2022年数学同步练习题考试题试卷教案高三数学空间向量3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 9.7 空间向量一、明确复习目标1明白空间向量的基本概念；把握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；懂得空间向量基本定理 . 2懂得空间直角坐标系的概念,会用坐标来表示向量；懂得空间向量的坐标运算 . 3把握空间中两点间距离、两向量的夹角公式及 a b , ab 的坐标表示；会求平面的法向量 . 4会用空间向量判定线、面的垂直,会求空间直线所成的角 . 二建构学问网络1. 共线向量定理：对空间任意两个向量 a,（b 0）, a b 存在实数 使 a b . 显然 a / b , b / c , 就 a / c .

2、 如直线 L 过点 A、B, a 是方向向量,就点 P 在直线 L 上 存在实数 t,使OP OA t a,（此式也叫 L 的向量方程）点 P 在直线 L 上 OP =1 t OA t OB . （或 OP =x OA y OB,x+y=1）2. 共面对量定理：两个向量 a, b 不共线,就向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数对 x,y 使 p = x a y b . 推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x,y 使得：MP x MA y MB,或对空间任意一点 O 有：OP OM x MA y MB . 3. 空间向量的基本定理：假如三个向量 a

3、,b,c 不共面,那么对空间任意一向量 p,存在惟一有序实数对 x、y、z 使得 p = x a y b z . 推论：设 O、A、B、 C 是不共面的四点,就对空间任意一点 P,都存在惟一的三个有序实数 x、y、z使 OP =x OA y OB + OC；特殊地,当 x+y+z=1 时,就必有 P、A、B、C四点共面 . 4. 向量的数量积：a b a b cos a b,cos a,a b,用于求两个向量的数量积或夹角；a b2a a a,用于求距离 . a b a b 0,用于证明两个向量的垂直关系；5. 空间向量的直角坐标运算律：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共

4、14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如a a a a 1 2 3,b b b 1 2 3就 a b a 1 b a 2 b a 3 b 3 ; a b a 1 b a 2 b a 3 b 3 a a 1 , a 2 , a 3 R a b a b 1 1 a b 2 2 a b ,3 3a / b a 1 b a 2 b 2 ,a 3 b 3 R ,坐标对应成比例；a b a b 1 1 a b 2 a b 3 0数量积为零 . 6. 夹角公式 : cos a b a b| a | | b |a b 1 1 a b 2 a b 32 2 2 2 2 2 a 1 a 2 a

5、 3 b 1 b 2 b 37. 模长公式：如 a a a a 3 ,就 | a | a a a 1 2a 2 2a 3 28. 如 A x y z 1 ,B x 2 , y 2 , z 2 , 就 AB x 2 x 1 , y 2 y 1 , z 2 z 1 距离公式：| AB | AB 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2,9. 如表示向量 a1,a2, , an 的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形,就 a1a2a3 an=0. 三、双基题目练练手1. 设向量 a、 b、c 不共面,就以下集合可作为空间的一个基底的是（）A. a+b,ba,a B. a

6、+b,ba, b （）C. a+b,ba,c D. a+b+c,a+b,c 2. 在平行六面体ABCD ABCD中,向量AB、AD、BD 是 A. 有相同起点的向量B. 等长的向量C. 共面对量D. 不共面对量3. 如 a=（2x,1,3）,b=（1, 2y,9）,假如 a 与 b 为共线向量,就A. x=1,y=1 1B. x= 1 ,y=6D. x=1 ,y= 36 232C. x=1 ,y=224. 已知向量 a=（1,1,0）,b=（ 1,0,2）,且kab 与 2ab 相互垂直,就 k 值是5. 已知四边形 ABCD 中, AB =a2c, CD =5a+6b8c,对角线 AC、BD

7、 的中点分别为 E、F,就 EF =_. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 已知空间三点 A（1, 1,1）、 B（ 1,0,4）、C（2, 2,3）,就 AB与 CA的夹角的大小是 _. k=7 . 5GF =3a+3b5c. 答案提示 ：1-3. CCB ; 4. 5.EF =3a+3b5c. 6.1205. 提示 : 设 AD 中点为 G,得 EFEG四、经典例题做一做【例 1】如图 , 在平行六面体ABCDA 1B 1 C 1D 1中, O 是B 1D1的中点 . 求证 : （ 1）B1 C 面ODC

8、 . （2）设 E、F、 G、 H、 K、L 依次是棱 AB、BC、CC 1、C1D 1、D1A1、A1A 的中点,就这六点共面 . D1 C1 A 1KD 1HB1C1A 1 O B1 D C A B 分析 : 只需证明CB 与面ODC中的一组基向量共面 1. 证明（ 1） : 设CBa CDb CC 1c,由于B 1BCC1为平行四边形 , CB 1ac , 又 O 是B 1D 1的中点 , C O 11 2ab,OD1C D 11C O 11 2ba1D O 11 2DOabc,DD如存在实数x , y,使CB 1xC OyDO x yR 成立 , 就acx1ab y1abc221 2x

9、y axy b2yc 由于向量a ,b ,c不共线 , xyy22,x1. xy0y12OGL名师归纳总结 AEBF第 3 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CB 1C ODO所以B 1 C,OD,OC 1是共面对量 , 由于B1C不在OD,OC1所确定的平面内, 29 . B1 C 面ODC , 又BC面ODC, B1 C 面ODC . （2）GH1bc,GF1ac22不共线,可作为基底,再依次证明EF 、 FL 能用这组基底表示即可,试试如何？【例 2】 在三棱锥 SABC 中,SAB=SAC= ACB=90 ,AC=2,BC= 1

10、3 ,SB=（1）求证： SCBC；（2）求 SC 与 AB 所成角的余弦值 . （3）如 E、F、G 分别是 AB、AC、SB 的中点,求证：平面 EFG平面 ACG. S GAEBF C思路 1：要用向量来讨论线面的位置关系,需要有一组基底把有关的向量表示出来,再用向量运算的几何意义来讨论；名师归纳总结 解法 1：（1）设 AS=a,AB=b,0AC=c ,由已知得：0第 4 页,共 14 页a c0,a b0,ccb,SCca BCcb,bca ca bSC BC cb ca cSCBC . （2）SC29134,SA2 3,AB17- - - - - - -精选学习资料 - - - -

11、 - - - - - cosSC AB|SC ABSC AB |2 17 2 c a b c b 17 1717 4 4 17 4 17 17所以 SC与 AB 所成的角为 arccos 17 . 17（3）EF 1 c b , EG 1 a ,2 2AC EF 1 a c b c 0,21AC EG a c 02AC 平面 EFG , 又 AC 平面 ACG ,平面 ACG 平面 EFG思路 2：图中垂直关系较为明显,简洁建立坐标系的,可以建立空间直角坐标系,利用向量的代数运算来讨论 . 解法 2：如下图, 取 A 为原点, AD、AC、AS 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系（一般建

12、成右手系） ,就由 AC=2,BC= 13 ,SB=29 ,得 C（0,2, 0）,B（13,2,0）、S（0, 0,2 3 ）；SC = （0,2, 2 3）, BC =（ 13,0,0）. （1） SC BC =0, SCBC. （2）设 SC 与 AB 所成的角为 ,AB |=417 , cos =17 ,即为 17 AB =（13, 2,0）, SC AB =4,| SC | 所求 . zSG名师归纳总结 （3）E13,1,0,F0,1,0,xAFEC_yB第 5 页,共 14 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AC0, 2,0,EF1BC

13、13,0,0,EG0,0,3,22AC EF,0,AC EG0, 平面ACG平面EFGACEFACEG从而AC平面EFG又AC平面ACG思悟提练 1. 利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求 夹角等问题 . 2用向量讨论讨论问题可以建立坐标系用向量的代数形式,也可用向量的几何形式 . 【例 3】 已知 AB =（ 2,2,1）, AC =（ 4,5,3）,求平面 ABC 的单位法向量 . 解：设面 ABC的法向量 n=（x,y,1）,就 n AB 且 n AC ,即 nAB =0,且 nAC =0,即2x2y10x1,24x5y30y1,）. n=（1 ,1,

14、1）,单位法向量 n0=2|n|= （1,2,2n333思悟提练求法向量一般用待定系数法. 常把 n 的某个坐标设为1,再求另两个坐标. 平面法向量是垂直于平面的向量,有方向相反的两个. 单位法向量只需将法向量再除以它的模. 五提炼总结以为师1在处理立体几何中的平行、垂直或求两异面直线所成的角时 , 用向量来解决思维 简洁,是模式化了的方法,是行之有效的方法 . 2要娴熟把握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件,把握 运用向量判定平行、垂直和求空间直线所成的角的方法 . 同步练习 9.7 空间向量【挑选题】名师归纳总结 1.平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,M 为 AC

15、 和 BD 的交点,如A 1B1=a,A 1D1=b,A1A=c,就以下式子中与B1M相等的是（）AMD第 6 页,共 14 页A.1 a+ 21 b+c 2B. 1 a+ 21 b+c 2BCD1B 1A 1C 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C. 1 a21 b+c 2D.1 a21 b+c 2（2. 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 点 P（ x, y, z）, 下 列 叙 述 中 正 确 的 个 数 是）点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（ x, y,z）点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2（x, y, z）点

16、 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（ x, y,z）点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4（ x, y, z）A.3 B.2 C.1 D.0 3以下命题中不正确的命题个数是如 A、B、C、D 是空间任意四点,就有AB + BC + CD + DA =0|a| |b|=|a+b|是 a、b 共线的充要条件如 a、b 共线,就 a 与 b 所在直线平行对空间任意点O 与不共线的三点A、B、C,如 OP =x OA +yOB +zOC（其中 x、y、zR）,就 P、A、B、C 四点共面（）A.1 B.2 C.3 D.4 【填空题】4.已知点A（1,2,1）、 B（ 1,3,4）、D（1,1,1）

17、,如AP2PB,就 |PD|的值是 _. 5. 设点 C（2a+1,a+1, 2）在点 确定的平面上,a 的值等于 ;P（2,0,0）、A（ 1, 3,2）、 B（8, 1,4）6 A 是 BCD 所在平面外一点,M、N 分别是ABC 和 ACD 的重心,如BD=4,就 MN 的长为. a=166.答案 : 1-3, ACC; 4.77; 5. 3【解答题】7设 A、B、C 及 A1、B1、C1分别是异面直线l1、l 2 上的三点,而M、 N、 P、Q 分别是线段 AA 1、BA1、BB1、CC1 的中点 .求证： M、N、 P、Q 四点共面 . ABPCQL 1jNL2C1MB1A 1名师归

18、纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：,A、B、 C 及 A1、B1、C1分别共线,、M、N、P、 Q四点共面 . 8. 已知空间四边形中,且分 别 是的 中 点 ,是中 点 . 求证:名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 : 连结由线段中点公式得: 且 , 9在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中,BD1交平A 1D 1DME B1C1面 ACB1 于点 E,ABC求证：（1）BD1平面 ACB1；（2）BE=ED1. 名

19、师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：（1）,建立空间直角坐标系,就A1,0,0, B1,1,0, C0,1,0, D10,0,1, B 11,1,1 （2）设设,名师归纳总结 10在正三棱柱ABC A1B1C1中, 1已知 AB1 BC1,求证： AB1 A1；2当 AB=2,第 10 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AA1=4 时,求异面直线 BC1与 A1C 所成角的余弦值解 ： 1 设=a ,=b ,=c , 就=a+c,=b a+c,=b c,

20、a+c b a+c=0,即 c 2 a2+a b=0又设=x,=h,就h 2 x2+x 2=0, x2=2h2=a+c b c=a b c 2=x2 h 2=h2 h 2=02=,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - =b a+c b c=b 2 c 2 a b= 14 设异面直线BC 1与 A1C 所成的角为,就cos =|cos|=即异面直线BC1 与 A1C 所成角的余弦值为【探究题】 如下图, 直棱柱 ABCA1B1C1 的底面棱 AA 1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点 . zABC 中,CA

21、=CB=1,BCA=90 ,（1）求的长；xA1C1MB1yNCB的值；A（2）求 cos（3）求证： A1BC1M. 名师归纳总结 （1）解：依题意得B（0, 1,0）, N（1,0,1）,第 12 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =. （2）解： A1（1,0,2）,B（0,1,0）,C（ 0,0,0）,B1（ 0,1,2）,= （ 1 , 1 , 2 ）,= （ 0 , 1 , 2 ）,=3 , =, = . cos,=.（3）证明： C1（ 0,0,2）,M（,2）,名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - =（ 1,1,2）,=（,0）,=0, A1BC1M. 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页