2019届高考数学大一轮复习讲义：第四章　三角函数、解三角形 第3讲　三角函数的图像与性质.3 .doc

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1、4.3三角函数的图像与性质最新考纲考情考向分析1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysin x，x0,2的图像中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(

2、2，0)(2)在余弦函数ycos x，x0,2的图像中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图像定义域RR xk值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无知识拓展1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若f(x)Asin(x)(A，0)，则：(1)f(x)为偶函数的充要条件

3、是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限上是增函数()(2)由sinsin知，是正弦函数ysin x(xR)的一个周期()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin|x|是偶函数()题组二教材改编2函数f(x)cos的最小正周期是答案3y3sin在区间上的值域是答案解析当x时，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域为.4ytan 2x的定义域是答案解析由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义

4、域是.题组三易错自纠5函数f(x)sin的图像的一条对称轴是()AxBxCxDx答案C解析正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，则x.6函数ytan的递减区间为答案(kZ)解析因为ytan x的递增区间为(kZ)，所以由k2xk，kZ，得xcos 23cos 97解析sin 68cos 22，又ycos x在0，180上是减函数，sin 68cos 23cos 97.题型一三角函数的定义域和值域1函数f(x)2tan的定义域是()A.B.C.D.答案D解析由正切函数的定义域，得2xk，kZ，即x(kZ)，故选D.2函数y的定义域为答案(kZ)解析方法一

5、要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图像，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图像，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)所以定义域为.3函数y2sin x1，x的值域是答案(2,1解析当x时，1sin x0，kZ，得k0，所以.引申探究本例中，若已知0，函数f(x)cos在上是增加的，则的取值范围是答案解析函数ycos x的递增区间为2k，2k，kZ，则kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.思维升

6、华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解跟踪训练 (2017济南模拟)若函数f(x)sin x(0)在区间上是增加的，在区间上是减少的，则等于()A.B.C2 D3答案B解析由已知得，T，.题型三三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点1三角函数的周期性典例 (1)(2017湘西自治州模拟)已知函数f(x)sin(x)(0)的最小正周期为，则f等于()A.BC.D答案

7、A解析T，2，f(x)sinsin 2x，fsin .(2)若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为答案2或3解析由题意得，12，k2k，即k，又kZ，k2或3.命题点2三角函数的奇偶性典例 (2017银川模拟)函数f(x)3sin，(0，)满足f(|x|)f(x)，则的值为答案解析由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，f(0)3sin3，k，kZ，又0，.命题点3三角函数图像的对称性典例 (1)下列函数的最小正周期为且图像关于直线x对称的是()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin答案B解析由yf(x)的最小正周期为，可排除C；其图像关于直线x对称，根据选

8、项，则f2或2，可排除A，D.故选B.(2)(2016全国改编)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图像的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为答案9解析因为x为f(x)的零点，x为f(x)的图像的对称轴，所以，即T，所以2k1(kN)，又因为f(x)在上单调，所以，即12，若11，又|，则，此时，f(x)sin，f(x)在上是增加的，在上是减少的，不满足条件若9，又|，则，此时，f(x)sin，满足f(x)在上单调的条件由此得的最大值为9.思维升华 (1)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点(2)求三角

9、函数周期的方法利用周期函数的定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.跟踪训练 (1)(2017大连模拟)函数f(x)2cos(x)(0)对任意x都有ff，则f等于()A2或0 B2或2C0 D2或0答案B解析由题意，知x为函数f(x)的一条对称轴，f2.(2)若将函数f(x)sin的图像向右平移个单位长度后与原函数的图像关于x轴对称，则的最小正值是答案3解析若将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后与原函数的图像关于x轴对称，则平移的大小最小为，所以，即Tmax，所以当T时，min3.三角函数的图像与性质考点分析纵观近年高考中三角函数的试题

10、，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分典例 (1)(2017全国)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图像关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在上是减少的答案D解析A项，因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确；B项，因为f(x)cos图像的对称轴为直线xk(kZ)，所以yf(x)的图像关于直线x对称，B项正确；C项，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为

11、x，C项正确；D项，因为f(x)cos的递减区间为(kZ)，递增区间为(kZ)，所以是f(x)的递减区间，是f(x)的递增区间，D项错误故选D.(2)函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的递减区间为答案，kZ解析由图像知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为答案解析记f(x)的最小正周期为T.由题意知，又fff，且，可作出示意图如图所示(一种情况)：x1，x2，x2x1，T.1(2017广州五校联考)下列函数中，周期为的奇函数为()Aysin xcos xB

12、ysin2xCytan 2xDysin 2xcos 2x答案A解析ysin xcos xsin 2x，周期为，且是奇函数2函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1 B C. D0答案B解析由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.故选B.3函数ysin x2的图像是()答案D解析函数ysin x2为偶函数，排除A，C；又当x时函数取得最大值，排除B，故选D.4(2017成都诊断)函数ycos2x2sin x的最大值与最小值分别为()A3，1 B3，2 C2，1 D2，2答案D解析ycos2x2sin x1sin2x2sin xsin2x2sin x1，令tsin

13、 x，则t1,1，yt22t1(t1)22，所以ymax2，ymin2.5已知函数f(x)2sin(2x)的图像过点(0，)，则f(x)图像的一个对称中心是()A.B.C.D.答案B解析函数f(x)2sin(2x)的图像过点(0，)，则f(0)2sin ，sin ，又|，则f(x)2sin，令2xk(kZ)，则x(kZ)，当k0时，x，是函数f(x)的图像的一个对称中心6已知函数f(x)2sin(2x)(|)，若f2，则f(x)的一个递减区间是()A.B.C.D.答案C解析由f2，得f2sin2sin2，所以sin1.因为|0时，a33，b5；当a0)在区间上的最小值是2，则的最小值为()A.

14、 B. C2 D3答案B解析0，x，x.由已知条件知或，.的最小值为.14已知关于x的方程2sin1a0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是答案2,3)解析sin在上存在两个根，设xt，则t，ysin t，t的图像与直线y有两个交点，1，2a3.15已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有ff(x)恒成立，且f1，则实数b的值为()A1 B3C1或3 D3答案C解析由ff(x)可知函数f(x)2cos(x)b关于直线x对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故2b1，b1或b3.16已知f(x)Asin(x)的最小正周期为2，且当x时，f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在m，使xm是函数f(x)的对称轴？如果存在，求出m；如果不存在，请说明理由解(1)由已知得2，f(x)的最大值为2，A2.又A2，且f2sin2，2k(kZ)，2k，kZ，又|，.f(x)2sin.(2)由xk，得xk(kZ), 即函数f(x)的对称轴为xk(kZ)由k，得k，又kZ，k5，此时的对称轴为x，故在闭区间上存在实数m，使xm是函数f(x)的对称轴