2022年数值计算方法期末复习答案终结版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、名词说明* *1误差 ：设 *x 为精确值 x 的一个近似值, 称 e x x x 为近似值 *x 的肯定误差, 简称误差；2有效数字： 有效数字是近似值的一种表示方法,它既能表示近似值的大小,又能表示其精确程度；假如近似值 *x 的误差限是 1 10 n ,就称 *x 精确到小数点后 n 位,2并从第一个不是零的数字到这一位的全部数字均称为有效数字；3. 算法： 是指解题方案的精确而完整的描述,是一系列解决问题的清楚指令,算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制；运算一个数学问题,需要预先设计好由已知数据运算问题结果的运算次序,这就是

2、算法；4. 向量范数： 设对任意向量xn R ,按肯定的规章有一实数与之对应,记为|x|,如 |x 满足（1） | x | 0,且 | x | 0 当且仅当 x 0；（2）对任意实数,都有 | x | | | | x |；n（3）对任意 x y R ,都有 | x y | | x | | y |就称 | x | 为向量 x 的范数；5. 插值法： 给出函数 f x 的一些样点值,选定一个便于运算的函数形式,如多项式、分段线性函数及三角多项式等,要求它通过已知样点,由此确定函数 x 作为 f x 的近似的方法；6 相对误差： 设*x 为精确值 x 的一个近似值,称肯定误差与精确值之比为近似值A|

3、*x 的相对误；如 |A|满差,记为re x*,即e r* x* e xx7. 矩阵范数： 对任意 n 阶方阵 A,按肯定的规章有一实数与之对应,记为|足（1）|A| 0,且 |A| 0当且仅当A0；A|A|B ；|Ax|是一种矩（2）对任意实数,都有 |A| |A ；（3）对任意两个 n 阶方阵 A,B,都有 |AB| |（4）|AB| |A|B|max x 0称|A|为矩阵 A 的范数；8 算子范数 ：设 A 为 n 阶方阵, | |是n R 中的向量范数,就|x|阵范数,称其为由向量范数| | 诱导出的矩阵范数,也称算子范数；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10

4、页精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 矩阵范数与向量范数的相容性：对任意 n 维向量 x ,都有|Ax| |A|x|这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性；10. 1范数,范数和2范数：| 2 xn（1）1范数| | x1 | |x i |（2）范数i1| | x| |1i n m a x |（3）2范数| | x2 | |2 x 12 x 2n二、简答题 1高斯消元法的思想是：先逐次消去变量,将方程组化成同解的上三角形方程组,此过程 称为消元过程；然后按方程相反次序求解上三角形方程组,得到原方程组的解,此过程称为 回代过程；2. 迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列

5、,即建立一种从已有近似解运算新的近似解得规章,由不同的运算规章得到不同的迭代法；3. 雅可比（ Jacobi）迭代法的运算过程（算法） ：（1）输入Aaij,bb 1,b n,维数 n,x0x 10,x20,x n0,最大容许迭代次数 N；（2）置k1,nx ibijn1 0 a x i j j / ai i（3）对i1,2,（4）如x0 xkji,输出 x 停机；否就转 5；（5） kN ,置1k x ix i0 i1,2, n ,转 3,否就,输出失败信息,停机；4. 插值多项式的误差估量： （P102）由R n fn1 n1 fn1 xx0xx 1xxnn1.n1.当xx i0,1, n

6、 时,上式自然成立,因此,上式对 , a b 上的任意点都成立,这就叫插值多项式的误差估量；名师归纳总结 - - - - - - -5. 反幂法的基本思想： 设 A 为阶非奇特矩阵, u 为 A 的特点值和相应的特点向量,就A1的特点值是 A 的特点值的倒数,而相应的特点向量不变,即第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - A1u1u因此,如对矩阵A1用幂法,即可运算出1 A 的按模最大的特点值,其倒数恰为 A 的按模最小的特点值；6. 雅可比（ Jacobi）迭代法是： 选取初始向量x0代入迭代公式 ixk1 Bxkgk0 , 1 , 2 ,产生向量序列x ,

7、由上述运算过程所给出的迭代法；7. 数值运算中应留意的问题是：（1）防止两个相近的数相减（2）防止大数“ 吃” 小数的现象（3）防止除数的肯定值远小于被除数的肯定值（4）要简化运算,削减运算次数,提高效率（5）选用数值稳固性好的算法名师归纳总结 - - - - - - -8. 高斯消去法的运算量： 由消去法步骤知,在进行第k 次消元时,需作除法nk 次,乘法nk nk1次,故消元过程中乘除运算总量为乘法次数n1nknk1n2 n1除法次数n1nknn1k13k12在回代过程中,运算x 需要 nk1次乘除法,整个回代过程需要乘除运算的总量为n1nk1nn1,所以,高斯消去法的乘除总运算量为k2N

8、n2 n1nn1nn1n3n2n322339. 迭代法的收敛条件： 对任意初始向量x0和右端项 g ,由迭代格式xk1Mxkgk0 , 1 , 2 ,产生的向量序列xk收敛的充要条件是M1；10. 迭代法的误差估量： 设有迭代格式 xk1Mx g,如 |M| 1,x 收敛于*x ,就有误差估量式| xk* x|M|K|x1x0|；1 |M第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、运算题1. 假定运算中数据都精确到两位小数,试求x*1.21 3.659.81的肯定误差限和相对误差限,运算结果有几位有效数字？e x 1 x 2 e x 1 e x 2 e x x

9、 2 x e x 1 x e x 2 解：由式e x r 1 x 2 x 1 x 1x 2 e x r 1 x 1 x 2x 2 e x r 2 和e x x 2 e x 1 e x 2 得*e x 3.65 e 1.21 1.21 e 3.65 e 9.81由于式中数据都精确到两位小数,即其误差限均为 110 2,故有2*| e x | 3.65 | 1.21 | 1.21 | 3.65 | | 9.81 |1 23.65 1.21 1 10 0.02932* | e x | 0.0293| e r x | * 0.0054| x | 5.3935所以,*x 的肯定误差限为 0.0293,相

10、对误差限为 0.0054,运算结果有两位有效数字；2 2 32. 求矩阵 A 4 7 7 的三角分解；2 4 5u 1 j a 1 j j 1,2, , i 1解：由式 u ij a ij l u kj i 2, , , n j i , , k 1j 1l ij a ij l u kj / u jj j 1,2, , n 1, i j 1, , k 1,u 12 a 12 2,u 13 a 13 34 2l 21 a 21 / u 11 2,l 31 a 31 / u 11 12 2u 22 a 22 l u 21 12 7 2 2 3,u 23 a 23 l u 13 7 2 3 1l 32

11、 a 32 l u 12 / u 22 4 1 2 / 3 2u 33 a 33 l u 31 13 l u 23 5 1 3 2 1 6所以名师归纳总结 A100223第 4 页,共 10 页210031121006- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3用幂法（k2）求矩阵A2 0 01 2 10 1 2的按模最大的特点值和相应的特点向量；取x00,0,0T. （P77）ylnx 的值分别是2.3026,2.3979, 解：y0x00,0,1T1 xAy00,1,2T, 2y1x10,T 0.5,12 xAy10.5,2,2.5T,2. 54. 已知函

12、数ylnx , x 的值是 10,11,12,13,14 对应的2.4849, 2.5649, 2.6391；用 Lagrange 线性插值求 ln11.5 的近似值；解：取两个节点x 011,x 112,插值基函数为l1 xx0x11l0 xx 1x12由式1 y0xx 0x 1x 1x0x 1y1xx 0得x 0x 1x 1x 02.4849x11L 1 2.3979x12将 x=11.5 代入,即得按式R n fn1 ln11.5L 111.52.39790.52.48490.52.4414n1 a b 得n1.由于lnx 1,R x lnxx11x122.在 11 和 12 之间,故x

13、210.0082645|lnx|122 11于是名师归纳总结 |R 111.5 |10.00826450.50.51.03306 103第 5 页,共 10 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10x 1x 22x 3725. 用 Jacobi迭代法（k1）求解线性方程组jn1x 1 10x22x 383. 解：由 Jacobi迭代法得运算公式 x ik11x 1x25x 342b ia x得a iija iij i取x00,0,0T,代入上式得 x 1k10.1 x 20.2x 7.23xk10.1 x 1k0.2 x 38.32 x 3k10.2

14、 x 10.2 x 28.41x 12x 12x 22x 37.2 1 x 28 . 3x 1 8 . 430.1 8.30.2 8.47.29.710.1 7.20.28.48.310.700.27.20.28.38.411.50111,争论用 Jacobi迭代法求解的收敛性；6. 设有方程组Axb,其中A22 1112 121122解：由于 A 为对称矩阵,且其各阶主子式皆大于零,故 A 为对称正定矩阵, A 不是弱对角占优阵,故不能判别 Jacobi迭代的收敛性；易算出 Jacobi迭代法的迭代矩阵为0 1 12 21 1 1B I D A 02 21 1 02 2其特点方程名师归纳总结

15、 |IB|111313第 6 页,共 10 页22121244122- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12 102有根121,31,因而 1；由向量序列x 收敛的充要条件是B1,故2Jacobi迭代法不收敛；2 0 01 2 10 1 2接近 2.93 的特点值,并求相应的特点向量,取7用反幂法（k1）求矩阵Ax00,0,0T. ylnx 的值分别是2.3026,2.3979, 解：对A2.93 I 作三角分解得0.9310A2.93I00.931010.931000 . 9 31001000 . 9 31011000.9310.930.938. 已知

16、函数ylnx , x 的值是10,11,12,13,14 对应的2.4849, 2.5649, 2.6391；用 Lagrange 抛物线插值求 ln11.5 的近似值；解：取x 011,x 112,x213,插值多项式为L 2 2.3979x12x132.4849x11x132.5649x11x1211 12111312111213131113 121.19895x12x132.4849x11x131.28245x11x12所以ln11.5L211.5 1.52.484920.5 1.51.282450.5 0.52.4422751.19895 0.5由于lnx 2,于是20.150310x

17、311 max | ln x 13x |3 11因此用抛物线插值法运算的误差为名师归纳总结 |R 211.5 | lnx| 11.51111.51211.513 |第 7 页,共 10 页3.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10.1503 1020.5 0.51.59.39381056查表可得 ln11.5 2.442347三、证明题m1. 如x的近似值x 0. a a 2a n 10 a 1 0 有n位有效数字,就 110 n 1为其相对误差2 a 1限；反之,如x的相对误差限 r 满意 r 110 n 1,就x至少具有n位有效数字；2 a 1 1

18、证明：由式 | x x *| 110 m n得2* * 1 m n| e x | | x x | 102从而有| e x r * | | e x* *| 12 10 m nm 110 n 1x 0. a a 1 2 a n 10 2 a 1所以 110 n 1是 *x 的相对误差限；2 a 1*如 r 110 n 1,由式 | e x r * | | e x* | r 得2 a 1 1 x* * * m| e x | | x e x | 0. a a 2 a n 10 rm 1 1 n 1 1 m n a 1 1 10 10 102 a 1 1 2由式 | x x *| 110 m n,x 至

19、少有 n 位有效数字；*22. 设 x 0 , x 1 , x n 为 n 1 个互异节点, , i 0,1, ,n 为这组点上的 Lagrange 插值基函数,n试证明 l i 1；i 0证明：上式的左端为插值基函数的线性组合,其组合系数均为 1；明显,函数 f x 1 在这nn+1 个节点处取值均为 1,即 y i f x i 1 i 0 , 1 , n ,由式 L n y l i i x 知,它的 ni 0次 Lagrange插值多项式为Ln inli 0对任意 x,插值余项为名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - -

20、 R n f x Ln fn1 n1 0n1.所以n ALnxlixf x13 设A为任意n阶方阵,i0为任意由向量范数诱导出的矩阵范数,就证明：对 A 的任一特点值i及相应的特点向量iu ,都有|iu|i|ui| |iui| |Aui| |A由于iu 为非零向量,于是有|i| | | A| |A 1；由i的任意性即得A| | A| |4. 设A为n阶方阵,就 lim kk A0的充分必要条件为证明：必要性；如由相关定义得1,取01lim kAk0|A | | K,存在一种矩阵范数,k l i m | |k| |而 A KAK 于是由极限存在准就,有A l i m kk 所以 1； 0,由 |

21、A充分性；如A2使得而|k A| |A|k,于是|A|Ak | |1A1|2k l i m | | k0k l i m | |所以l i m k A k五、应用题名师归纳总结 - - - - - - -1. 平面桁架是由刚性元件通过结点相互联结而组成的力学结构,它通常显现在桥梁结构和其他需要力学支撑的结构中；如图是一个简洁的静力桁架结构,其中刚性元件（m5）通过第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 结 点A B C D 相 连 ； 求 各 个 结 点 的 合 力 方 程 , 并 求 出 当3,6外 部 负 荷g 1 250 N g 2 1500 N 时,求各

22、个节点内力；解：设五个刚性元件的内力为 f 1 , f 2 , , f 5 ,它们都处理为压力,假如解是负的,说明该力是张力；桁架的左边由固定结点A 支撑,右边由滑轮 D 支撑,f6,f7,f 是外部支撑力,g 1,g2是外部负荷；由于在静力平稳时,每个结点处的水平方向合力与垂直方向的合力为零,那么有结点 Af 1cosf 2f7f600结点 Bf 1cosf4cosg 10f 1sin0f 1sinf3f4sin0结点 Cf2f5结点 Df4cosf50f3g 20f4sinf80设 f 表示未知力向量,上述方程组可用矩阵表示为如取3,6cos10001000sin00000100cos00cos0000g 1sin01sin0000f001001000000100000g 2000cos10000000sin00010,外部负荷g1250N g21500N ；采纳列主元素法,得各结点的内力如下：名师归纳总结 f 1174,837,1500,966.5,837, 250,1017, 483.3T第 10 页,共 10 页- - - - - - -