2022年椭圆题型归纳大全 .pdf

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1、第1页椭圆典型题型归纳题型一 . 定义及其应用例 1. 已知一个动圆与圆22: (4)100Cxy相内切，且过点(4,0)A， 求这个动圆圆心M的轨迹方程；例 2. 方程223 (1)(1)22xyxy所表示的曲线是练习 ：1. 方程2222(3)(3)6xyxy对应的图形是（）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2. 方程2222(3)(3)10 xyxy对应的图形是（）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3. 方程2222(3)(3)10 xyxy成立的充要条件是（）A. 2212516xy B.221259xy C. 2211625xy D. 221925xy4. 如果方程2

2、222()()1xymxymm表示椭圆，则m的取值范围是5. 过椭圆22941xy的一个焦点1F的直线与椭圆相交于,A B两点，则,A B两点与椭圆的另一个焦点2F构成的2ABF的周长等于；6. 设圆22(1)25xy的圆心为C，(1,0)A是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为；题型二 . 椭圆的方程（一）由方程研究曲线例 1. 方程2211625xy的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例 2. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3 倍，并且过点(3,0)P，求椭圆的方程；名师资料总结 - - -精品

3、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第2页（三）用待定系数法求方程例 3. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1( 6,1)P、2(3,2)P，求椭圆的方程；例 4. 求经过点(2,3)且与椭圆229436xy有共同焦点的椭圆方程；注：一般地， 与椭圆22221xyab共焦点的椭圆可设其方程为222221()xykbakbk；（四）定义法求轨迹方程；例 5. 在ABC中，,A B C所对的三边分别为, ,a b c，且( 1,

4、0),(1,0)BC， 求满足bac且, ,b a c成等差数列时顶点A的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；例 6. 已知x轴上一定点(1,0)A，Q为椭圆2214xy上任一点，求AQ的中点M的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例 7. 设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于,A B两点，点P是直线l上满足1PA PBg的点，求点P的轨迹方程；（七）列方程组求方程例 8. 中心在原点，一焦点为(0,50)F的椭圆被直线32yx截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程；题型三 . 焦点三角形问题例 1. 已知椭圆2211625xy上一点P的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F、1

5、F，求1PF、2PF及12cosF PF；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第3页题型四 . 椭圆的几何性质例 1. 已知P是椭圆22221xyab上的点，的纵坐标为53，1F、2F分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则12PFPFg的最大值与最小值之差为例 2. 椭圆22221xyab(0)ab的四个顶点为,A B C D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例 3. 若椭圆22114xy

6、k的离心率为12，则k；例 4. 若P为椭圆22221(0)xyabab上一点，1F、2F为其两个焦点， 且01215PF F，02175PF F，则椭圆的离心率为题型五 . 求范围例 1. 方程22221(1)xymm表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m的取值范围；题型六 . 椭圆的第二定义的应用例 1. 方程222 (1)(1)2xyxy所表示的曲线是例 2. 求经过点(1,2)M，以y轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程；例 3. 椭圆221259xy上有一点P，它到左准线的距离等于52，那么P到右焦点的距离为例 4已知椭圆13422yx，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点

7、M，使它到左准线的距离为它到两焦点12,FF距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第4页例 5已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点求223PFPA的最小值及对应的点P的坐标题型七 . 求离心率例 1.椭圆22221xyab(0)ab的左焦点为1(,0)Fc，(,0)Aa，(0, )Bb是两个顶点

8、，如果1F到直线AB的距离为7b，则椭圆的离心率e例 2. 若P为椭圆22221(0)xyabab上一点，1F、2F为其两个焦点，且12PF F，212PF F，则椭圆的离心率为例3.1F、2F为椭圆的两个焦点，过2F的直线交椭圆于,P Q两点，1PFPQ，且1PFPQ，则椭圆的离心率为；题型八 . 椭圆参数方程的应用例1. 椭圆22143xy上的点P到直线270 xy的距离最大时，点P的坐标例 2. 方程22sincos1xy(0) 表示焦点在y轴上的椭圆， 求的取值范围；题型九 . 直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例 1.当m为何值时，直线:lyxm与椭圆22916144xy相切

9、、相交、相离？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第5页yxOABP例 2. 曲线22222xya（0a）与连结( 1,1)A，(2,3)B的线段没有公共点，求a的取值范围。例 3. 过点)0,3(P作直线l与椭圆223412xy相交于,A B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设l的方程为)3(0 xky，则要求l的斜率一定要存在，但在这里l的斜率有可能不存在，因

10、此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线l的方程为3myx，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。解：设1122(,),(,)A x yB xy，l：3myx)(3|)|(|3|21|21212121yyyyyOPyOPSAOB把3myx代入椭圆方程得：0124)332(3222ymyym，即0336)43(22myym，4336221mmyy，433221myy481444314312)43(108|22222221xmmmmyy3)13(133443133443394222222mmmmmm23234133133422mmm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

11、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第6页3223S，此时1331322mm36m令直线的倾角为，则36tan26即OAB面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为26。例4. 求 直 线cossin2xy和 椭 圆2236xy有 公 共 点 时 ，的 取 值 范 围(0)。（二）弦长问题例 1. 已知椭圆22212xy，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为3134，求点A的坐标。分析： 若直线ykxb与圆锥曲线( ,

12、)0f x y相交于两点11(,)P xy、22(,)Q xy，则弦PQ的长度的计算公式为|11|1|212212yykxxkPQ，而21221214)(|xxxxxx， 因 此 只 要 把 直 线ykxb的 方 程 代 入 圆 锥 曲 线( , )0f x y方程，消去y（或x） ，结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。解： 设0(,0)A x（00 x） ， 则直线l的方程为0yxx， 设直线l与椭圆相交于11(,)P x y、22(,)Q xy，由022212yxxxy，可得2200342120 xx xx，34021xxx，31222021xxx，则202020212212123

13、63234889164)(|xxxxxxxxx|13144212xxx，即202363223144x204x，又00 x，02x，(2,0)A；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第7页例 2. 椭圆221axby与直线1xy相交于,A B两点，C是AB的中点，若22| AB，O为坐标原点，OC的斜率为22，求,a b的值。例 3. 椭圆1204522yx的焦点分别是1F和2F，过中心O作直线与椭圆交于,A B两点

14、，若2ABF的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例 1. 已知椭圆221164xy，过点(2,0)P能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P；例 2. 已知一直线与椭圆224936xy相交于,A B两点，弦AB的中点坐标为(1,1)M，求直线AB的方程；例 3. 椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率32e,过点( 1,0)C的直线l与椭圆E相交于,A B两点，且C 分有向线段AB的比为 2.（1）用直线l的斜率(0)k k表示OAB的面积；（2）当OAB的面积最大时，求椭圆E 的方程解： （1）设椭圆E的方程为12222byax，由23cea， a2=3b2名师资料总结 -

15、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第8页故椭圆方程22233xyb；设1122(,),(,)A xyB xy，由于点( 1,0)C分有向线段AB的比为 20321322121yyxx，即21212)1(21yyxx由) 1(33222xkybyx消去 y 整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0 由直线 l 与椭圆 E 相交于1122(,),(,)A x yB xy两点13331360)23)(13(436222

16、2122212224kbkxxkkxxbkkk而122222211333| 2| (1)|1|22222OABSyyyyyk xkx由得 :222131xk，代入得：23|(0)31OABkSkk. （2）因23|33313122 33|OABkSkkk, 当且仅当,33kOABS取得最大值此时121xx，又12213xx，121,2xx；将12,x x及213k代入得 3b2=5，椭圆方程2235xy例 4. 已知11022(,),(1,),(,)A x yByC xy是椭圆22143xy上的三点，F为椭圆的左焦点，且,AFBFCF成等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。名

17、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第9页（四）关于直线对称问题例 1. 已知椭圆22143xy，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4yxm对称；例 2. 已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率322e，试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同两点,A B，且线段AB恰被直线21x平分？若存在，求出直线l倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。题型十 . 最值问题例 1 若( 2,3)P，

18、2F为椭圆1162522yx的右焦点，点 M 在椭圆上移动， 求2MPMF的最大值和最小值。分析：欲求2MPMF的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义212MFaMF, 1F为椭圆的左焦点。解：212MPMFMPaMF，连接1PF，延长1PF交椭圆于点M1,延长1F P交椭圆于点2M由三角形三边关系知111PFMPMFPF当且仅当M与1M重合时取右等号、M与2M重合时取左等号。因为1210,2aPF，所以2max()12MPMF, 2min()8MPMF；结论 1：设椭圆12222byax的左右焦点分别为12,FF,00(,)P xy为椭圆内一点，( , )M x y为F2F

19、1M1M2 o 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第10页椭圆上任意一点，则2MPMF的最大值为12aPF,最小值为12aPF；例 2( 2,6)P,2F为椭圆1162522yx的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MPMF的最大值和最小值。分析：点P在椭圆外，2PF交椭圆于M，此点使2MPMF值最小，求最大值方法同例1。解：212MPMFMPaMF，连接1PF并延长交椭圆于点M1，则 M 在 M1处时1MPMF取最

20、大值1PF；2MPMF最大值是10+37，最小值是41。结论 2 设椭圆12222byax的左右焦点分别为12,FF，00(,)P xy为椭圆外一点，( , )M x y为椭圆上任意一点，则2MPMF的最大值为12aPF，最小值为2PF; 2.二次函数法例 3求定点( ,0)A a到椭圆12222byax上的点之间的最短距离。分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA，转化为, x y的函数求最小值。解：设( ,)P x y为椭圆上任意一点，222222211()()1(2 )122PAxayxaxxaa由椭圆方程知x的取值范围是2,2（1）若22a，则2xa时，2min1PAa（2）若

21、22a,则2x时min2PAa（3）若22a,则min2PAa结论 3：椭圆12222byax上的点( , )M x y到定点 A(m,0) 或 B(0,n) 距离的最值问题，可以用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第11页两点间距离公式表示MA 或 MB ，通过动点在椭圆上消去y 或 x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法例 4求椭圆14222yx上的点( ,)M x y到直线:24l

22、xy的距离的最值；解：三角换元245xyd14222yx令Ryxsincos2则2cos2sin422 sin()2455d当sin()14时min4 52 105d；当sin()14时,max4 52 105d结论 4： 若椭圆12222byax上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例 4 的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线:20m xyc将2xyc代入椭圆方程整理得228440ycyc，由 =0 解得2 2c, 2 2c时直线:2220m xy与椭圆切于点P

23、，则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m与l的距离，所以min4 52 105d；22c时直线:22 20m xy与椭圆切于点Q，则 Q 到直线 l 的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m 与 l 的距离，所以max4 52 105d。结论 5： 椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。例 5. 已知定点( 2,3)A，点F为椭圆2211612xy的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求2AMMF的最小值，并求此时点M的坐标；（第二定义的应用）名师资料总结 - - -精品资料欢迎

24、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第12页例 3已知1F、2F分别为椭圆22110064xy的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为(2,6)，P为椭圆上的一个动点，试分别求：（1）253PMPF的最小值；（2）2PMPF的取值范围解： （1）443，此时点P为过点M且垂直于l的线段与椭圆的交点；（2）由椭圆的定义知1220PFPF，故2120PMPFPMPF，1110PMPFMF，故230PMPF（当且仅当P为有向线段1MF的延长线与椭圆的交点时取“

25、 =”） ；1110PFPMMF，故2120()10PMPFPFPM; （当且仅当P为有向线段1MF的反向延长线与椭圆的交点时取“ =”）综上可知，2PMPF的取值范围为10,30; 题型十一 .轨迹问题例 1到两定点(2,1)，( 2,2)的距离之和为定值5 的点的轨迹是( ) A椭圆双曲线直线线段例 2已知点(3,0)A，点P在圆221xy的上半圆周上 (即 y0)，AOP 的平分线交PA于 Q，求点 Q 的轨迹方程。例 3.已知圆22:(3)100Cxy及点( 3,0)A，P是圆 C 上任一点，线段PA的垂直平分线 l 与 PC 相交于 Q 点，求 Q 点的轨迹方程。题型十二 . 椭圆与数形结合例 1关于x的方程22220 xkxk有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围 . 例 2求函数246tt的最值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -