2022年数值分析试题答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 沈阳航空航天高校争论生试卷（A）2022-2022 学年 第一学期课程名称：数值分析 出题人 : 王吉波 审核人 : 一、填空题（此题 40 分 每空 4 分）,1 i j1设 l j x j 0 ,1, , n 为节点 x 0 , x 1 , , x n 的 n 次基函数,就 l jx i ；0 , i j2已知函数 f x x 2x 1,就三阶差商 f ,1 ,2 ,3 4 = 0 ；3当 n=3 时,牛顿 - 柯特斯系数 C 0 3 1 , C 1 3 C 2 3 3,就 C 3 3 1；8 8 84用迭代法解线性方程组 Ax=b时,迭代

2、格式 x k 1 Bx k f , k 0 ,1, 2 , 收敛的充分必要条件是 B 1 或 B 的谱半径小于 1 ；1 25设矩阵 A,就 A 的条件数 Cond A 2 = 3 ；2 16. 正方形的边长约为 100cm,就正方形的边长误差限不超过 0.005 cm 才能使其面积误差不超过 1 cm ；7. 要使求积公式0 1f x dx 14 f 0 A 1 f x 1 具有 2 次代数精确度,就1x 2/3 ,A 1 3/4 ；9 18 9-2718 45 0-458. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解 A LU,其中 A9 0 126 9,27-45 9 1351 0 0

3、 09 18 9-272 1 0 00 9-18 9就 L 1-2 1 0,U0 0 81 543 1 2 1 0 0 0 93名师归纳总结 第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、（10 分）已知由数据 （0,0 ）,（0.5 ,y）,（1,3 ）和（ 2,2）构造出的三次插值多项式P 3x的3 x 的系数是 6,试确定数据 y；l1x fx2l2xfx3l3x 答案：利用Lagrange 插值多项式,P 3xL3xfx 0 l0xfx 1及基函数的表达式可知3 x 的系数为fx 1x0x 1fx0x0x3 +x 1x0x2x0x

4、1x2x1x 3+x2x 0fx2x2x3+x3fx3x2x 1x0x 3x 1x3x2（5 分）代入有关数据得600. 50 .y1.5 32x ）既无开方,又无5 10. 51 21 .51解得 y=4.25.1a0（5 分）三、（15 分）试导出运算的 Newton 迭代格式,使公式中（对a除法运算,并争论其收敛性；答案：将运算1a0等价化为求a10的正根；|（5 分）ax2而此时有fxa1,fx 2,x2x3故运算1a0 的 Newton 迭代格式为（5 分）ax n1xna13x nax33a2 x nxn2 x n222n223 x n01,故迭代法局部收迭代函数x 3ax2x ,

5、x *1,x33ax2|x *22a22敛；（5 分）四、（15 分）已知1 1x 0 , x 1 , x 24 23 个点作为求积节点在3；40 ,1 上的插值型求积公式；（1）推导出以这（2）指明求积公式所具有的代数精确度；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）用所求公式运算1x2dx；0答案：（1）过这 3 个点的插值多项式P 2xxx1x0x2fx 0xx0xx 2fx 1xx0x2x 1fx2故1x 1x0x 1x2x2x0xx 1xxxx021fxdx1P 2xdxk20A kfxk,其中00A 01x

6、x 1xx 2dx1x1x3 4 dx 3 422 10x 0x 1x 0x 201 413（5 分）第 3 页,共 4 页24A 11,A 22,故所求的插值型求积公式为331fxdx12f1f12f3034242 次代数精确度；再将（ 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来,故至少具有fxx3,x4代入上述求积公式,有11x3dx121313233043424（5 分）11x4dx121414234053424故上述求积公式具有3 次代数精确度；（3）1x2dx12 12122 321（5 分）03424320x 12x23x324五、（10 分）给定方程组x 18x2x3122x13x

7、215x330（2 分）判定 Jacobi 和 Gauss-Seidel方法的收敛性；0131020答案： Jacobi 迭代矩阵为BJ101；88210155（3 分）由于BJ11,故 Jacobi 迭代收敛；3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Gauss-Seidel迭代矩阵为BG10240360；（2 分）03025524000383故BG11,故 Gauss-Seidel迭代收敛；H（3 分）4六、（ 10 分）定义内积f,g1fx gxdx,试在1span ,1x2,x4中寻求对于1fx| x|的正确平方靠近多项式px；222a01答案：取0,11x2,2x4,经运算得法方程组为35222a 11；（5 分）3572解 得a015,a 1105,a2105, 故f x | x|222a215793的 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 为12864128p x15105x2105x4；12864128（ 5 分）名师归纳总结 第 4 页,共 4 页- - - - - - -