2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案新人教A版必修4_.doc

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1、3.1.1两角差的余弦公式学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点一两角差的余弦公式的探究思考1如何用角，的正弦、余弦值来表示cos()呢？有人认为cos()cos cos ，你认为正确吗，试举出两例加以说明.答案不正确.例如：当，时，cos()cos ，而cos cos cos cos ，故cos()cos cos ；再如：当，时，cos()cos ，而cos cos cos cos ，故cos()cos cos .思考2计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜

2、想.cos 45cos 45sin 45sin 45_；cos 60cos 30sin 60sin 30_；cos 30cos 120sin 30sin 120_；cos 150cos 210sin 150sin 210_.猜想：cos cos sin sin _，即_.答案10cos()cos()cos cos sin sin 知识点二两角差的余弦公式思考1单位圆中(如图)，AOx，BOx，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？答案 A(cos ，sin )，B(cos ，sin ). 与的夹角是.思考2请根据上述条件推导两角差的余弦公式.答案|cos()cos()，cos cos sin

3、 sin .cos()cos cos sin sin .梳理C()：cos()cos cos sin sin .(1)适用条件：公式中的角，都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.类型一利用两角差的余弦公式化简求值例1计算：(1)cos(15)；(2)cos 15cos 105sin 15sin 105.解(1)方法一原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.方法二原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)原式cos(15105)cos(90)cos 900.反

4、思与感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos 105；(2)cos 46cos 16sin 46sin 16.解(1)原式cos(15045)cos 150cos 45sin 150sin 45.(2)原式cos(4616)cos 30.类型二给值求值例2已知，均为锐角，sin ，cos()，求cos 的值.解因为，sin ，所以0.又因为，cos()，所以.所以cos ，sin() ，所以cos cos()cos c

5、os()sin sin().反思与感悟三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：()，()，(2)()，()()，()()等.跟踪训练2已知cos ，cos()，且，求cos 的值.解，(0，).又cos ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin .类型三给值求角例3已知cos ，cos()，且0，求的值.解由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin() .由()，得cos cos()cos cos()sin sin()，即cos ，.

6、反思与感悟求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.跟踪训练3已知cos()，cos()，且，求角的值.解由，且cos()，得sin().由，且cos()，得sin().cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()1.又，2，2，则.1.计算cos cos cos sin 的值是()A.0 B.C. D.答案C解析cos cos cos sin cos cos sin sin coscos .2.若a(cos 60，sin 60)，b(cos 15，sin 15)，则ab等于()A. B.C. D.答案A解

7、析abcos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45，故选A.3.设，若sin ，则cos等于()A. B.C. D.答案A解析，sin ，cos .coscos sin .4.已知sin sin ，cos cos ，求cos()的值.解(sin sin )22，(cos cos )22，以上两式展开两边分别相加，得22cos()1，cos().5.已知sin ，sin ，且180270，90180，求cos()的值.解因为sin ，180270，所以cos .因为sin ，90180，所以cos .所以cos()cos cos sin sin .1.“给式求值

8、”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.课时作业一、选择题1.化简cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)的结果为()A. B.C. D.答案A解析原式cos(45)cos(15)sin(45)si

9、n(15)cos(45)(15)cos(60).2.已知点P(1，)是角终边上一点，则cos()等于()A B.C. D.答案A解析由题意可得sin ，cos ，coscos cos sin sin .3.已知cos，0，则cos 等于()A. B.C. D.答案A解析，sin .cos coscoscossinsin .4.若cos()，cos 2，并且、均为锐角且，则的值为()A. B.C. D.答案C解析，(0，)，(，0)，2(0，)，sin()，sin 2，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()，(0，)，.5.若cos()，sin，则cos的值为()A. B

10、.C. D.答案C解析，(0，)，.又cos()，sin，sin()，cos ，coscoscos()cossin()sin，故选C.6.计算sin 7cos 23sin 83cos 67的值为()A. B.C. D.答案B解析sin 7cos 23sin 83cos 67cos 83cos 23sin 83sin 23cos(8323)cos 60，故选B.7.化简sin(xy)sin(yx)cos(xy)cos(xy)的结果为()A.sin 2y B.cos 2yC.cos 2y D.sin 2y答案C解析原式cos(xy)(xy)cos 2y，故选C.8.已知sin()，则cos sin

11、 的值为()A. B. C.2 D.1答案B二、填空题9.已知cos ，cos()，2，则cos _.答案1解析由条件知sin ，sin()，cos cos()cos cos()sin sin()1.10.已知sin ，(，)，则cos()的值为_.答案11.已知cos()cos sin()sin m，且为第三象限角，则sin _.答案解析cos()cos sin()sin cos()m，即cos m.又为第三象限角，sin .12.设A，B为锐角ABC的两个内角，向量a(2cos A，2sin A)，b(3cos B，3sin B).若a，b的夹角的弧度数为，则AB_.答案解析cos cos

12、 Acos Bsin Asin Bcos(AB).又AB，AB.13.已知sin sin sin 0，cos cos cos 0，则cos()的值是_.答案解析sin sin sin ，cos cos cos ， 2222(sin sin cos cos )1cos().三、解答题14.已知cos(2)，sin(2)，且，0，求cos().解因为，0，所以2.因为cos(2)，所以2，所以sin(2).因为，0，所以2.因为sin(2)，所以02，所以cos(2).所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)0.四、探究与拓展15.如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点.(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，求cos 和sin ；(2)在(1)的条件下，求cos()的值.解(1)OA1，OB1，且点A，B的纵坐标分别为，sin ，sin ，cos .(2)为钝角，由(1)知cos ，cos()cos cos sin sin .