2022年排列组合问题的解题方法与技巧的总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学员数学科目第次个性化教案授课时间共高二老师姓名备课时间邱老师学员年级课题名称排列组合问题的解题策略课时总数课时训练顾问学管1、两个计数原理的把握与应用；教学目标 2、关于排列与组合的定义的懂得；关于排列与组合数公式的把握；关于组合数两个性质的把握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简洁的应用问题（多为排列与组合的混合问题）教学重点 教学难点1、两个计数原理的把握与应用；2、关于排列与组合的定义的懂得；关于排列与组合数公式的把握；关于组合数两个性质的把握；运用排列与组合的意义与公式解决简洁的应用问题（多为排列与组合的混合问题）老师活动 一、作业

2、检查与评判（第一次课程）二、复习导入 排列组合问题联系实际生动好玩,但题型多样,思路敏捷,因此解决排列组合问题,第一要仔细 审题,弄清晰是排列问题、组合问题仍是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特点,采纳 合理恰当的方法来处理；三、内容讲解1. 分类计数原理 加法原理 完成一件事,有n 类方法,在第1 类方法中有m 种不同的方法,在第2 类方法中有m 种不同的方法, ,在第n 类方法中有m 种不同的方法,那么完成这件事共有：Nm 1m 2m n种不同的方法2. 分步计数原理（乘法原理）教学过程完成一件事, 需要分成 n 个步骤,做第 1 步有m 种不同的方法, 做第 2 步有m 种不同的

3、方法, ,做第 n 步有m 种不同的方法,那么完成这件事共有：Nm 1m 2m n种不同的方法3. 分类计数原理分步计数原理区分 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成大事的一个阶段,不能完成整个大事解决排列组合综合性问题的一般过程如下 : 1. 仔细审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事, 即实行分步仍是分类, 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类；3. 确定每一步或每一类是排列问题 素 . 有序 仍是组合 无序 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元4. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必需把

4、握一些常用的解题策略排列组合问题的解题策略一、相临问题 捆绑法名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 7 名同学站成一排,甲、乙必需站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑 ”法解决,先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列,并考虑甲乙二人的次序,所以共有 种；评注：一般地 : n 站成一排 ,其中某 m 个人相邻 ,可用 “捆绑 ”法解决,共有 A N NM MA M M 种排法；练习： 5 个男生 3 个女生排成一排 ,3 个女生要排在一起 , 有多少种不同的排法 .二、不相临问题 选空插

5、入法例 2 7 名同学站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“ 插空” 法,所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：A A 25 5种 . 插入法 : 对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题, 可以用插入法 . 即先排好没有限制条件的元素 , 然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可 . 如 N个人站成一排,其中 M个人不相邻,可用“ 插空” 法解决,共有 种排法；练习：学校组织老师同学一起看电影,同一排电影票 12 张； 8 个同学, 4 个老师,要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题 , 并且

6、是对老师有特别的要求 , 因此老师是特别元素 , 在解决时就要特别对待 . 所涉及问题是排列问题 . 解 先排同学共有 种排法 , 然后把老师插入同学之间的空档,共有 7 个空档可插 , 选其中的 4 个空档 ,共有 种选法 . 依据乘法原理 , 共有的不同坐法为 种. 三、复杂问题 - 总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂,或分类不清或多种时,而它的反面往往比较简捷,可考虑用“ 排除法” ,先求出它的反面, 再从整体中排除. 解决几何问题必需留意几何图形本身对其构成元素的限制；例 3.1996年全国高考题 正六边形的中心和顶点共7 个点,以其中3 个点为顶点的三角形共有个 .

7、解：从 7 个点中取 3 个点的取法有种,但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形,有 3 条,所以满意条件的三角形共有 332 个. 练习：我们班里有 43 位同学 , 从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 . 分析 此题如是直接去考虑的话 , 就要将问题分成好几种情形 , 这样解题的话 , 简洁造成各种情形遗漏或者重复的情形 . 而假如从今问题相反的方面去考虑的话 , 不但简洁懂得 , 而且在运算中也是特别的简便 . 这样就可以简化运算过程 . 解 43 人中任抽 5 人的方法有 种, 正副班长 , 团支部书记都不在内的抽法有 种, 所

8、以正副班长 , 团支部书记至少有 1 人在内的抽法有 种. 四、特别元素 - 优先考虑法名师归纳总结 对于含有限定条件的排列组合应用题,可以考虑优先支配特别位置,然后再考虑其他位置的支配；第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4 1995 年上海高考题 1名老师和4 名获奖同学排成一排照像留念,如老师不排在两端,就共有不同的排法种解：先考虑特别元素（老师）的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置上任选一个位置,有 3 种,而其余同学的排法有种,所以共有72 种不同的排法 . 5 名队员参与竞赛,3 名例 5（ 2000 年全国

9、高考题）乒乓球队的10 名队员中有3 名主力队员,派主力队员要支配在第一、三、五位置,其余 支配共有 种 . 7 名队员选 2 名支配在其次、四位置,那么不同的出场解：由于第一、三、五位置特别,只能支配主力队员,有种排法,而其余7 名队员选出2 名支配在其次、四位置,有种排法,所以不同的出场支配共有252 种. 五、多元问题 - 分类争论法对于元素多,选取情形多,可按要求进行分类争论,最终总计；例 6（ 20XX年北京春招）某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目 . 假如将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为（）A42 B 30 C20 D12 解：增加

10、的两个新节目,可分为相临与不相临两种情形：1. 不相临：共有 种； 2. 相临：共有种；故不同插法的种数为：A + 2A 2 2A =42 ,应选 A；1例 7（ 20XX年全国高考试题）如图,一个地区分为5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供挑选,就不同的着色方法共有 种. （以数字作答）解： 由题意,选用 3 种颜色时 ,C43种颜色, 必需是同色,同色,与进行全排列,涂色方法有 C43A 33=24 种 4 色全用时涂色方法：是同色或同色,有 2 种情形,涂色方法有C21A 44=48 种所以不同的着色方法共有 48+24=72 种；故答案为 7

11、2六、混合问题 - 先选后排法对于排列组合的混合应用题,可实行先选取元素,后进行排列的策略名师归纳总结 例 8（ 20XX年北京高考） 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,如每个路口4人,就不同的安排方案共有（） 种第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 种 C. 种 D.解：本试题属于均分组问题；就12 名同学均分成3 组共有种方法 , 安排到三个不同的路口的不同的安排方案共有：种,应选 A；例 9（ 20XX年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 种蔬菜品种中选出3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜

12、必需种植,不同的种植方法共有（）A24 种B18 种C12 种 D6 种A33,解： 黄瓜必选,故再选2 种蔬菜的方法数是C32种,在不同土质的三块土地上种植的方法是种法共有 C32A 33=18 ,应选 B七相同元素安排- 档板分隔法例 10把 10 本相同的书发给编号为1、2、3 的三个同学阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数；请用完可能多的方法求解,并摸索这些方法是否适合更一般的情形？此题考查组合问题；解一：先让 2、3 号阅览室依次分得 1 本书、 2 本书；再对余下的 7 本书进行安排,保证每个阅览室至少得一本书, 这相当于在 7 本相同书之间的 6 个

13、“ 空档” 内插入两个相同“I ”（一般可视为“ 隔2板” ）共有 C 6 种插法,即有 15 种分法；2、解二：由于书相同,故可先按阅览室的编号分出6 本,此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号,剩下的 4 本书有以下四种安排方案：某一阅览室独得 4 本,有 种分法；某两个阅览室分别得 1 本和 3 本,有 种分法；某两个阅览室各得 2 本,有 种分法；某一阅览室得 2本,其余两阅览室各得 1 本,有 种分法 . 由加法原理,共有不同的分法 3 + =15 种. 八转化法 :对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想 , 将其化归为简洁的、详细的问题来求解；例 11 高二年

14、级8 个班 , 组织一个12 个人的年级同学分会, 每班要求至少1 人, 名额安排方案有多少种 . 分析此题如直接去考虑的话, 就会比较复杂. 但假如我们将其转换为等价的其他问题, 就会显得比较清晰 , 方法简洁 , 结果简洁懂得 . 解：此题可以转化为 : 将 12 个相同的白球分成 8 份, 有多少种不同的分法问题 , 因此须把这 12 个白球排成一排 , 在 11 个空档中放上 7 个相同的黑球 , 每个空档最多放一个 , 即可将白球分成 8 份, 明显有 种不同的放法 , 所以名额安排方案有 种. 九剩余法 :名师归纳总结 在组合问题中, 有多少取法 , 就有多少种剩法, 他们是一一对

15、应的, 因此 , 当求取法困难时, 可转化为第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求剩法 . 例 12 袋中有 5 分硬币 23 个,1 角硬币 10 个, 假如从袋中取出2 元钱 , 有多少种取法 . 分析 此题是一个组合问题 , 如是直接考虑取钱的问题的话 , 情形比较多 , 也显得比较凌乱 , 难以理出头绪来 . 但是假如依据组合数性质考虑剩余问题的话 , 就会很简洁解决问题 . 解 把全部的硬币全部取出来 , 将得到 0.05 23+0.10 10=2.15 元, 所以比 2 元多 0.15 元, 所以剩下 0.15 元即剩下

16、 3 个 5 分或 1 个 5 分与 1 个 1 角, 所以共有 2 种取法 . 十对等法 :在有些题目中 , 它的限制条件的确定与否定是对等的 , 各占全体的二分之一 . 在求解中只要求出全体 , 就可以得到所求 . 例 13 期中支配考试科目 9 门, 语文要在数学之前考 , 有多少种不同的支配次序 . 分析 对于任何一个排列问题 , 就其中的两个元素来讲的话 , 他们的排列次序只有两种情形 , 并且在整个排列中 , 他们显现的机会是均等的 , 因此要求其中的某一种情形 , 能够得到全体 , 那么问题就可以解决了 . 并且也防止了问题的复杂性 . 解 不加任何限制条件 , 整个排法有 种,

17、 “ 语文支配在数学之前考”, 与“ 数学支配在语文之前考” 的排法是相等的 , 所以语文支配在数学之前考的排法共有 种. 十一平均分组问题 :例 146 本不同的书,按以下要求各有多少种不同的选法：（ 1）分给甲、乙、丙三人,每人 2 本；（ 2）分为三份,每份 2 本；（ 3）分为三份,一份1 本,一份 2 本,一份 3 本；（ 4）分给甲、乙、丙三人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本；（ 5）分给甲、乙、丙三人,每人至少 1 本；解： 1.C2/6xC2/4=90；2.C2/6xC2/4/A3/3=15；3.C1/6xC2/5=60；4.C1/6xC2/5xA3/3=360；5.

18、【C2/6xC2/4/A3/3+C1/6xC2/5+C1/6xC1/5/A2/2】xA3/3=540.总之,排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清,加乘明确；有序排列,无序组合；分类为加,分步为乘；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 详细说,解排列组合的应用题,通常有以下途径：（ 1）以元素为主体,即先满意特别元素的要求,再考虑其他元素；（ 2）以位置为主体,即先满意特别位置的要求,再考虑其他位置；（ 3）先不考虑附加条件,运算出排列或组合数,再减去不合要求的排列组合数；四、巩固练习五、 课堂总结六、课后作业容布置（分数混合运算的复习习题）七、课后教学反思（该部分课后手写）不足之处：胜利之处：（准时反思,持之以恒,量变引起质变,一天积存一小点,学习提升一大点）学科带头人时间其它说明课前审核签名课后反馈表学管在阅读完教案、课后反馈表后,签名：日期：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页