答案A解析由三视图知，该几何体是半径为3的半球与底面半径为3、高为4的半圆锥的组合体，所以该几何体的体积V3332424，故选A.5(2018九江一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为()A642B84C66D624答案A解析直观图是四棱锥PABCD，如图所示，SPABSPADSPDC222，SPBC22sin 602，S四边形ABCD224，因此所求棱锥的表面积为642.故选A.6(2017广州市高中毕业班综合测试)九章算术中，将底面

18、为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A8 B12C20 D24答案C解析方法一将三棱锥PABC放入长方体中，如图(1)，三棱锥PABC的外接球就是长方体的外接球因为PAAB2，AC4，ABC为直角三角形，所以BC2.设外接球的半径为R，由题意可得(2R)22222(2)220，故R25，则球O的表面积为4R220，故选C.方法二利用鳖臑的特点求解，如图(2)，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相

19、等，即PC的中点为球心O，易得2RPC，所以球O的表面积为4R220，故选C.7现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_答案解析设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.8(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_答案解析设正方体棱长为a，则6a218，a.设球的半径为R，则由题意知2R3，R.故球的体积VR33.9.(2017南昌一模)如图所示，在直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC

20、，BC2CD2AD2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_答案(3)解析根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为2121212(3).10(2018长沙质检)如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则_.答案解析由水面高度升高r，得圆柱体积增加了R2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3R2r.故.11.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点

21、，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BEAC.而BDBEB，BD，BE?平面BED，所以AC平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)解设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.从而可得AE

22、ECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.12.(2018贵阳质检)如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB2，EB.(1)求证：DE平面ACD；(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值(1)证明四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC?平面ABC，DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，DC，AC?平面ADC，BC平面ADC.DEBC，DE平面ADC.(2)解DC平面ABC，BE平面ABC.在RtABE中，AB

23、2，EB.在RtABC中，ACx，BC(0x2)，SABCACBCx，V(x)V三棱锥EABCx(0x2)x2(4x2)24，当且仅当x24x2，即x时取等号，当x时，体积有最大值.13.(2017青岛模拟)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，NB2PN，则三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为()A12 B18C16 D13答案D解析设点P，N在平面ABCD内的射影分别为点P，N，则PP平面ABCD，NN平面ABCD，所以PPNN.连接BP，则在BPP中，由BN2PN，得.V三棱锥NPACV三棱锥PABCV三棱锥NABCSABCPPSABCNNSABC(PPNN)SABCPP

24、SABCPP，V三棱锥DPACV三棱锥PACDSACDPPSABCPP.V三棱锥NPACV三棱锥DPAC13.14(2017唐山统考)在三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A.B4C8 D20答案C解析由题意得，此三棱锥外接球即为以ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为ABC的外接圆半径r1，外接球球心到ABC的外接圆圆心的距离d1，所以外接球的半径R，所以三棱锥外接球的表面积S4R28，故选C.15(2017云南师范大学附属中学适应性考试)已知三棱锥OABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB120，

25、当AOC与BOC的面积之和最大时，三棱锥OABC的体积为()A.B.C.D.答案B解析设球O的半径为R，因为SAOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以当AOCBOC90时，SAOCSBOC取得最大值，此时OAOC.OBOC，OBOAO，OA，OB?平面AOB，所以OC平面AOB，所以V三棱锥OABCV三棱锥COABOCOAOBsinAOBR3sinAOB，故选B.16如图，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_答案解析设PDDAx，在ABC中，ABBC2，ABC120，AC2，CD2x，且ACB(180120)30，SBCDBCDCsinACB2(2x)(2x)要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x.则V四面体PBCD(2x)x(x)23，由于0x2，故当x时，V四面体PBCD取最大值为3.