2022年抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线及其性质【考纲说明】1、把握抛物线的简洁几何性质,能运用性质解决与抛物线有关问题；2、通过类比,找出抛物线与椭圆,双曲线的性质之间的区分与联系；【学问梳理】1抛物线定义 ：平面内到肯定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线2抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数 p 几何意义参数 p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔. 开口方向y右0左上下0标准方程22px p2 y2px p02 x2py p02 x2py p焦点位置X 正X 负Y 正Y 负焦点坐标p,0p,00,p0,p准线方程2R222Rxp 2xpypy

2、p 222范畴x0,yx0,yRy0,xRy0,x对称轴X 轴pX 轴Y 轴Y 轴p顶点坐标（0,0 ）离心率e1通径2p AFx 1pAFy 1p焦半径A x y 1AFx 1AFy 12222焦点弦长ABx 1x 2px 1x 2py 1y 2py 1y 2p焦点弦长AB以 AB 为直径的圆必与准线l 相切1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的补充如 AB 的倾斜角为,AB2pp2如 AB 的倾斜角为,就AB2pA x y 1 1sin22 cosB x 2,y 2x x 2y y 1 2p 2411AFBFA

3、B2AFBFAFBFAFBFp3抛物线y22pxp0 的几何性质：y 轴的右侧,1 范畴由于 p0,由方程可知x 0,所以抛物线在当 x 的值增大时, | y | 也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延长2 对称性：对称轴要看一次项,符号打算开口方向3 顶点（ 0,0）,离心率：e 1,焦点 F p ,0,准线 x p,焦准距 p2 24 焦点弦：抛物线 y 2 2 px p 0 的焦点弦 AB ,A x 1y 1 , B x 2y 2 , 就 | AB | x 1 x 2 p弦长 |AB|=x1+x2+p, 当 x1=x2 时,通径最短为 2p；4焦点弦的相关性质：焦点弦 AB ,A x

4、1y 1 , B x 2y 2 ,焦点 F p,0221 如 AB是抛物线 y 22 pxp 0 的焦点弦（过焦点的弦）,且 A x y ,B x 2 , y 2 ,就：xx 1 2 p,y y 1 2 p ；242 如 AB是抛物线 y 22 px p 0 的焦点弦,且直线 AB的倾斜角为 ,就 AB 2 P2（ 0）；sin3 已知直线 AB是过抛物线 y 22 px p 0 焦点 F, 1 1 AF BF AB 2AF BF AF BF AF BF p4 焦点弦中通径最短长为 2p；通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径5 两个相切： 1 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切 .

5、2 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切；5弦长公式：A x 1y 1,Bx2y 2是抛物线上两点,就11|y 1y2|ABx 1x 22y 1y 221k2|x 1x 2|k2【经典例题】（ 1）抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的全部点的集合 . 其离心率 e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中 . 由于这个美好的 1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章 . 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - -

6、- - - 【例 1】P 为抛物线y22px上任一点, F 为焦点,就以PF为直径的圆与y 轴（）A 相交B 相切C 相离D 位置由 P 确定lYpFP2=2pxX【解析】如图,抛物线的焦点为Fp,0,准线是2HQl:xp. 作 PH l 于 H,交 y 轴于 Q,那么 PFPH ,NM2且QHOFp. 作 MNy 轴于 N就 MN是梯形 PQOF的Op 2,02中位线,MN1OFPQ1PH1PF . 故以222:x = -y2PF为直径的圆与y 轴相切,选B. 【评注】相像的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论就分别是相离或相交的 . （ 2）焦点弦常考常新的亮点弦AA 1有关抛物线的试题,很多

7、都与它的焦点弦有关. 懂得并把握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮忙的. 【例 2】过抛物线y22pxp0的焦点 F 作直线交抛物线于A x y 1 1,B x 2,y 2两点,求证：（1）ABx 1x 2p （2）112AFBFp【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ,作lA BB 1l于B 1,就 AFAA 1x 1p,A 1YAx,y 1 12BFBB 1x 2p 2. 两式相加即得：ABx 1x 2pB 1F Bx,y 2 2X（2）当 ABx 轴时,有lAFBFp,112成立；AFBFp当 AB 与 x 轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为：ykxp. 代入抛物线方程：2k2xp2

8、2px. 化简得：2 k x2p k22xp2k20142方程（ 1）之二根为x1,x2,x1x2k2. 43 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1111x 11px 21px x 2x 1x 2pp2AFBFAA 1BB 1px 1x 22224x 1x2px 1x 2p2.2成立 . p2px 1x 2p2px 1x 2pp424211故不论弦 AB与 x 轴是否垂直,恒有AFBFp（ 3）切线抛物线与函数有缘k有关抛物线的很多试题,又与它的切线有关. 懂得并把握抛物线的切线方程,是解题者不行或缺的基本功. 【例

9、 3】证明：过抛物线y22px 上一点 M（ x0, y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】对方程y22px 两边取导数：2y y2p,yp. 切线的斜率yyxx 0p.由点斜式方程：yy0pxx 0y ypxpx0y21y0y002 y 02px ,代入（）即得：y0y=p（x+x 0）（ 4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在很多不不易发觉,却简洁为人疏忽的定点和定值.把握它们,在解题中常会有意想不到的收成. 例如： 1.一动圆的圆心在抛物线y28x上,且动圆恒与直线x20相切,就此动圆必过定点（）A . 4,0B . 2,0C . 0,2D . 0, 2y 2,那么：

10、y y 2p2明显 . 此题是例 1 的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选B. 2. 抛物线2 y2px 的通径长为2p；3. 设抛物线2 y2px 过焦点的弦两端分别为A x y 1,B x 2,以下再举一例【例 4】设抛物线y22px 的焦点弦 AB在其准线上的射影是A1B1,证明：以A1B1为直径的圆必过肯定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么A1B1=AB=2p,而 A1B1 与 AB的距离为 p,可知该圆必过抛物线的焦点 . 由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点,. 以下我们对AB的一般情形给于证明. 【证明】如图设焦点两端分别为A x y 1 1,B x 2y 2,4

11、名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 那么：y y 22 pCA 1CB 1y 1y 2p2.设抛物线的准线交x 轴于 C,那么CFp . . A 1YBFAXA FB1 中CF2CA 1CB 1. 故A FB 190M这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点C 通法特法妙法B1（ 1）解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去讨论几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例 5】（ 10. 四川文科卷 .10 题）已知抛物线y=-x2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点

12、MYl .B+y=XA、B,就 |AB|等于（）A.3 B.4C.32 D.42【分析】直线AB必与直线 x+y=0 垂直,且线段AB 的中点必在直线x+y=0 上,因得解法如下. . Ox【解析】点 A、B关于直线 x+y=0 对称,设直线 AB 的方程为： yxm .A0由yx2mx2xm301yx3设方程（ 1）之两根为x1,x2,就x 1x 21.设 AB的中点为 M（x 0,y 0）,就x0x 12x21. 代入 x+y=0：y0=1 2. 故有M1 1 ,2 22从而myx1. 直线 AB的方程为：yx1.方程（ 1）成为：x2x20.解得：x2,1,从而y1,2,故得： A（-2

13、 ,-1 ）,B（ 1,2）.AB3 2,选 C. （ 2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的进展,但伴之而来的却是难以防止的纷杂运算,这又使得很多考生对解析几何习题望而生畏 . 针对这种现状,人们讨论出多种使运算量大幅度削减的优秀方法,其中最有成效的就是几何法 . 【例 6】（ 11.全国 1 卷 .11 题） 抛物线 y 24 x的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AK ,垂足为 K ,就AKF 的面积（）YA 4 B 3 3 C 4 3 D 8 K A【解析】如图直线 AF 的斜率为 3 时 AFX=6

14、0 . 60M O F1,0 X AFK为正三角形 . 设准线 l 交 x 轴于 M,就 FM p 2,L:x=-1Y 2=2px5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 且 KFM=60 ,KF4,SAKF3424 3. 选 C. 4【评注】（1）平面几何学问：边长为a 的正三角形的. 虽不是很难,但决没有如上面积用公式S32 a 运算 . A 的坐标,再运算正三角形的边长和面积4（2）此题假如用解析法,需先列方程组求点的几何法简洁 . （ 3）定义法追本求真的简洁一着很多解析几何习题咋看起来很难. 但假如返朴归真,用

15、最原始的定义去做,反而特殊简洁. 【例 7】（ 07. 湖北卷 .7 题）双曲线2 2C 1 : x2 y2 1 a 0,b 0 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别为 1F 和 F ；抛物线 C 的线为 l ,焦点为a bF 2；C 1 与 C 的一个交点为 M ,就 F F 2 MF 1等于（）MF 1 MF 2A 1 B1 C1 D12 2【分析】这道题假如用解析法去做,运算会特殊纷杂,而平面几何学问又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去查找出路吧 . 如图,我们先做必要的预备工作：设双曲线的半焦距 c,离心率为e,作 MHl于H,令1. |F1 -c , 0eH r1yxMF 1r

16、1,MF 2r .点 M 在抛物线上,2r2Mx,y r2MHMF2r 2,故MF 1MF 1r 1e,MHMF 2r 2l:xOF2c,0这就是说：|MF 1|的实质是离心率e. = -a2c|MF2|其次,|F F 2|与离心率 e 有什么关系？留意到：|MF 1|F F 22 ce2 ae r 1r 2e11eMF 1r 1e11 .选 A. r 1r 1e|MF 1这样,最终的答案就自然浮出水面了：由于|F F 2|MF 1|MF 2|6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 4）三角法本身也是一种解析三角学

17、隐藏着丰富的解题资源 . 利用三角手段,可以比较简洁地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数,然后依据各种三角关系实施“ 九九归一” 达到解题目的 . 因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化运算 . A【例 8】（09. 重庆文科 .21 题）如图, 倾斜角为 a 的直线经过M抛物线y28 x的焦点 F,且与抛物线交于A、B 两点；（）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（）如 a 为锐角,作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点 P,证明 |FP|-|FP|cos2a 为定值,并求此定值；【解析】（）焦点F（2,0）,准线l x2. （）直线AB ：yt

18、anx21 .xy2代入（ 1）,整理得：y2 tan8y16tan028设方程（ 2）之二根为y1,y2,就y 1y 28. tany 1y 216设 AB中点为Mx 0,y 0,就y 0y 12y 244cot2tanx 0coty 04cot22. 2AB的垂直平分线方程是：y4cotcotx4cot2令 y=0,就x4cot26,有P4cot26,02故FPOPOF4cot2624 cot214cos于是 |FP|-|FP|cos2a=2 4csc1cos22 4csc2sin28 ,故为定值 .（ 5）消去法合理减负的常用方法.防止解析几何中的纷杂运算,是革新、创新的永恒课题 兵法上

19、所说的“ 不战而屈人之兵”. . 其中最值得举荐的优秀方法之一便是设而不求,它类似【例 9】是否存在同时满意以下两条件的直线l ：（ 1）l 与抛物线y28 x有两个不同的交点A和 B；（2）线段 AB被直线1l ：x+5y-5=0 垂直平分 . 如不存在,说明理由,如存在,求出直线l 的方程 . 【解析】假定在抛物线y28x上存在这样的两点A x 1,y 1,B x 2,y 2. 就有：7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 y 18x 1y 1y2y 1y28x 1x2kABy 1y 2y 18y 2y2 28

20、x 2x 1x 2线段 AB被直线 1l ： x+5y-5=0 垂直平分,且 k l 1 1,k AB 5,即 855 y 1 y 28y 1 y 2 .5设线段 AB的中点为 M x 0,y 0,就 y 0 y 1 y 2 4. 代入 x+5y-5=0 得 x=1. 于是：2 5AB中点为 M 1,4 . 故存在符合题设条件的直线,其方程为：5y 4 5 x 1,即：25 x 5 y 21 05（ 6）探究法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题,初看起来好像“ 树高荫深,叫樵夫难以下手”. 这时就得冷静分析,探究规律,不断地猜想证明再猜想再证明 . 最终发觉“ 无限风光在险峰”. 【例

21、10】（10. 安徽卷 .14 题）如图,抛物线 y=- x 2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A,将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1,P2, ,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 Q1,Q2, , Qn-1,从而得到 n-1 个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, , Qn-1Pn-1Pn-1,当 n时,这些三角形的面积之和的极限为 .【解析】OA 1, 图中每个直角三角形的底边长均为 1n2设 OA 上第 k 个分点为 P k k, 代入 y x 21：y 1 k2 .n n第 k 个三角形的面积为：a k 1 1 1 k2 .2 n n2 2 21 1 2 n 1 n 1 4 n 1S n 1 n 1 2 2 . 2 n n 12 n故这些三角形的面积之和的极限 S limn n 112 n 42 n 112 1 lim 1n 1n 4 1n 138 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页