2018版高中数学人教B版选修2-1学案：3.1.3 两个向量的数量积 .docx

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1、3.1.3两个向量的数量积学习目标1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直知识点一两个向量的数量积思考1如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法思考2等边ABC中，与的夹角是多少？梳理(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积(或内积)，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b_交

2、换律ab_分配律(ab)c_知识点二两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则_叫做向量a与b的夹角，记作a，b(2)范围：a，b_.特别地：当a，b_时，ab.知识点三两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则ab_若a与b同向，则ab_；若反向，则ab_.特别地，aa_或|a|若为a，b的夹角，则cos _|ab|a|b|类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量数量积的基本运算例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明p2q2(pq)2；|pq|pq|p2q2|；若a与(ab)c(ac)b均不为0，则它们垂

3、直(2)设a，b120，|a|3，|b|4，求：ab；(3a2b)(a2b)反思与感悟(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于()A. B.C. D4命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点试计算：(1)；(2)；(3).反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量

4、，而不是向量零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1，求：(1)( )()；(2)|.类型二利用数量积求夹角或模命题角度1利用数量积求夹角例3已知BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法 跟踪训练3已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA.求证：lPA.命题角度2利用数量积求模(或距离)例4如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA

5、13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可跟踪训练4如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，求A，D两点间的距离类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题例5如图，在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC.反思与感悟(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否

6、为0来判断两直线是否垂直(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练5已知向量a，b满足：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_1已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于()A14 B. C4 D22在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是()A. B.C. D.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60.其中真命题的个数为()A1 B2 C3 D04已知a，b为两个非零空间向量，若|a|2，|b|，ab

7、，则a，b_.5已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_1空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算2在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入ab|a|b|cosa，b求解提醒：完成作业第三章3.1.3答案精析问题导学知识点一思考1，|cos，|cos，84cos 13586cos 120

8、2416.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算思考2120.梳理(2)(ab)baacbc知识点二(1)AOB(2)0，知识点三ab0|a|b|a|b|a|2题型探究例1(1)解此命题不正确p2q2|p|2|q|2，而(pq)2(|p|q|cosp，q)2|p|2|q|2cos2p，q，当且仅当pq时，p2q2(pq)2.此命题不正确|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq，pq|，当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|pq|.此命题正确a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(

9、ac)(ab)(ac)0，且a与(ab)c(ac)b均为非零向量，a与(ab)c(ac)b垂直(2)解ab|a|b|cosa，b，ab34cos 1206.(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|2，(3a2b)(a2b)39434()41627246461.跟踪训练1C例2解如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)b(ca)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.跟踪训练2解(1)()()()()()( 2)1211cos 60211cos 6011cos

10、 6012211cos 601.(2)| .例3解如图所示，()().ABBC，BB1AB，BB1BC，0，0，0且a2.a2.又|cos，cos，.又，0，180，120，又异面直线所成的角是锐角或直角，异面直线BA1与AC所成的角为60. 跟踪训练3证明如图，取直线l的方向向量a，同时取向量，.因为lOA，所以a0.因为PO，且l，所以lPO，因此a0.又因为aa()aa0， 所以lPA.例4解因为，所以2()22222()因为BAD90，BAA1DAA160，所以，90，60，所以21492(13cos 6023cos 60)23.因为2|2，所以|223，|，即AC1.跟踪训练4解，|2()2|2|2|2222122(22cos 9022cos 12022cos 90)8，|2，即A，D两点间的距离为2.例5证明因为OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB，所以AOCAOB.又()|cosAOC|cosAOB0，所以，即OABC.跟踪训练545当堂训练1B2.D3.B4.5.