2022年恒成立的不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载恒成立的不等式一恒成立的不等式的定义不等式恒成立： 不等式对给定区间上的全部的值都成立,上恒成立二恒成立的不等式的性质就称此不等式在给定区间名师归纳总结 a fx 恒成立 afmaxx a fx 恒成立 a fmaxx 第 1 页,共 10 页a fx 恒成立 a fminx a fx 恒成立 a fminx ex1: 已知不等式x1x2a对一切 xR的值都成立,求实数a 的取值范畴解：x1x2x1x2 3（x1x2min=3 不等式x1x2a对一切 xR的值都成立 afx （afmaxx （a0,函数 fx=x3-ax 在,

2、1上是单调增函数, 就 a 的最大值是 （）（A） 0 B1 C2 D3 名师归纳总结 2已知函数 f x=loga ax2x+1 在1 ,23 上恒正, 就实数 a 的取值范畴是 （2 ）第 2 页,共 10 页A 1 ,28 B 9（3 ,+ 2） C.1 ,28 （93 ,+ 2） D1 ,+ 23设函数fxx21ax,其中a0；I 解不等式fx 1；fx在区间,0上是单调函数；II求 a 的取值范畴,使函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4如定义在R上的函数 fx精品资料欢迎下载上是增函数；为奇函数,且在0, 求证： fx 在,0 上也是增函

3、数；cos 23 f2 msin0恒成立； 对任意R ,求实数 m,使不等式f2对于大于 1 的正整数n 恒成立,试确5 已知不等式n11n1211logaa12 n123定 a 的取值范畴 . 6设命题 p：函数 f x lg ax 2x 1a 的定义域为 R；命题 q ：不等式162 x 1 1 ax 对一切正实数均成立 . 假如命题 p 或 q 为真命题,命题 p且 q 为假命题,求实数 a 的取值范畴 . 7设函数 f x 是定义在 R上的函数, 对任意实数 m、n,都有 f m f n f m n ,且当 x 0 时 , f x 1 .（）证明（ 1）f 0=1; （2）当 x 0

4、时 0, f x ;1（3）f x 是 R上的减函数；（）假如对任意实数 x 、y 有 , f x 2 f y 2 f axy 恒成立,求实数 a 的取值范畴 . x8设 a R , f x 为奇函数,且 f 2 x a 4x a 2 .4 1（I ）试求 f x 的反函数 f 1（x）的解析式及 f 1 x 的定义域；（II ）设 g x log 2 1k x, 如 x 12 , 23 时 , f 1 x g x 恒成立,求实数 k 的取值范畴 . 9、已知函数 f x 的图象与函数 h x x 1 2 的图象关于点 A（0,1）对称 . x（1）求 f x 的解析式；（2）如 g x =

5、f x + a ,且 g x 在区间 （0, 2 上为减函数, 求实数 a 的取值范畴 . x10某城市 2001 年末汽车保有量为30 万辆,估计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6 %,并且每年新增汽车数量相同；为爱护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万量,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？11.名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 n 2. 假如 fx 当x - ,1 时有意义 , 求a的取值范畴 ; 13已知向量ax2,x1 ,b 1x ,t,如函数fx ab在区间（ 1,1）上

6、是增函数,求t 的取值范畴 . 111axx21a2恒成立, 求实数 a 的取值14已知x01,时,不等式13ax222范畴；15已知x2y22x2y10,如不论x,y为何实数均有xyk0,求 k的最大值；16如不等式 2 x 2 3 xy a x y 对一切正数 x、 y 恒成立,求实数 a 的取值范畴 . 17 定义在 R上的奇函数 fx 是减函数 , 是否存在这样的实数 m,使2fcos +2msin +f-2m-2f0 对全部的0, 均成立 .如存在 , 就2求出全部适合条件的实数 三；一次不等式恒成立的解法m;如不存在 , 试说明理由 . 名师归纳总结 （1）fx=kx+b0在 ,

7、上恒成立f0b 的最小值为第 4 页,共 10 页f0（2）fx=kx+b0在, 上恒成立f0f0（3）fx=kx+b0在, 上恒成立如f0f0（4）fx=kx+b0在, 上恒成立f0f0ex3.1函数fx3x2 b2 ,x1,1 ,fx 1恒成立,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：函数fx3x2b2,x精品资料如欢迎下载1恒成立其充要条件是：1,1 ,fxf 1 1f 1 1由f-1=2b-5 1, 得b 3 由f1=2b+1 1, 得 b 0 综合得 b 3即b的最小值为 3 2 已知关于 x 的函数 y log 2 x 1 log a 2b

8、 6 log 2 x log a b log 2 x 1,其中a ,0 a ,1 b 0,如当 x 在区间 2,1 内任意取值时,y 的值恒为正,求 b 的取值范畴；解：ylog2b6logab1log2xloga2b1,令ulog2x,就u1,0,a就有yfuloga2b6logab1uloga2b1,于是问题转化为：当u01,时,yfu0恒成立,求 b 的取值范畴；由于yfu是关于 u 的一次函数, 就当u0 1,时,yfu0恒成立的充要条件是f0loga2b10,解得1logab1；f16logab203所以当a1时,1b3a； 当0a1 时,3ab1；aa练习 2：1设奇函数fx在 1

9、,1上是增函数, 且f1 ,1如函数fx t22at1对全部的x1,1都成立,当a1,1 时,就 t 的取值范畴是A2t22 或t0B1t122Ct2 或tDt1或t1或t0222已知 f x 是定义在 1,1上的函数,且0 时,有f af b 0. abf 1=1, 如 a, b 1,1 , a- b1 判定函数 f x 在 1,1上是增函数,仍是减函数,并证明你的结论；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）解不等式： f x+精品资料1; 欢迎下载1 f 2x13 如 f x m 22pm+1 对全部 x

10、1,1 , p 1,1 p 是常数 恒成立,求实数 m的取值范畴 . 3、对任意a1,1 , 函数fx x2a4 x42 a的值总大于0, 就 x 的取值范畴是 A.x|1x3 B.x|x1 或x3 C.x|1x2D .x|x1 或x2 四二次不等式恒成立的解法名师归纳总结 1 ax2+bx+c0 在 R上恒成立a0或a0第 6 页,共 10 页b00c02 ax2+bx+c0 在, 上恒成立a0或a00或a00或a00bbf02a2afff0ex5: 设函数 fx=x , gx=x+a. 1 点（ fx,gx ）到直线 x+y-1=0 的距离的最小值为2 ,求实数a 的值2a0 时,如不等式

11、fxagx 1在 x1,4上恒成立,求实数a 的取值范畴；fx 解：（1）由题意得点M到直线xy10 的距离d|xx2a1|,令 tx,就t0. d|t2t2a1|t122a5|a21|;24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当tx0 时,d最小精品资料|欢迎下载a1舍,a3|a12,解得2即2 由fx agx 11fx agx 1 得:0agx2t,14上恒成立 . 00fxfxfxaxa22在x,14上恒成立,也就是axa22x在xx令tatx,就t0且xt2. 依题意at22ta20,在,12上恒成立 1 2 aa 2aa24设t22 ta2,就

12、要使上述条件成立,只需：24解得：0a221 ,即满意题意的a 的取值范畴是0a221ex6: 设对全部实数 x, 不等式恒成立 , 求 a 的取值范畴 . 解: 由题意得化简为z6-z6, 或z0, z3, 综合 , 得 z0, 解,得 a的取值范畴： 0a0 , 如 函 数x 4 xF x 1 f x g x 有最小值 m,且 m2+ 7 , 求 a 的取值范畴 . a8.如函数 f x mx 2mx 1 的定义域为 R,就 m 的取值范畴是 _ 9. 如不等式 x 2-m4xy- y 2+4m 2y 0 对一切非负实数 x、y 恒成立,试求实数 m的取 2值范畴10. 如函数 f x s

13、in 2 x 2 a sin x 1 a 的定义域为 R,求实数 a 的取值范畴 . 11. 已知 |x-5/2|a 时,不等式 |x 2-5| 4 恒成立,求正数 a 的取值范畴 . 五利用函数的图象,数形结合利用某些代数式的几何含义,结合图形讨论；名师归纳总结 ex7.1设 函 数fxax24x,gx 4x1, 已 知x,40 , 时 恒 有2y2=log ax 3y y1=x-1fxgx,求 a 的取值范畴 . 讲解 : 由fx gx 实施移项技巧 ,得2 x4x4x1a ,令C:yx24x ,L:y4x1a , 331 2 从而只要求直线L 不在半圆 C 下方时 , 直线 L 的 y

14、截距的最小值 . x 当直线与半圆相切时,易求得a5 a5舍去） . o 第 9 页,共 10 页3故a5 时 ,fxgx . 2 当 x1,2时,不等式 x-12log ax 恒成立,求a 的取值范畴；分析：如将不等号两边分别设成两个函数,就左边为二次函数,图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载象是抛物线,右边为常见的对数函数的图象,故可以通过图象求解；解：设 y 1=x-1 2,y2=log ax,就 y 1 的图象为右图所示的抛物线,要使对一切x 1,2,y11,并且必需也只需当 x=2 时 y2 的函数值大于等于y 1的函数值；

15、故 loga21,a1, 1a 2.说明： 本例的求解在于 实施移项技巧 , 关键在于构造新的函数 , 进而通过解几模型进行推懂得题 , 当中 , 渗透着数形结合的数学思想方法 , 显示明白题思维转换的敏捷性和流畅性 . 强调 : 数形结合未必肯定要画出图形 , 但图形早已在你的心中了 , 这或许是解题才能的提升 , 仍请三思而后行 . 练习：1、如不等式 3 x 2log a x 0 在 x 0 , 1 时恒成立,就实数 a 的取值范畴是3A： ,0 1 B： 1, 1 C： 0 , 1 D： 1, 127 27 27 272、如对实数 x 10, 恒有 log mx 2,就实数 m的取值范

16、畴是 _ ；3已知 f x ax 22 bx 4 c , a , b , c R .（1）如 a+c=0, fx 在 2,2 上的最大值为 2 ,最小值为 1 ,求证：| b | 2 . 3 2 a（2）当 b4,c3 时,对于给定的负数 a,有一个最大的正数 Ma 使得 x 0 ,4Ma 时都有 | f x | 5,问 a 为何值时 Ma最大,并求出这个最大值 Ma ,证明你的结论；名师归纳总结 4 已知函数f x 1x g x 2mxm .第 10 页,共 10 页（ 1）当m=1 时,解不等式fxgx；（ 2）假如对满意m1的一切实数 m ,都有f x g x,求 x 的取值范畴；5.如x ,12 时,不等式x1 2logax恒成立,就 a 的取值范畴是- - - - - - -