2022年数学建模课后习题作业.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料 欢迎下载选修课数学建模部分习题具体解答【陈文滨】1、在稳固的椅子问题中,如设椅子的四脚连线呈长方形,结论如何？【模型假设】（1）椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处视为一点,四脚的连线呈长方形（2）地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会显现间断 没有像台阶那样的情形 ,即从数学的角度看,地面是连续曲面这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地为保证这一点,要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言, 地面是相对平整的由于在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内,假如显现深沟或凸峰 即使是连续变化的

2、 ,此时三只脚是无法同时着地的；【模型建立】在上述假设下,解决问题的关键在于挑选合适的变量,把椅子四只脚同时着地表示出来第一,引入合适的变量来表示椅子位置的移动生活体会告知我们,要把椅子通过挪动放稳,通常有拖动或转动椅子两种方法,也就是数学上所说的平移与旋转变换然而,平移椅子后问题的条件没有发生本质变化,所以用平移的方法是不能解决问题的于是可尝试将椅子就地旋转,并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形留意到椅脚连线呈长方形,长方形是中心对称图形,绕它的对称中心旋转180 度后, 椅子仍在原地把长方形绕它的对称中心O旋转,这可以表示椅子位置的转变；于是,旋转角名师归纳总结 度 这一变量就表示了

3、椅子的位置为此,在平面上建立直角坐标系来解决问题第 1 页,共 33 页如下图所示,设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC所在的直线为x 轴,对称中心O为原点, 建立平面直角坐标系椅子绕 O点沿逆时针方向旋转角度后,长方形 ABCD转至- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A1B1C1D1 的位置,这样就可以用旋转角学习资料欢迎下载O旋转 后的位 （0 ）表示出椅子绕点置其次,把椅脚是否着地用数学形式表示出来我们知道,当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地 由于椅子在不同的位置是的函数, 因此, 椅脚与地面的竖直距离

4、也是的函数由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是 的函数而由假设3 可知,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于任意的 ,其函数值至少有三个同时为 0因此,只需引入两个距离函数即可考虑到长方形 ABCD是中心对称图形, 绕其对称中心 O 沿逆时针方向旋转 180 后, 长方形位置不变,但 A,C 和 B,D 对换了因此,记 A、B两脚与地面竖直距离之和为 f （ ）, C、D两脚与地面竖直距离之和为g（ ）,其中 0 , ,从而将原问题数学化；数学模型：已知 f（ ）和 g（ ）是 的非负连续函数,对任意 ,f （ ）.g 0,证明：存在 00 , ,使得 f

5、 （ 0） g（ 0） 0 成立；【模型求解】假如 f （ 0） g（0） 0,那么结论成立；假如 f （ 0）与 g（ 0）不同时为零,不妨设 f （ 0） 0,g（0） 0；这时,将长方形 ABCD绕点 O逆时针旋转角度 后,点 A,B 分别与 C,D互换,但长方形 ABCD在地面上所处的位置不变,由此可知,f （ ） g（0）, g（ ） f （0）. 而由 f （0） 0,g（0） 0,得g（ ） 0, f （ ） 0；令 h（ ） f g（ ）,由 f 和 g 的连续性知h 也是连续函数；又 h（0） f0g（0） 0,h（ ） f g（ ） 0, 依据连续函数介值定理,必存在 0（

6、 0, ）使得 h（ 0） 0,即 f （ 0） g（ 0） ；又由于 f （ 0）.g（ 0） 0,所以 f （ 0） g（ 0） 0；于是,椅子的四只脚同时着 地,放稳了；【模型争论】用函数的观点来解决问题,引入合适的函数是关键本模型的奇妙之处就在于用变量 表 示椅子的位置,用 的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离运用这个模型,不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳,子放稳而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料 欢迎下载2、人、狗、鸡、米均要过河,船需要人划,

7、另外至多仍能载一物,而当人不在时,狗要吃鸡,鸡要吃米；问人、狗、鸡、米怎样过河【模型假设】人带着猫、鸡、米过河,从左岸到右岸,船除了需要人划之外,只能载猫、鸡、米三者之一,人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米；试设计一个安全过河方案,使渡河次数尽量地少；【符号说明】X ：代表人的状态,人在该左岸或船上取值为 1,否就为 0；X ：代表猫的状态,猫在该左岸或船上取值为 1,否就为 0；X ：代表鸡的状态,鸡在该左岸或船上取值为 1,否就为 0；X ：代表米的状态,米在该左岸或船上取值为 1,否就为 0；S K X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ：状态向量,代表时刻 K左岸的状态；D K X 1

8、 , X 2 , X 3 , X 4 ：决策向量,代表时刻 K 船上的状态；【模型建立】限制条件：X10X2X 321,1,1,10,0,0,0X3X42初始状态：S 01,1,1,1, D00,0,0,0目标：确定有效状态集合,使得在有限步内左岸状态由【模型求解】依据乘法原理,四维向量 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 共有 2 416 种情形,依据限制条件可以排除0,1,1,1,0,1,0,1,0,0,1,1三种情形, 其余 13 种情形可以归入两个集合进行匹配,易知可行决策集仅有五个元素：D 1,1,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0 , 状

9、态集有 8 个元素,将其进行匹配,共有两种运输方案：方案一：人先带鸡过河,然后人再回左岸,把米带过右岸,人再把鸡运回左岸,人再把猫带名师归纳总结 过右岸,最终人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；第 3 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料 欢迎下载方案二：人先带鸡过河,然后人再回左岸,把猫带过右岸,人再把鸡运回左岸,人再把米带过右岸,最终人回来把鸡带去右岸（状态见表 2）；表 1：方案一的状态与决策时刻0左岸状态S K船上DK）K（1,1,1,1）（ 0,0,0,0K1（0,1,0,1）（ 1,0,1,0）K2（1,1,0,1）（

10、1,0,0,0）K3（0,1,0,0）（ 1,0,0,1）K4（1,1,1,0）（ 1,0,1,0）K5（0,0,1,0）（ 1,1,0,0）K6（1,0,1,0）（ 1,0,0,0）K7（0,0,0,0）（ 1,0,1,0）表 2：方案二的状态与决策时刻 左岸状态 S K 船上 D KK 0（1,1,1,1）（ 0,0,0,0）K 1（0,1,0,1）（ 1,0,1,0）K 2（1,1,0,1）（ 1,0,0,0）K 3（0,0,0,1）（ 1,1,0,0）K 4（1,0,1,1）（ 1,0,1,0）K 5（0,0,1,0）（ 1,0,0,1）K 6（1,0,1,0）（ 1,0,0,0）K

11、7（0,0,0,0）（ 1,0,1,0）3、 报童每天早晨从报社购进报纸零售,晚上将没有卖完的报纸退回；设每份报纸的购进价为,零售价为,退回价为,应当自然地假设；这就是说,报童售出一份报纸赚,退回一份报名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料 欢迎下载纸赔；报童假如每天购进的报纸太少,不够卖的,会少赚钱；假如购进太多,卖不完,将要赔钱；请你为报童筹划一下,他应当如何确定每天购进报纸的数量,以获得最大的收入；【符号说明】报纸具有时效性每份报纸进价b 元,卖出价 a 元,卖不完退回份报纸c 元；设每日的订购量为 n,

12、假如订购的多了,报纸剩下会造成铺张,甚至陪钱；订的少了,报纸不够卖,又会少赚钱；为了获得最大效益,现在要确定最优订购量 n；n 的意义； n 是每天购进报纸的数量,确定n 一方面可以使报童长期以内拥有一个稳固的收入,另一方面也可以让报社确定每日的印刷量,防止纸张铺张；所以,笔者认为 n 的意义是 双重的；此题就是让我们依据a、 b、c 及 r 来确定每日进购数n；【模型假设】1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同,所以要确定每日的订购量 n；2、假设报纸每日的需求量是r ,但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟,毫无体会,无法把握需求量 r 的分布函数 , 只知道每份报纸的进价 b、售价

13、a 及退回价 c；3、假设每日的定购量是 n；4、报童的目的是尽可能的多赚钱；【模型建立】应当依据需求量 r 确定需求量 n,而需求量 r 是随机的,所以这是一个风险决策问题；而报童却由于自身的局限,无法把握每日需求量的分布规律,已确定优化模型的目标函数；但是要得到 n 值,我们可以从卖报纸的结果入手,n 值；结合 r 与 n 的量化关系, 从实际动身最终确定由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、 赔钱会有三种结果；现在用简洁的数学式表示这三种结果；1、赚钱；赚钱又可分为两种情形 : rn ,就最终收益为 a-bn 1 r0 整理得： r/nb-c/a-c 2 2、由 2 式简洁得出不赚

14、钱不赔钱；r/n=b-c/a-c 3 3、赔钱；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料欢迎下载4 r/nbc, 可得 a-ca-b ,而a-b恰好是卖一份报纸赚得的钱；然后采纳放缩法,把2 式中的 a-c换成 a-b ,得到r/nb-c/a-b 5 不等式依旧成立；由5 式再结合 1 式可知收益与n 正相关, 所以要想使订购数n 的份数越多, 报童每份报纸赔钱 b-c 与赚钱 a-b 的比值就应越小； 当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小,订购数就应越多；5、赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船,分

15、单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种；各种艇虽大小不同,但外形相像；现在考虑八人艇分重量级组（桨手体重不超过 86kg）和轻量级组（桨手体重不超过 73kg）,建立模型说明重量级组的成果比轻量级组大约好 5%；【符号说明】名师归纳总结 符号意义第 6 页,共 33 页l艇长b艇宽P总功率- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A学习资料欢迎下载艇排水体积W 艇与浆手总重W 0 赛艇净重W 1 重量级浆手重量W 2 轻量级浆手总重s 艇的浸没面积V 1 重量级艇速V 2 轻量级艇速F 艇前进时受到的阻力1t 重量级赛艇成果（时间）2t 轻量级赛艇成果（时间）比例

16、常数【模型假设】1l/b 为常数,赛艇净重W 与浆手数目成正比,即W 08；2赛艇前进时收到阻力与2 sv 成正比；3. 每个浆手竞赛时划桨功率保持不变,且功率与体重成正比；【模型建立】克服阻力做功功率为Fs,因此总功率满意PFv ,且Fsv PW ,我们用量纲法进t行建模：对于重量级八人赛艇：名师归纳总结 P 1FV 1 第 7 页,共 33 页F 12 sV 1 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料 欢迎下载P 1 W 3 由上述各式有：W 13 sV 1,因此V 1W 11 4 3s2且已知sA 5 W W 1w ；又赛艇总重WW 08

17、 W ; 由于假设 2 可知：W 08w（ w 为常数）,因此有我们如下定义：1W 1w 6 W 1从而W1 W 7 依据阿基米德定律AW , 依据（ 7）式：A1 W 8 将（ 8）式代入（ 5）式中有：s1 W 12 9 3将（ 9）式代入（ 4）式中有：V 112W 11 10 9321由于 V 与 t 成反比,有：t 119W 13 11 21同理,对于轻量级快艇,我们有：t 229W 23 12 结合（ 11）与（ 12）式,我们可以知道两种快艇成果比值的关系：t 112W 11（13）93t 22W 2【模型求解】依据（ 13）式,我们有重量级八人赛艇比轻量级八人赛艇的成果领先率为

18、：t 1t1112W 1115193t2W 2221W 1w9W 19t2W 2wW 2我们令 W1=86kg,W2=73kg 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在1t 113861学习资料欢迎下载；0.5615.61%2 非常接近 1 时,t27375.6%,在wW wW 的情形下,t 1186910.13613.6%；t273模型求解的结果说明86kg 重量级 8 人赛艇的成果至少可以73kg 比轻量级赛艇成果好成果提升的上限约为13%；【模型争论】这个模求解结果说明,各个参赛选手训练,协作水平相近的情形下,对

19、于浆手数量相同的赛艇竞赛,有以下途径提升成果：在竞赛许可范畴内增加运动员体重；尽可能削减赛艇重量；这也说明白为什么赛艇项目是西方发达国家的传统强项,由于这些国家普遍生活水平高,远动员身体素养较好,体重较大； 而且这些国家科技比较发达,对于制作赛艇的新材料研制走在了世界前列,其赛艇重量比一般国家要轻；7、 假定人口的增长听从这样的规律：时刻t 的人口为x t, 单位时间内人口的增量与xmxt成正比 （其中xm为最大容量） . 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较. 【模型建立】现考察某地区的人口数,记时刻t 的人口数为xt（一般xt是很大的整数）, 且设xt为

20、连续可微函数 . 又设xt| t0x0. 任给时刻t准时间增量t , 由于单位时间内人口增长量与xmxt成正比 , 假设其比例系数为常数r . 就t到tt内人口的增量为：xttxtrxmxtt. 【模型求解】名师归纳总结 两边除以t , 并令t0, 得到第 9 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dxrxmx 解为x txm学习资料欢迎下载rtdtx0x 0xmx0e8、 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品, 1 桶牛奶可以在设备甲上用12 小时加工成 3 公斤 A1,或者在设备乙上用 8 小时加工成 4 公斤 A2；依据市场需

21、求,生产的 A1,A2全部能售出,且每公斤 A1 获利 24 元,每公斤 A2获利 16 元；现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应, 每天工人总的劳动时间为 480 小时,并且设备甲每天至多能加工 100 公斤 A1,设备乙的加工才能没有限制；（1）试为该厂制订一个生产方案,使每天获利最大；（2）33元可买到 1 桶牛奶,买吗？（3）如买,每天最多买多少 .（4）可聘用暂时工人,付出的工资最多是每小时几元 . 5A1 的获利增加到 30 元/ 公斤,应否转变生产方案？【模型假设】每天生产将x 桶牛奶加工成A1, y 桶牛奶加工成A2,所获得的收益为Z 元；加工每桶牛奶的信息表: A2 产品

22、A1 所需时间12 小时8 小时产量3 公斤4 公斤获利 / 公斤24 元16 元【模型求解】x+y0 W=Z-33*x+y=39x+31y=3360-33*50=1710就,牛奶 33 元/ 桶 可以买；3 如不限定牛奶的供应量,就其优化条件变为：12 x8 y04801003 xy0 W=39x+31y 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习资料 欢迎下载解得,当 x=0,y=60 时 , Wmax=1860元就最多购买 60 桶牛奶；4 如将全部的利润用来支付工人工资,设工资最高为 n 元； n=Wmax/

23、480=3.875（元）5 如 A1 的获利为 30 元,就其优化条件不变；Z1=90x+64y 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解得,学习资料欢迎下载当 x=0, y=60 时, Z1max=3840（元）因此,不必转变生产方案；9、建立不答应缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k ,销售速率为常数r ,kr在每个生产周期内,开头的一段时间 0 t T 0 一边生产一边销售,后来的一段时间 T 0 t T 只销售不生产,画出贮存量 g t 的图形 . 设每次生产预备费为 1c,单位时间每件产品贮存费为 c

24、,以总费用最小为目标确定最优生产周期,争论 k r 和 k r 的情形 . 【模型建立】名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 建立不答应缺货的生产销售存贮模型学习资料欢迎下载k ,销售速率为常数r ,kr在设生产速率为常数每个生产周期内,开头的一段时间0ttT 0一边生产一边销售,后来的一段时间T0tT只销售不生产,画出贮存量g的图形 . 设每次生产预备费为1c,单位时间每件产品贮存费为c2【模型求解】由题意可得贮存量gt的图形如下：Ttdttkr T0TggtkrrO T0c2nc2T 0glim t 0i1git

25、ic22贮存费为又krT 0r TT0c2rkrTTT0rTk , 贮存费变为2k于是不答应缺货的情形下,生产销售的总费用（单位时间内）为名师归纳总结 CTc 1c2rkrT2c 1c2rk2rTT. c 22 c 1kr第 14 页,共 33 页T2kTTkdCc 1c2rkrdTT22 k. 令dC dT0 , 得Tc22 c 1krrk易得函数CT在T处取得最小值,即最优周期为：rk当kr时,T2 c 1c2r . 相当于不考虑生产的情形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当kr时,T . 学习资料欢迎下载. 此时产量与销量相抵消,无法形成贮存量1

26、0、在考虑最优价格问题时设销售期为T,由于商品的损耗,成本q 随时间增长,设q t q 0 t,为增长率 . 又设单位时间的销售量为 x a bp 为价格 . 今将销售期分为 0 t T2 和 T2 t T两段,每段的价格固定, 记作 p 1, p 2 . 求 p 1, p 2 的最优值,使销售期内的总利润最大 . 假如要求销售期 T 内的总售量为 Q ,再求 p 1, p 2 的最优值 . 【模型求解】按分段价格,单位时间内的销售量为名师归纳总结 xabp 10,tT2 abp 2 dt第 15 页,共 33 页abp2,T2tT又qtq0t. 于是总利润为bp 1dtT2p 2q tp 1

27、,p 2T2p 1q ta0TTabp2p2tq0t2tT=abp1p1 tq0t2t222T02=abp1p1 Tq0TT2abp2p2 Tq 0t3T2222288p 1bp 1 Tq 0 TT2Tabp 12282p2b p 2Tq0t3T2Tabp22282令p10,p20, 得到最优价格为: - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - p 11ab q 03学习资料欢迎下载T 42 bp21ab q0T 42 b在销售期 T 内的总销量为Q 0T abp 1 dtTabp 2dtaTbTp 1p22T022于是得到如下极值问题：maxp 1,p2abp

28、 1p 1Tq0 TT2abp2p2 Tq0t3T2228228s. taTbTp 1p2Q02利用拉格朗日乘数法,解得：p1aQ 0TA 原料 1 千克 , B 原料 5 千克；一件乙产品用b abT Q 08 Tp2bbT8即为p 1, p 2的最优值 . , 一件甲产品用11、某厂生产甲、乙两种产品A 原料 2 千克 , B 原料 4 千克 . 现有 A 原料 20 千克 , B 原料 70 千克 . 甲、乙产品每件售价分别为 20 元和 30 元. 问如何支配生产使收入最大？【模型建立】设支配生产甲产品x 件, 乙产品 y 件,相应的利润为S 就此问题的数学模型为： max S=20x

29、+30y s.t. x2y20Z5x4y70x ,y,0x ,y【模型求解】这是一个整线性规划问题,现用图解法进行求解名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可行域为：由直线1l：x+2y=20, 2l学习资料欢迎下载:5x+4y 70 2l y 以及 x=0,y=0 组成的凸四边形区域 . 直线 l ：20x+30y=c 在可行域内 l平行移动 . 易知：当l过1l与2l的交点时,1l x S取最大值 . 此时由x2y20x105 x4y70解得y5Sm ax2010305350（元）12 某厂拟用集装箱托运甲乙两种

30、货物,每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物体积重量利润（立方米 / 箱）（百斤 / 箱）（百元 / 箱）甲 5 2 20 乙 4 5 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过 24 立方米,重量不超过 13 百斤 . 试问这两种货物各托运多少箱,使得所获利润最大,并求出最大利润 . 【模型建立】设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x,x , 所获利润为 z .就问题的数学模型可表示maxz20x 110 x25x 14x224st2x 15x213x 1,x2,0x ,yZ【模型求解】名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - -

31、- - - 这是一个整线性规划问题. 学习资料欢迎下载用图解法求解 . 可行域为：由直线l1:5x 14x224及x 1,0x20组成直线l:20 x 110 x2c在此凸四边形区域内l2:2x 15x 213平行移动 . x 2易知：当l过l 1与l 2的交点时,z取最大值5x 14x224x 14a4.由2x 15x213解得x21zmax20410190. 13、在 5.3 节正规战争模型（3）中,设乙方与甲方战役有效系数之比为b初始兵力 x 与 y 0 相同 . 1 问乙方取胜时的剩余兵力是多少 , 乙方取胜的时间如何确定 . 2 如甲方在战役开头后有后备部队以不变的速率 r 增援 ,

32、 重新建立模型 , 争论如何判定双方的胜败 . 【模型建立】名师归纳总结 用xt,yt表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数 , 就正规战争模型可近似表示为: 第 18 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dx学习资料欢迎下载1aydt dybx ,dtx0x 0,y0y0【模型求解】现求 1 的解 : 1的系数矩阵为A20ab0EAba2ab.02 12,11,2ab1,2对应的特点向量分别为1的通解为xtC 12eabtC2eabtyt11. 再由初始条件,得名师归纳总结 xtx 0y0eabtx 0y0eabtx02ab t133.第

33、 19 页,共 33 页22又由1可得dybx.dxayy01b其解为ay2bx2k,而kay2bx2001 当xt10 时,yt1kay2a2 bx 00y 0.aa2.0即乙方取胜时的剩余兵力数为3y0.2y0e又令xt 10 , 由（2）得x 0y 0eabt 122留意到x0y 0,得2 eabt 1x002y0. e2ab t13,t1ln32yx04 b2 如甲方在战役开头后有后备部队以不变的速率r 增援 . 就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dxayr学习资料欢迎下载dt dy4bxdtx 0 x 0,y0y 0bx2k,由4得dxayr,即